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24.3—24.4 正多边形和圆 弧长和扇形面积一、正多边形和圆
正多边形与圆的关系非常密切。把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点
所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
1.正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
4.正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
任意多边形不一定有外接圆，但当多边形是正多边形时，一定有外接圆。
二、弧长和扇形面积
1.弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l= 。在弧长公式中，已知
l、n、R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
2.扇形的面积公式：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。在
半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积是S扇形= 。比较扇形面积公式与弧长公
式，可以用弧长表示扇形面积，即S扇形= ，其中l为扇形的弧长，R为半径。
巩固课内例1:正多边形的周长与面积
1．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，涉及了勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形
的性质，熟练掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
先求出 ，再求出 的面积为 ，进而即可求解正六
边形面积．
【详解】解：如图，设正六边形的一边为 ，外接圆的圆心为O，作 ，垂足为
C，
∵正六边形的周长为6，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
∴正六边形的面积为 ，
故选：B．
2．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形 的半径是
，则这个正六边形的周长是 ．【答案】18
【分析】此题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出
是等边三角形是解题关键．
如图，正六边形 的半径是 ，由正六边形的性质构造 证出 是等边
三角形，由等边三角形的性质得出 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，交点为 ，
由正多边形的性质得，点 为正六边形 的中心
点是正六边形 的中心，正六边形 的半径是 ，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形 的周长为： ，
故答案为：18．
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接
正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可
割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了
圆周率 的近似值为 ，如图，若 的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通
过分割成三角形，利用特殊角解决）
(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计 的面积，可得圆内接正十二边形面
积是_____，可得 的估计值为_____．
【答案】(1)
(2)
(3)3；3
【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点O作 于点
C；求出 的面积即可求解；
（2）设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点B作 于点C；求出
的面积即可求解；
（3）设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点O作 于点C；求出
的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点O作
于点C；
由题意知 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ；
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴正六边形的面积为 ；
（2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点B作 于点C；
由题意知 ， ，
∴ ，
∴ ；
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴圆内接正八边形的面积为 ；
故答案为： ；
（3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点B作 于
点C；
由题意知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴圆内接正十二边形的面积为 ；
圆的面积为 ，则 ；故答案为：3；3．
巩固课内例2:扇形的弧长
1．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道 展
直长度是（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可．
【详解】解：管道 展直长度是 ，
故选：D．
2．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的
斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中 的长为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】先利用等腰直角三角板的性质得出圆心角 的度数，再根据弧长公式计算
的长，其中弧长公式为 （ 是圆心角度数， 是圆的半径）．本题主要考查了
圆周角定理以及弧长公式，熟练掌握同弧所对圆心角与圆周角的关系和弧长公式是解题的
关键．
【详解】解：连接 、 ，∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
3．如图是一段弯形管道，其中， ，中心线的两条圆弧半径都为 ．
求图中管道的展直长度（ 取 ）．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．根据图中管道的展直长度等于
与两条圆弧的长度之和即可得．
【详解】解：由图可知，
，
答：图中管道的展直长度为 ．
巩固课内例3:扇形的面积
1．如图是完全展开的扇形纸扇， 夹角为 ， 的长为 ， 的长为
，则扇面（阴影部分）的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，先根据弧 的长求出 的长，
再用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵ 的长为8πcm， ，
∴ ，
解得 ，
120⋅π⋅302 120⋅π⋅122
∴S❑ = =300π(cm2)，S = =48π(cm2)，
扇形ABC 360 扇形ADE 360
∴扇面的面积为：300π−48π=252π(cm2)．
故选：A．
2．将一个母线长为 的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为 ，
则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关
键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为 ，再利用扇形的面积公式计算即可得．
【详解】解：∵将一个母线长为 的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，
∴这个扇形的半径为 ，
又∵扇形的圆心角为 ，
∴扇形的面积为 ，
故答案为： ．
3．如图， 是半圆 的直径， ， 是半圆 上的两点， ， 与 交于点
，若 ．(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求扇形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积以及勾股定理，注意得到
，应用垂径定理是关键．
（1）由 ， ，可求得 的度数；由是 半圆 的直径， 根据“直
径所对的圆周角是直角”，可求得 ，又由 ，证得 ，然后由“垂
径定理”求得 ，最后根据圆周角定理求得 的度数；
（2）由“垂径定理”可求得 的长，设 ，则 ， 在
中，根据勾股定理列方程求解即可得到 的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
是圆 的直径，
，
，
，即 ，
，
；
（2）解： ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ， 解得 ，
即 ，
扇形 的面积为： ．
巩固课内例4:蒙古包问题
1．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积 ，
圆柱高为 ，圆锥高为 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】根据底面圆的面积 即可得到底面圆的半径为 ，再根据圆柱的侧面积及
圆锥的高即可解答．
【详解】解：∵底面圆面积 ，
∴底面圆的半径为 ，
∵圆柱高为 ，圆锥高为 ，
∴圆柱的侧面积为 ，圆锥的母线长为 ，
∴圆锥的侧面积为 ，
∴需要毛毡的面积是： ，
∴故选 ．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，勾股定理，掌握圆柱的侧面积是解题
的关键．2．蒙古包可以近似地看作由圆柱和圆锥组成．其中，底面圆半径为 ，圆锥高为 ，
圆柱高为 ，门的高和宽分别为 和 ，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛
毡（接缝忽略不计），那么所需要羊毛毡的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆柱、圆锥的侧面积计算的实际应用，根据底面圆的半径，再利用勾
股定理计算出母线长，根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它
们的侧面积，求它们的和，再减去门的面积即可得到答案，熟练掌握计算公式是解题的关
键．
【详解】解：∵底面圆半径为 ，圆锥高为 ，
∴圆锥母线长为 ，
∴需要羊毛毡的面积为， ，
故答案为： ．
3．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面直径为 ，整
个高为 ，外围高 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（结果保留 ）？
【答案】 平方米
【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的侧面积计算，勾股定理，先求出圆柱的侧面积和圆
锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积，则可求出一个蒙古包需要的毛毡面积，最后乘以20
即可得到答案．【详解】解：由题意得， ，
∵圆柱底面圆的直径为 ，
∴ ，
∴圆柱的侧面积为 ，圆锥的母线长为 ，
∴圆锥的侧面积为 ，
∴至少需要 的毛毡．
类型一、正多边形的中心角
1．如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上．若 ，则 度数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正
确作出辅助线．
连接 ， ，由正五边形的性质可得 的度数，根据圆周角定理可得 的度
数，由三角形的内角和定理计算即可．【详解】解：如图，连接 ， ，
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
2．如果一个正多边形的内角和是 ，那么它的中心角是 度．
【答案】72
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键．
根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
则 ，解得 ，
所以正五边形的中心角是 ．
故答案为：72．
3．如图，正方形 的外接圆为 ，点P在劣弧 上（不与点C重合）．
(1)求 的度数；(2)若 的半径为8，求正方形 的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：
（1）连接 ，根据中心角的计算公式求出 的度数，圆周角定理，求出
的度数即可；
（2）勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：连接 ，
由题意得： ，
∴ ；
（2）由（1）知： ，
又∵ ，
∴ ，
即正方形的边长为： ．
类型二、求扇形半径
1．已知扇形的面积为 ，扇形的弧长是 ，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式 （其中 为面积， 为弧长， 为半径），结合已知的弧
长和面积，直接解方程即可求得半径．
【详解】设扇形的半径为 ，
根据扇形的面积公式 ，
解得 ．
故选： ．
2．一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键．
根据扇形的面积公式进行计算．
【详解】解：设这个扇形的半径是r，
根据扇形面积公式，得 ，
解得 （负值舍去）．
所以扇形的半径是3．
故答案为：3
3．如图，用一个圆心角为 的扇形围成一个无底的圆锥，若圆锥底面圆的半径为 ，
求扇形的半径．
【答案】扇形的半径为
【分析】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底
面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为 ，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴ ，解得： ．
答：扇形的半径为 ．类型三、求圆心角
1．一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧长公式的应用．利用弧长公式 求解即可．
【详解】解：设圆心角为 ，根据题意得：
，
解得： ，
∴该扇形的圆心角的度数是 ，
故选：B．
2．若长度为 的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式： 弧长为l，圆心角度数为n，圆的
半径为 是解题的关键．
设该圆弧所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为n，
由题意得： ，
解得： ，
故答案为：
3．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分
为花窗）．已知 ，点C，D分别为 的中点，且 的长度为 ．
(1)求扇形 的圆心角度数；
(2)依据相关数据，求花窗的面积．【答案】(1)扇形 圆心角的度数为
(2)花窗的面积为
【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键．
（1）设 的度数为 ，根据弧长公式列方程求解即可；
（2）先根据扇形的面积公式求出 、 ，再由 求解即可．
【详解】（1）解：由题知， ，点C，D分别为 的中点，
∴ ，
设 的度数为 ，
∵ 的长度为 ．
∴ ，解得 ，
∴扇形 圆心角的度数为 ；
（2）解：∵
，
∴ ，
∴花窗的面积为 ．
类型一、求弓形面积
1．如图是 的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网
格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴
影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接 ，证明
，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵小正方形的边长为2，
∴
∴ ，
∴图中阴影部分的面积是
故选：A．
2．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图
形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长 ，则“勒洛三角形”与等边 围成
阴影部分的面积等于 （结果保留 ）．【答案】
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作
于H，由等边三角形的性质得到 ， ，则由勾股定理可
得 ，再根据 计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作 于H，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
3．如图， 为正三角形 的外接圆，直线 经过点C， ．(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线 与 相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）由正三角形的性质可得 ，由平行线的性质可得
，求出 ，可证直线 与 相切；
（2）由圆周角定理得 ，根据阴影部分的面积等于 ，即
可求解．
【详解】（1）解：直线 与 相切，理由如下：
如图，连接 ，
是正三角形，
，
为正三角形 的外接圆的圆心，
∴ 也是正三角形 的内接圆的圆心，
平分 ，
，，
，
，
是半径，
直线 与 相切；
（2）解：如图，连接 ，作 于点H，
，
，
．
， ，
， ，
，
，
．
图中阴影部分的面积为： ．
【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积
的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为 是解
题的关键．
类型二、求圆锥侧面积
1．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题要求圆锥的侧面积，已知圆锥底面半径和母线长，可先根据圆的周长公式求
出底面圆的周长，再结合圆锥侧面积公式进行计算，最后与选项进行对比得出答案．本题
主要考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式 （其中 为底面半径，
为母线长）以及圆的周长公式是解题的关键．
【详解】解：底面圆的周长 ．
圆锥侧面积 ．
故选：C．
2．直角三角形的两直角边长分别为 ，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得
到的几何体的侧面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积等知识点，解题的关键是熟练掌握圆锥
的侧面积公式．
先利用勾股定理求出斜边长，再利用圆锥的侧面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为 ，
∴由勾股定理得斜边长为 ，
以 边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周，
∴侧面积为 ．
故答案为： ．
3．如图，已知扇形 的半径为 ，圆心角的度数为 ，若将此扇形围成一个圆锥，
求：
(1)围成的圆锥的侧面积．
(2)围成的圆锥的全面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键：
（1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积；
（2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积
【详解】（1）解：圆锥的侧面积是 ．
（2）扇形的弧长是 ，则底面半径是2，底面面积是 ，
则围成的圆锥的全面积是 ．
类型三、求圆锥底面半径
1．用一个半径为20，圆心角为 的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面
半径是（ ）
A．6 B．5 C．6π D．5π
【答案】A
【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到
，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，
这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得 ，
解得 ，
即这个圆锥的底面半径是6．
故选：A．2．如图，从直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形 ，若将剪下来的扇
形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线连接 ，如图，先求出 ，
则可判断 为等边三角形，所以 ，设该圆锥的底面圆的半径为r ，由于
圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长，则利用弧长公式得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：连接 ，如图，
∵O点为扇形 的弧 的中点，
，
，
为等边三角形，
，
设该圆锥的底面圆的半径为 ，
，解得 ，
即该圆锥的底面圆的半径为 ．
故答案为 ．3．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 、 、 ．其中点
的坐标为 ，
(1)画出△ABC的外心D（保留画图痕迹）
(2)写出点的坐标：C_______、D_______；
(3)外接圆 的半径=_______；
(4)若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______；
(5)若 ，试判断直线 与 的位置关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ， ；
(3)
(4)
(5)直线 与圆 的位置关系是相切，见解析
【分析】此题考查勾股定理，切线的性质，扇形弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关
键．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦 的垂直平分线，以及 的垂直平分
线，两直线的交点即为圆心 ，连接 ， ；
（2）根据第一问画出的图形即可得出 及 的坐标；
（3）在直角三角形 中，由 及 的长，利用勾股定理求出 的长，即为圆 的
半径；
（4）设该圆锥的底面半径，根据地面周长等于弧长即可得出 的值；
（5）直线 与圆 的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出 的长，在直角三角
形 中，由 及 的长，利用勾股定理求出 的长，再由 的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形 为直角三角形，即 垂直于 ，可得出直线 为圆 的切线
【详解】（1）解：根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦 的垂直平分线，以及
的垂直平分线，两直线的交点即为圆心 ；
（2）根据图形得： ， ．
故答案为： ， ；
（3）在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
则 的半径为 ．
故答案为： ；
（4）由题意可得出： ，设该圆锥的底面半径 ，
扇形 是一个圆锥的侧面展开图，
则该圆锥的底面周长为： ，
，解得 ．
故答案为： ；
（5）直线 与 的位置关系为相切，理由为：
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
在 中， ， ， ，， ，
，
为直角三角形，即 ，
，则 与圆 相切．
类型四、求圆锥的高
1．如图，从边长为 的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为 的扇形铁皮，要把它做圆
锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间
的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为 ，再由圆锥的底面
圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解．
【详解】解：圆锥的底面圆的周长为 ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，
则 ，
解得： ，则这个圆锥形容器的高为 （ ），
故选：C．
2．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则此圆锥的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长公式、圆锥的展开图、求圆锥的高，由弧长公式求得扇形半径 ，
进而求得底面圆的半径为 ，再利用 求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
，
∵扇形的弧长等于底面圆的周长，
∴底面圆的半径为 ，
，
故答案为： ．
3．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 ，圆心角 ，求此圆锥高
的长度．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面圆的半径为 ，由于圆锥的侧面展开图为一
扇形，则根据弧长公式得到 ，解方程求出 ，然后利用勾股定理计算出
的长即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 ，根据题意，得： ，
解得： ，
即 ，
∴ ，
∴此圆锥高 的长度为 ．
类型一、正多边形的尺规作图
1．如图， 为 直径，作 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作 的中垂线，交圆 于 两点；2．作 的中垂线，交圆 于 两点；
3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
乙：1．以 为圆心， 长为半径作弧，交圆 于 两点；2．以 为圆心， 长为半
径作弧，交圆 于 两点；3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边
和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60 ，求出其他等边三角形，从而得出各边
和各角相等 °
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得 △OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC ∠EOF 60
∴△OBC=, △OEF=也是° 等边三角形
∴内接六 边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB AO BO AF OF
∴△O=AB,=△OA=F都=是等边三角形，
同理可得 △OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC ∠EOF 60
= = °∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六 边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
2．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤
如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH= ，由勾股定理得AH
＝ ，可求OG＝ ﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）
2＝10﹣2 即可．
【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，
∴OH= ，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝ ，∵AH＝HG＝ ，
∴OG＝GH﹣OH＝ ﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）2＝10﹣2 ．
故答案为：10﹣2 ．
【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作
圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是
解题关键．
3．如图，已知 ，请用尺规做 的内接正四边形 ．（保留作图痕迹，不写做
法）
【答案】图见解析
【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点
，连接 并延长交 于点 ，再作 的垂直平分线交 于B、D，连接
，则四边形 就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形 为所作．垂直平分 ， 为 的直径，
为 的直径，
，
， ， ，
四边形 是矩形
,
四边形 是正方形，
又 都在圆上，
四边形 是 的内接正方形．
类型二、求不规则图形面积
1．如图，在半圆 中， 为其直径，点 ， 是半圆 的三等分点．已知弧 的长为
， ，则图中阴影部分的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先通过弧长公式求出半圆的半径，再利用等边三角形的性质和三角形、扇形的面
积公式，通过三角形面积减去扇形面积来计算阴影部分面积．
【详解】解：连接 、 、 ，过 作 于 ， 交 于 ，∵点 ， 是半圆 的三等分点，
∴ ． ， ，
设半圆 的半径为 ，则 ，
解得 ．
∵ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴
∴ ，
∴ ．
∵
∴ ， ， ，扇形 的
面积为 ．
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
∴阴影部分面积为扇形 ．故选： ．
【点睛】本题主要考查弧长公式、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，熟练掌握
弧长公式和扇形面积公式是解题的关键．
2．如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延长
线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 /
【分析】连接 ，根据已知条件得到 是 的直径， ，根据切线的
性质得到 ，得到 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性
质得到 ，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ 是 的直径， ，
∵ 分别与 相切于点A和点D，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定
和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 在以 为圆心的半圆上，过点 作
，分别交 、 的延长线于点 、 ， 交半圆 于点 ，连接 ．
(1)判断直线 与半圆 的位置关系，并说明理由；
(2)①求证： ；
若半圆 的半径为 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)结论： 是 的切线．理由见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据平行四边形 的性质以及 证明 即可；
（2）①只要证明 是等边三角形即可解决问题；②求出 、 ，阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】（1）解：结论： 是 的切线．
理由：连接 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
，
， 都是等边三角形，
，
，
，
是直径， ，
，
四边形 是矩形，
，
是 的切线；
（2）①证明：由（1）可知： ， ，
是等边三角形，
；
②解：在 中， ， ， ，
， ，
．
【点睛】本题考查切线的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积
公式，掌握相关知识是解决问题的关键．
类型三、圆锥侧面最短路径
1．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形 ，粮堆母线 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则
小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化
为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形可知，展开
图是半径是6的半圆．点 是半圆的一个端点，而点 是平分半圆的半径的中点，根据勾
股定理就可求出两点 和 在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】
解：圆锥的底面周长是 ，则 ，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中 ， ， 度．
在圆锥侧面展开图中 ．
故小猫经过的最短距离是 ．故选： ．
【点睛】
本题考查的是平面展开 最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定
理求解是解答此题的关键．
2．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形 的边长为6m，粮堆母线 的中点P处有一
只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m．
【答案】
【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底
面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为 ，即圆锥侧面展开为半
圆． 点正好在半圆的中点处，由此得 为直角三角，根据勾股定理即可求出 的
长，即小猫所经过的最短路径．
本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关
键．
【详解】 为正三角形，
，
，
∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ，
，则 ，
（m），
故答案为： ．
3．综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为 、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆
锥的底面半径为r，点A与点 重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相
等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽， ，C是 中点，现要
从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)相等；
(2) ；
(3)
【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌
握圆锥的相关计算是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据 求解即可；
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ，进而根据勾股定理求
解即可．
【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧
长与圆锥底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
则： ，即： ．
（3）解：如图：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ，
∴ ，
∵ ，C是 中点，
∴ ，
∴在 中， ，
∴彩带长度的最小值为 ．
