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24.3—24.4 正多边形和圆 弧长和扇形面积一、正多边形和圆
正多边形与圆的关系非常密切。把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点
所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
1.正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
4.正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
任意多边形不一定有外接圆，但当多边形是正多边形时，一定有外接圆。
二、弧长和扇形面积
1.弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l= 。在弧长公式中，已知
l、n、R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
2.扇形的面积公式：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。在
半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积是S扇形= 。比较扇形面积公式与弧长公
式，可以用弧长表示扇形面积，即S扇形= ，其中l为扇形的弧长，R为半径。
巩固课内例1:正多边形的周长与面积
1．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．2．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形 的半径是
，则这个正六边形的周长是 ．
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接
正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可
割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了
圆周率 的近似值为 ，如图，若 的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通
过分割成三角形，利用特殊角解决）
(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计 的面积，可得圆内接正十二边形面
积是_____，可得 的估计值为_____．
巩固课内例2:扇形的弧长
1．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道 展
直长度是（ ） ．
A． B． C． D．
2．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中 的长为 ．（结果保留π）
3．如图是一段弯形管道，其中， ，中心线的两条圆弧半径都为 ．
求图中管道的展直长度（ 取 ）．
巩固课内例3:扇形的面积
1．如图是完全展开的扇形纸扇， 夹角为 ， 的长为 ， 的长为
，则扇面（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．将一个母线长为 的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为 ，
则扇形的面积为 ．
3．如图， 是半圆 的直径， ， 是半圆 上的两点， ， 与 交于点
，若 ．(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求扇形 的面积．
巩固课内例4:蒙古包问题
1．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积 ，
圆柱高为 ，圆锥高为 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A． B． C．
D．
2．蒙古包可以近似地看作由圆柱和圆锥组成．其中，底面圆半径为 ，圆锥高为 ，
圆柱高为 ，门的高和宽分别为 和 ，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛
毡（接缝忽略不计），那么所需要羊毛毡的面积为 ．
3．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面直径为 ，整
个高为 ，外围高 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（结果保留 ）？类型一、正多边形的中心角
1．如图，正五边形 内接于 ，点 在弧 上．若 ，则 度数
为（ ）
A． B． C． D．
2．如果一个正多边形的内角和是 ，那么它的中心角是 度．
3．如图，正方形 的外接圆为 ，点P在劣弧 上（不与点C重合）．
(1)求 的度数；
(2)若 的半径为8，求正方形 的边长．
类型二、求扇形半径
1．已知扇形的面积为 ，扇形的弧长是 ，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
2．一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是 ．3．如图，用一个圆心角为 的扇形围成一个无底的圆锥，若圆锥底面圆的半径为 ，
求扇形的半径．
类型三、求圆心角
1．一个扇形的弧长是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．若长度为 的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ．
3．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分
为花窗）．已知 ，点C，D分别为 的中点，且 的长度为 ．
(1)求扇形 的圆心角度数；
(2)依据相关数据，求花窗的面积．
类型一、求弓形面积
1．如图是 的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网
格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴
影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
2．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图
形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长 ，则“勒洛三角形”与等边 围成
阴影部分的面积等于 （结果保留 ）．
3．如图， 为正三角形 的外接圆，直线 经过点C， ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
类型二、求圆锥侧面积
1．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．直角三角形的两直角边长分别为 ，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得
到的几何体的侧面积是 ．3．如图，已知扇形 的半径为 ，圆心角的度数为 ，若将此扇形围成一个圆锥，
求：
(1)围成的圆锥的侧面积．
(2)围成的圆锥的全面积．
类型三、求圆锥底面半径
1．用一个半径为20，圆心角为 的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面
半径是（ ）
A．6 B．5 C．6π D．5π
2．如图，从直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形 ，若将剪下来的扇
形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
3．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 、 、 ．其中点
的坐标为 ，
(1)画出△ABC的外心D（保留画图痕迹）(2)写出点的坐标：C_______、D_______；
(3)外接圆 的半径=_______；
(4)若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为_______；
(5)若 ，试判断直线 与 的位置关系并说明理由．
类型四、求圆锥的高
1．如图，从边长为 的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为 的扇形铁皮，要把它做圆
锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A． B． C． D．
2．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则此圆锥的高为 ．
3．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 ，圆心角 ，求此圆锥高
的长度．
类型一、正多边形的尺规作图
1．如图， 为 直径，作 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作 的中垂线，交圆 于 两点；2．作 的中垂线，交圆 于 两点；3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
乙：1．以 为圆心， 长为半径作弧，交圆 于 两点；2．以 为圆心， 长为半
径作弧，交圆 于 两点；3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
2．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤
如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
3．如图，已知 ，请用尺规做 的内接正四边形 ．（保留作图痕迹，不写做
法）类型二、求不规则图形面积
1．如图，在半圆 中， 为其直径，点 ， 是半圆 的三等分点．已知弧 的长为
， ，则图中阴影部分的面积为（）
A． B． C． D．
2．如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延长
线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．
3．如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 在以 为圆心的半圆上，过点 作
，分别交 、 的延长线于点 、 ， 交半圆 于点 ，连接 ．
(1)判断直线 与半圆 的位置关系，并说明理由；(2)①求证： ；
若半圆 的半径为 ，求阴影部分的面积．
类型三、圆锥侧面最短路径
1．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形 ，粮堆母线 的中点P处
有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则
小猫所经过的最短路程是（ ）
A．3 B． C． D．4
2．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形 的边长为6m，粮堆母线 的中点P处有一
只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短
路程是 m．
3．综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为 、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆
锥的底面半径为r，点A与点 重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心
角度数，再度量裁剪材料．(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相
等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽， ，C是 中点，现要
从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
