文档内容
24.3 正多边形和圆
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一：正多边形及有关概念
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一
边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
考点二：正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ；正多边形的中心角与外角的大
小相等 .
【题型探究】题型一：正多边形的中心角
【例1】．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形 内接于 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正六边形 内接于 ，点 在 上，则
的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若 是正n边形
的一个中心角，则n的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
题型二：求正多边形的边数
【例2】．（2025·安徽合肥·三模）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的内接正五边形，
若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ）A．15 B．16 C．17 D．18
【变式1】．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中
心，若 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2025·河南濮阳·二模）如图， 是 内接正 边形的一条边，点 在 上， ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型三：正多边形和圆
【例3】．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）苯（分子式为 ）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，
随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O
为正六边形 的中心．若 ，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．【变式1】．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，
即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则
与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为 ．
如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，
若用圆内接正八边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式2】．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形 内接于 ，若 的面积为 ，则正六边形的
边长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
题型四：正多边形的尺规作图
【例4】．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法．(1)请在图1的正方形 内，画出一个点 满足 ；
(2)请在图2的正方形 内（含边），画出使 的所有的点 ．
【变式1】．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形 的 边为边作菱形 ，使得点E在 上；
(2)请在图②中以矩形 的 边为直径作 ，并在 上确定点P，使得 的面积与矩形 的面积
相等.
【变式2】．（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为 的直径．请用尺规作图法，作出 的内接正方形
ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
题型五：正多边形和圆的综合问题
【例5】．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形 内接于 ，其边长为4，求 的内接正三角
形 的边长．【变式1】．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边 为直径作 ，点E是边 上一
点（不与B，C重合），将正方形沿 折叠，使得点C恰好落在 上．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段 的长．
【变式2】．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）正方形 的四个顶点都在 上，E是 上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出 的度数；
(2)如图2，若点E在 上运动（点E不与点B、C重合），连接 ， ， ，试探究线段 ， ， 的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在 上运动，分别取 、 的中点M、N，连接 ， ， 交 于点F，四边形
与四边形 关于直线 对称，连接 ， ，当正方形 的边长为2时，求 面积的
最小值．
【变式3】．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形 内接于 ， 为 任意一点，连接 、
．
(1)求 的度数．
(2)如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ， ， ， ，求 的长度．
【高分达标】
一、单选题
1．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若正六边形的半径是 ，则该正六边形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．
3．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为
的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ）A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是正六边形，边长为2， 是边 上一个动点，
的值可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为 ， ，
公共边为 ，其中一个正六边形的外接圆与 交于点A，若 ，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若 ，则该
正多边形的边数为（ ）A．7 B．8 C．10 D．11
8．（24-25九年级下·陕西安康·月考）如图，正六边形 F内接于 ，连接 ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖北·一模）如图，正五边形 内接于⊙O，点F是劣弧 上一点(点F不与点D，E重合)，连接
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形 的中心，P为正六边形内一点，且 ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
二、填空题
11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形 内接 ，点F是 的中点， 连接 ，
交于点G， 则 的度数是 ．12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图， 是正五边形 的外接圆，则 ．
13．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则正六边形 的周
长为 ，面积为 ．
14．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形 内接于 ，连接 ， ，则 的大小
是 ．
15．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ，若 的周长等于 ，则正六
边形的内切圆的半径为 ．16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在 内接正六边形 中，连接 ， 交于点 ．设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．
三、解答题
17．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，圆内多边形 是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求；
(2)在图2中，圆内正多边形 是正五边形，请作出垂直 的直径．线段 即为所求．
18．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦， ，延长 到
，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求以 为边的圆内接正多边形的周长．19．（23-24九年级下·广东江门·期中）已知正六边形 ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕
迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
(1)在图中作出以 为对角线的一个菱形 ；
(2)已知六边形的边长为2，求菱形 的面积．
20．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图， 的周长等于 ，正六边形 内接于 ．
(1)求圆心 到 的距离．
(2)求正六边形 的面积．
21．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 的半径为r，六边形 是圆的内接正六边形，四边形
是正方形．(1)求正六边形 与正方形 的面积比；
(2)连接 ，求 度数．
22（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，正方形 内接于 ，M为弧 中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 的度数．
