文档内容
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【考点归纳】
考点一：判断点和圆的位置关系
考点二：三角形外接圆的计算和作图
考点三：直线和圆的位置判断
考点四：已知直线和圆的位置关系半径或者距离
考点五：切线的性质与判定
考点六：切线长定理
考点七：三角形的内切圆
考点八：切线的综合问题
【知识梳理】
知识点一：点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
知识点2：直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
知识点三：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
O
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 M A N2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
知识点四：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线 ∴ ； 平分
B
O
P
A
知识点五：三角 形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内
心。
【题型探究】
题型一：判断点和圆的位置关系
1．（24-25九年级上·浙江金华）在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径作 ，则点
与 的位置关系是（ ）
A．在 内 B．在 上 C．在 外 D．无法确定
2．（24-25九年级上·广东广州）若 的直径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点 与 的位置关系为（
）
A．点 在圆内 B．点 在圆上 C．点 在圆外 D．不能确定
3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，若关于 的方程 不
存在实数根，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 外 B．点 在 上
C．点 在 内 D．无法确定题型二：三角形外接圆的计算和作图
4．（24-25九年级上·浙江杭州）设 的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ）
A．5 B．10 C． D．5或
5．（24-25九年级上·江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ．
(1)在图中利用直尺画出 的外接圆的圆心点 ，圆心 的坐标为 ；
(2)求 外接圆的面积．
6．（23-24九年级上·江苏无锡）如图所示，已知在 中， ．
(1)作出 的外接圆 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求 的面积以及外接圆半径．
题型三：直线和圆的位置判断
7．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知 的半径为3，圆心 到直线的距离为2，则 与直线的位置关
系是（ ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
8．（2024·山东青岛·一模）已知平面内有 和点A，B，若 的半径为 ，线段 ， ，则
直线 与 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知直线l与 相离，圆心O到直线l的距离为 ，则 的半径
可能为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
题型四：已知直线和圆的位置关系半径或者距离
10．（20-21九年级上·重庆长寿·期末）若直线 与半径为 的⊙O相交，则圆心O到直线 的距离可能为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
11．（2023·陕西西安·一模）在 中， ， ， ．若 与 相离，则半径为r满足
（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ， ，若 与直线 相
交，则 半径r的值或取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：切线的性质与判定13．（24-25九年级上·全国）如图， 是 的直径， 是 的切线， 于点E，交 于点 ，连接
．求证： 是 的切线．
14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为半径作圆，与
相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．求证： 为 的切线；
15．（2024九年级上·全国）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线 交 的延长线于点C，过点
O作 ， 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．题型六：切线长定理
16．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F且
，则 的周长为（ ）．
A．7 B．14 C．10 D．4
17．（23-24九年级下·北京·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的两条切线，切点分别为B，C．连接
交 于点D，交 于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若点E是 的中点， 的半径为6，求 的长．
18．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为 外一点， 为 的切线，切点分别为A、B，直线 交
于点D、E，交 于点C．(1)求证∶ ．
(2)若 ，连接 ，求证：四边形 是菱形．
题型七：三角形的内切圆
19．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且
， ， ，则阴影部分（即四边形 ）的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且
， ，则 的周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
21．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图， 是 的内切圆，与 ， ， 分别相切于点D，E，F．
若 的半径为2， ， ， ，则 的面积为（ ）A． B．24 C．26 D．52
题型八：切线的综合问题
22．（2024九年级上·全国）如图，I是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 于点M．求证： ．
23．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，F是 上的一点，
交于点 为 延长线上的一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求 的半径长．
24．（2024九年级上·全国）如图， 为 的一条弦， 切 于点 ，直线 交 于点E，交
于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 交直线 于点D，交 于另一点F．
①求证： ；
②若 ，求 的半径．
【高分达标】
一、单选题
25．（24-25九年级上·福建福州）已知 的半径是 ， 是 外一点，则 的长可能是（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F
在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）A．点D B．点E C．点F D．点G
27．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中点，过点
画 的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
28．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，其内切圆分别与
相切于点D、E、F，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，C、D为 上的点，直线 切 于C点，图
中与 互余的角有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 与 的边 相切干点B，将 绕点B顺时针方向旋转
得到 ，使得点 落在 上，边 交线段 于点C，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点 是 上两点，连接 并延长交切线 于点 ，连接 、
、 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
32．（24-25九年级上·湖南长沙）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：① ；②若点G为 的中点，则 ；③连接 ，若
，则 ；④ ．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
33．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， ， 分别与 相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动
点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
34．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的外接圆，P是 延长线上一点，连接 ，
且 ，点D是 中点， 的延长线交 于点Q，则下列结论：
① ；② 垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④二、填空题
35．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点 ，点B的坐标为 ， 的半径为
5．若点B在 内，则a的范围是 ．
36．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，
交 于F，D两点．若 ， ， ，则 的周长为 ．
37．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径 上一点， 与圆O相切于点M，连接 ，
，若 ，则 的长为 ．
38．（24-25九年级上·江苏扬州）如图， 为 外一点， 分别切 于点 ， 切 于点 ，分别
交 于点 ，若 ，则 的周长为 ．
39．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨）如图， 是 的切线，A为切点，连接 ，点C在 上， ，
连接 并延长，交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为 ．40．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，D是 上一点，
E是 上一点， ，若以 为直径的圆交 于M、N点，则 的最大值为 ．
三、解答题
41．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交 于点D，过点D
作 的垂线，垂足为E．
(1)求证： 与 相切；
(2)请探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
42．（2024九年级上·全国）如图，在 中， ，以 为直径作 为 上一点，且，连接 并延长交 的延长线于点E．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)若 ，求 的长．
43．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点O在 上， 过
点A和点B．
(1)求证： 是 的切线；
(2)点D是 上一点， ，求 的长．
44．（24-25九年级上·全国·期中）如图， 为 直径，点 为 上一点， 平分 ， ，垂足为 ，
交 于点 ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的直径．
45．（24-25九年级上·江苏南京）如图， 为 的直径，C为 上一点， 的切线 交 的延长线于点
D．
(1)求证： ；
(2)若 ．求 的长．
46．（24-25九年级上·浙江杭州）如图1， 是 的直径，点D为 下方 上一点，点C为 的中点，连结 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，延长 相交于点E，
①求证： ．
②若 ， ，求 的半径．
