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北师大版七年级上册数学 5.3 水箱变高了教学设计
课题 5.3 水箱变高了 单元 第5单元 学科 数学 年级 七
本节学习列方程解应用题,其关键还是寻找实际问题中的等量关系,在实际生活中经常会遇
到类似本节情境的问题,最关键的是抓住变化中的不变量,从而设出未知数,根据等量关系列
教 材
出方程,教学时,应鼓励学生独立思考,发现等量关系。
分析
通过对实际问题的探讨,使学生在独立思考列方程的过程中,进一步体会数学应用的价值,鼓
核 心 励学生大胆质疑,激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
素 养
分析
1.通过分析实际问题中的“不变量”，能正确建立方程.
2.通过小组讨论，能借助表格找出等量关系.
学习
3.通过师生共同解析例题，能正确分析应用题的题意，设未知数，列方程，求解并检验解
目标
的合理性。
重点 分析实际问题中的“不变量”,建立方程模型解决问题.
难点 正确分析应用题的题意，设未知数，列方程，求解并检验解的合理性.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问： 学生思考回答 观看视频可以激
想一想：解一元一次方程有哪些步骤？ 问题。 发学生学习动机
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、 和兴趣，吸引学
移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步 生注意力，为引
骤，把一个一元一次方程“转化”成 x = a 的形 进新知识的学习
式. 学生观看视 做好心理准备。
同学们听过“朝三暮四”的故事吗？ 频。
教师课件出示视频？
提问：【想一想】猴子为什么高兴了？这其中有
什么数学奥秘吗？
讲授新课 将一个底面直径是 20 cm、高 9 cm 的“矮胖” 学生探究用一 在教学中运用探
形圆柱锻压成底面直径为10 cm 的“瘦长”形圆 元一次方程分 究式教学模式，
柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那 析和解决实际 不仅使学生体验
么圆柱的高变成了多少？ 问题。 教学再创造的思
维过程，而且还
培养了学生的创
造意识和科学精
神。
问题中的等量关系是什么？
锻压前的体积 = 锻压后的体积．
设锻压后圆柱的高为 x cm，填写下表：
20 10
2 2
9 x
20 10
π×（）2×9 π×（）2×x
2 2
∵锻压前的体积 = 锻压后的体积．
∴根据等量关系，列出方程：
学生在教师的
解得 x =36 .
引导下总结用 对概念的分析和
因此，高变成了36 cm.
一元一次方程 归纳,培养学生
列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
分析和解决实 的口头表达能力
【总结归纳】
际问题的基本 和 语 言 组 织 能
用一元一次方程分析和解决实际问题的基本步
步骤。 力,同时渗透类
骤：
比思想.(1)设___________；
(2)分析问题中的关系，找出其中的________关
系，并由此列出________；
(3)解________；
(4) ________解的正确性与合理性，并写出
_______．
【总结归纳】
形积变化问题中的等量关系形积变化问题中，物
学生总结形积
体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相
变化问题中的
等关系，分以下几种情况：
等量关系形积
(1)形状发生了变化，体积不变。
变化问题。
其相等关系是：变化前物体的体积=变化后物体的
体积.
(2)形状、面积发生了变化，周长不变。
其相等关系是：变化前图形的周长=变化后图形的
周长.
几何图形中常用的公式：
常用的体积公式.
长方体的体积=长×宽×高；
正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积=底面积×高=πr2h；
圆锥的体积= ×底面积×高= πr2h。
例 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
学生探究等长 学生分组讨论交
（1）使得该长方形的长比宽多 1.4 m，此时长方
变形问题， 流合作，训练学
形的长、宽各为多少米？
生以严谨的科学
题目中的等量关系是什么？
态度研究问题，
长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：
解决问题，同时
也培养了学生的
合作精神，体现
解: 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4)
新课改中由教为
m.
中心向学为中心
根据题意，得x+x+14=
的转变。
解这个方程，得x=1.8
1.8+1.4=3.2 .
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
（2）使得该长方形的长比宽多 0.8 m，此时长方
形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
解: 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)
m.
根据题意，得x+x+0.8=
解这个方程，得x=2.1
2.1+0.8=2.9 .
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m.
长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，
它所围成的面积为2.9×2.1 = 6.09 ( m 2 )，
（1）中长方形所围成的面积为 3.2×1.8=5.76 ( m
2 )．
此时长方形的面积比（1）中面积增大 6.09 - 5.76
= 0.33 (m2).
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正
方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的
面积与（2）中相比又有什么变化？
解: 设正方形的边长为 x m.
根据题意，得x+x=
解这个方程，得x=2.5， ∴正方形的边长为 2.5
m，
它所围成的面积为 2.5×2.5 = 6.25 ( m2 )，
比（2）中面积增大 6.25 - 6.09 = 0.16 ( m2 ).
【总结归纳】
1. 等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但
变化前后物体的周长不变.
2. 一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，
关键是根据周长这一不变量列方程求解.
几何图形中常用的公式：
(1)常用的面积，周长公式.
长方形的面积=长×宽；
长方形的周长=2×(长十宽)；
正方形的面积=边长×边长；
正方形的周长=边长×4;
三角形的面积= ×底×高；
平行四边形的面积=底×高；梯形的面积= ×(上底+下底)×高；
圆的面积=πr2；圆的周长=2πr。
课堂练习 1.3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务 学生做练习， 通过各种形式的
植树活动，如果平均一名男生一天能挖树坑3个， 教师订正答 练习，进一步提
平均一名女生一天能种树7棵，且正好使每个树坑 案。 高 学 生 学 习 兴
种一棵树，那么该年级的男生、女生各有多少 趣，使 学生的
名？ 认知结构更加完
(1)审题：审清题意，找出已知量和未知量； 善。同时强化本
课的教学重点，
(2)设未知数：设该年级的男生有x名，那么女生
突破教学难点。
有(170－x)名；
(3)列方程：根据相等关系，列方程为3x＝7(170－
x)；
(4)解方程：解得x＝119，则女生有51名；
(5)检验：将解得的未知数的值放入实际问题中进
行验证；
(6)作答：答：该年级的男生有119名，女生有51
名．
2.列方程解应用题：《九章算术》中有“盈不足
术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出
五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊
價各幾何？”
题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差
45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各
是多少．
解：设人数是x.
由题意得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.
5×21＋45＝150(元)．
答：人数是21，羊价是150元．
3.某农场去年计划生产玉米和小麦共200 t，采用
新技术后，实际产量为 225 t，其中玉米超产
5%，小麦超产15%.该农场去年实际生产玉米、小
麦各多少吨？
解：设该农场去年计划生产玉米x t、小麦(200－
x)t.
根据题意，得(1＋5%)x＋(1＋15%)·(200－x)＝
225，
解得x＝50. 则200－x＝200－50＝150.50×(1＋5%)＝52.5(t)，
150×(1＋15%)＝172.5(t)．
答：该农场去年实际生产玉米 52.5 t、小麦172.5
t.
4.如图，小明从一张正方形的纸片上剪下一个宽为
6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为
8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相
等，那么原正方形的边长是( B )
A．20 cm
B．24 cm
C．48 cm
D．144 cm
5.如图，一个装 有半瓶多饮
料的饮料瓶中，饮料的高度为20 cm；把饮料瓶倒
过来放置，饮料瓶空余部分的高度为5 cm.已知饮
料瓶的容积为30 cm3，则瓶内现有饮料24cm3.
6.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如
图实线所示(单位：cm)．小莉将梯形下底的钉子去
掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，如图虚线所
示．小莉所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如
果设长方形的长为x cm，根据题意，可列方程为(
A)
A．2(x＋20)＝20×4＋12×2
B．2(x＋20)＝20×3＋12×2
C．2x＋20＝20×4＋12×2
D．2(x＋20)＝20×2＋12×2
课堂小结 本节课你学到了什么？ 学生在教师的 充分发挥学生的
1.用一元一次方程分析和解决实际问题的基本步 引导下总结归 主体作用，有助
骤： 纳。 于学生在理解新
(1)设未知数；(2)分析问题中的关系，找出其中的 知识的基础上，等量关系关系，并由此列出一元一次方程；(3)解 及时把知识系统
方程；(4) 验证解的正确性与合理性，并写出答 化，条理化。
案．
2.形积变化问题
3.等长变形问题
板书 课题：5.3 水箱变高了
一、用一元一次方程解决实际问题.
二、形积变化问题
三、等长变形问题
