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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【考点归纳】
【知识梳理】知识点一：点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
知识点2：直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
知识点三：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
O
即：∵ 且 过半径 外端
M A N
∴ 是⊙ 的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
知识点四：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线 ∴ ； 平分
B
O
P
A
知识点五：三角 形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
【题型探究】
题型一：判断点和圆的位置关系
【例1】．（25-26九年级上·北京·期中） 的半径为4，O为原点，点P的坐标为 ，则P与 的位置关
系是（ ）．
A．点P在 内 B．点P在 上
C．点P在 外 D．点P在 上或点P在 外
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点P到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点与圆的位置关
系．
【详解】解：∵圆心O的坐标为 ，点P的坐标为 ，
∴ ，
∵ 的半径为4，且 ，
∴点P在 外．
故选：C．
【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中， 是坐标原点， 的半径为5，若点 的
坐标为 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 内 B．点 在 上 C．点 在 外 D．不能确定
【答案】A
【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两点间距离公式，正确理解点与圆的位置关系是解题关键．
根据 的坐标得出 的长，与半径作比较，即可得出结论．
【详解】解： 点 的坐标为 ，
，
， ，
∵ 是坐标原点， 的半径为5，
∴点 在 内．故选：A．
【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 的半径为3，点 到圆心 的距离 恰好是一元二次
方程 的根，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 的内部 B．点 在 上
C．点 在 的外部 D．点 在 的内部或点 在 的外部
【答案】D
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，解一元二次方程，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
先解方程求出x的值，再根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵解方程 得， ， ，
∴当 ， 时，点P在圆内；
当 ， 时，点P在圆外，
∴点 在 的内部或点 在 的外部．
故选：D．
题型二：点与圆上一点的最值问题
【例2】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的 圆心 的坐标为 ，点 是 上任意
一点， ， 与 轴分别交于 ， 两点，且 ，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最大值为（
）
A．60 B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接 ，由直角三
角形斜边中线的性质推出 ，当 在 的延长线上时， 最大，此时 最大，由勾股定理求出
，得到 ，即可求出 的最大值．
【详解】解：过 作 ，连接 ，
的坐标是 ，在 中，由勾股定理得：，
， ，
，
当 取最大值时， 的值最大，当 在 的延长线上时， 最大，
圆的半径是5，
，
，
，
的最大值是40．
故选：B．
【变式1】．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形 中， ，以A为圆心，1为半径作 ．若动
点 在 上，动点 在 上，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．
以 为轴作矩形 的对称图形 以及对称圆 ，连接 交 于P，并延长，交 于一点G，则
就是 最小值；根据勾股定理求得 的长，即可求得 最大值．
【详解】解：如图，以 为轴作矩形 的对称图形 以及对称圆 ，连接 交 于P，并延长，交
于一点G，则 就是 最大值；∵矩形 中， ，圆A的半径为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为6，
故选C．
【变式2】．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
， 的半径为1， 为圆上一动点， 为 的中点，连接 ， ，则 长的最大值为
A．5 B． C．6 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆
的位置关系是解题的关键．由点 、点 的坐标得 是 的中点，则 是 的中位线， ，当
的长最大时， 的长最大，根据点与圆的位置关系可得 长的最大值为 ，求出 ，即
可求解．
【详解】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
是 的中点，为 的中点，
是 的中位线，
，
当 的长最大时， 的长最大，如图，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
长的最大值为 ，
长的最大值为 ，
故选：D．
题型三：三角形外接圆问题
【例3】．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，且与 垂直，
则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理推出 被 垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接 ，∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
则 ，
则 ，
解得： ．
故选：B ．
【变式1】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点
三点，则下列说法中错误的是（ ）
A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为
C．点 在这条圆弧所在圆上 D．点 在这条圆弧所在圆上【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可．
【详解】解：如图，连接 ，作 的垂直平分线 ，垂足分别为 ， 相交于点 ，
则点 为圆弧所在圆的圆心，
,
，
，故选项B正确，连接 ，
，
这条圆弧所在圆的半径为 ，
故选项A正确，
连接 ， ， 点 在这条圆弧所在圆上，
故选项C正确， ， ， ， 点 在这条圆弧所在圆外，
故选项D错误，
故选： D．
【变式2】．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别
为： ， ， ，经画图操作可知， 的外心坐标应是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是
数形结合思想的应用．首先由 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 与
的垂线，两垂线的交点即为 的外心．
【详解】解： 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与 的垂直平分线交点即为 的外心，
的外心坐标是 ，
故选：D．
题型四：直线和圆的位置判断
【例4】．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在 中， ， ， 以点 为
圆心，以 的长为半径作圆，则 与 的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作 ，根据30度角的直角三
角形的性质，得 ，再结合以点 为圆心，以 的长为半径作圆，进行分析，即可作答．
【详解】解：过点C作 ，如图所示：
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵以点 为圆心，以 的长为半径作圆，且 ，
∴ 与 的位置关系是相交，
故选：C．
【变式1】．（2025·广东广州·二模）如图，在 中， ， ， 是 边上的高，
，若圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么圆 与直线 的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作 于点H，求出 ，由 即可得到结论．
【详解】解：过点D作 于点H，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴则圆 与直线 的关系是相离．
故选：B．
【变式2】．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为2.5，直线 的解析式为 ，
那么直线 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出 的长．求出
，由勾股定理得到 ，由三角形面积公式求出 ，而 的半径 ，即可判断直线
与 的位置关系．【详解】解：如图，直线 分别与 轴交于 ，
过 作 于 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
，
的面积 ，
，
，
到直线 的距离 ，
的半径 ，
，
直线 与 的位置关系是相交．
故选：C．
题型五：已知直线和圆的位置关系半径或者距离
【例5】．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在 中， ， ， ，若以 为圆心，
长为半径的圆 与边 有交点，那么 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】D【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求 ，利用三角形的面积公式可求
，当圆 的半径为 时，开始与 边有交点，当 时，圆 与 边有交点，当 时，圆
与 边没有交点，从而确定 的取值范围．
【详解】解：如下图所示，过点 作 ，
中， ， ， ，
，
，
，
解得： ，
当以点 为圆心的圆的半径 时，圆经过点 ，
当 时，圆 与边 没有交点，
．
故选：D ．
【变式1】．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在 中， ， ， ，
以 为圆心， 为半径的圆与边 有公共点，则 的取值范围为（ ）A． B． 或
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作 于 ，由勾股定理求出
，由三角形的面积求出 ，由 可得以 为圆心， 或 为半径所作的圆与斜边 只有一个公
共点；若 与斜边 有公共点，即可得出 的取值范围，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：作 于 ，如图：
，
的面积
即圆心 到 的距离
∴以 为圆心， 或 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
∴若 与斜边 有公共点，则 的取值范围是： ，
故选：D．
【变式2】．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ， ，
如果以 为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么 长的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线 和圆的位置
关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线 相交，设直线 和圆相切于点E，
连接 ，则 ， ，
又∵ ，
∴此时 ．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线要和圆相交，则 ．
故选D．
题型六：切线的性质定理
【例6】．（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 是 的切线，B为切点，连接 交 于点C，延长 交
于点D，连接 ．若 ，且 ，则 的长度是（ ）A．15 B．10 C． D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含 直角三角形的性质，勾股定理，连接 ，设
的半径为 ，根据 ， ，得 ，结合切线的定义可知 ，再根据含 直角
三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接 ，
设 的半径为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的两条切线，B、C
是切点，若 ， ，则 的长度为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接 ，证明 是等边三
角形，得到 ，由圆周角定理和切线的性质证得 ，进而证得 ，即可求
出答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的两条切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， ， 是 的切线，A，C为切点，若 是
的直径，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得 ，由等腰三角形的
性质得 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，
， 是 的切线，
， ，
，
，
，
，
故选：C．
题型七：切线的判定与性质综合问题
【例7】．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图， 为 的切线，A为切点，连接 ，过点A作
，垂足为C，交 于点B，连接 ，求证： 为 的切线．
【详解】证明：如图所示，连接 ，
，，
，
，
为 的切线，
，即 ，
，
为 的半径，
为 的切线．
【变式1】．（2025·广东佛山·三模）如图， 是 的弦， 为过点 的切线上一点，且 ， 分
别在 上，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的度数．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ．∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【变式2】．（2025·广东汕头·三模）如图， 是 的直径， 与 相切于点 ， 交 的延长线于点 ，
交 的延长线于点 ，
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径．
【详解】（1）解：证明：过点O作 ，
是 的直径， 与 相切于点A，，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
与 相切；
（2）由（1）证得 ，
，
， ， ，
∴
由（1）证得 ，
，
，
设 的半径为： ，
，
，
的半径为 ．
题型八：切线长定理
【例8】．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ， 的内切圆的半径为2，三
个切点分别为 ，若 ，则 的面积是（ ）A．14 B．24 C．28 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出
四边形 是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接 ， ，
是 的内切圆，切点分别为 ， ， ，
， ， ， ，
又 ，
四边形 是矩形，
又 ，
矩形 是正方形，
，
设 ，则 ， ，
在 中
，
解得： ， ，
， ，或 ， ，
．
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为 外一点， ， ， 分别切 于A，B，C三
点，且切线 分别交 ， 于点M，N．若 ，则 的周长为（ ）A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
利用切线长定理得出 ， ， ，再利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵P为 外一点， ， ， 分别切 于A，B，C三点，且切线 分别交 ， 于点
M，N， ，
∴ ， ， ，
∴ 的周长为
，
故选：C．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，直线 ， ， 分别与 相切于点 ， ， ，
且 ， ， ．则 的直径为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明
，再根据勾股定理即可求得 的长，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：连接 ，根据切线长定理得： ， ， ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 的直径为 ．
故选：D．
题型九：三角形的内切圆问题
【例9】．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在 中， ， ， 与 三边分别
相切于点 ， ， ，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接 、 、 、 ，
与 三边分别相切于点 ，且 ， ， ，∴ ， ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【变式1】．（24-25九年级上·河北邢台）在 中， ， ． 是 的内切圆，连接
、 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得 、 分别
平分 、 ，则 ， ，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵ 是 的内切圆，
∴ 、 分别平分 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】．（2024·广东广州·一模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若
的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．0， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接 ．利用切线长定理，可得
，从而得到 ，再由圆周角定理，可得 ，即
可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A题型十：三角形内切和外切的综合问题
【例10】．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图， 是 的直径， 内接于 ，点 是 的内心，
的延长线与 交于点 是 上任意一点，连接 ．
(1)若 ，求 的度数：
(2)若 ， ， ，请直接写出 与 的数量关系；
(3)找出图中所有与 相等的线段，并证明．
【详解】（1）解：∵ 内接于 ， 是 上任意一点，
∴四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ；
（2）同（1）法可得： ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，证明如下：
连接 ，∵点 是 的内心，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【详解】（1）证明： 点I是 的内心，
平分 ，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接 ，点I是 的内心，
平分 ， 平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
．
（3）证明：如图，连接 ， ， ，
，
．
，
∴点D是 的外心．
【变式2】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接
圆相交于点D，连接BE.
（1）直接写出∠BED与∠C的关系： .
（2）求证：DE=DB;
（3）若∠BAC=90 ,BD=4,求△ABC外接圆的半径.【详解】（1）解：由题意可得：
∠AEB=180°-(∠EBA+∠EAB)=180°- (∠CBA+∠CAB)=180°- (180°-∠C)，
∴∠AEB=90°+ ，
∴∠BED=180°-∠AEB=180°-（90°+ ∠C）=90°- ∠C；
（2）证明：由三角形内心的性质可得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC ，
∴∠BAD=∠DBC，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠BAD+∠ABE，
∴∠BED=∠DBE，
∴DB=DE．
（3）连接CD，如图所示：由(1)得： ，
∴CD=BD=4 ，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= = ，
∴△ABC外接圆的半径：r= ．
题型十一：直线与圆的综合压轴问题
【例11】．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知 是 的直径，点D是 延长线上一点， ，是 的弦， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，垂足为M， 的半径为8，求 的长．
【详解】（1）证明：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ 所对的圆周角是 ，圆心角是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径， ，垂足为M， 的半径是8，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
根据勾股定理得 ，
∴ ．【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图， 是 的直径，点 在 上， 为 外一点，且
， ．
(1)求证：直线 为 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是半径，
∴直线 为 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ，
，
∴ ，
由（1）得 ，∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的半径是 ．
【变式2】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图， 内接于 ，过点B的切线与线段 的延长线交于
点D，线段 交 于点E，交 于点F， ．
(1)求 的度数；
(2)连接 ，探究线段 ， 和 之间的数量关系，并进行证明．
【详解】（1）解：连接 ， ， ，
∵过点B的切线与线段 的延长线交于点D，
∴ ， ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，，
；
（2） ，
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
， ，
，解得： ， ，
， 四边形 是 的圆内接四边形，
，又 ，
，
在 与 中， ，
， ， ， ，
是等腰直角三角形， ， ， ．
【高分达标】
1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）以下说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三边的距离相等
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本性质和三角形的内心性质，需根据定义和定理逐一判断选项的正确性.
【详解】解：A、∵等弧需在同圆或等圆中且能完全重合，长度相等的弧不一定能重合，∴A错误；
B、∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，∴B错误；
C、∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴C错误；
D、∵三角形的内心是角平分线的交点，也是内切圆的圆心，到三边的距离相等，∴D正确；
故选：D．2．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定 的外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．
根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：A．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则
的外心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段
的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解．
【详解】解：如图，由图可知： 的外心坐标是 ；
故选B．
4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内
心定义．
过点 作 的延长线于点 ，根据点 为 的内心， ，可得
，所以 ，利用含 角的直角三角形可得 的长，进而可得
的面积．
【详解】解：如图，过点 作 的延长线于点 ，
点 为 的内心，
， ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若点M在 外，且 ，则 的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；注意半径为正
数．
根据点与圆的位置关系，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
【详解】解：∵点M在 外，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
又∵圆的半径 ，
∴ ，
故选：C．
6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图， 是一张周长为 的三角形的纸片， ， 是它的
内切圆，小明准备用剪刀在 的右侧沿着与 相切的任意一条直线 剪下 ，则剪下的三角形的周长为
（ ）
A． B．
C． D．随直线 的变化而变化【答案】C
【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出
，是解题的关键．设 与 、 、 、直线 分别相切于点 、
、 、 ，由 的周长为 ， ，求得 ，由 ， ，求得
，由 ， ，得 ，于是
得到问题的答案．
【详解】解：设 与 、 、 、直线 分别相切于点 、 、 、 ，
的周长为 ， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
剪下的三角形的周长为 ，
故选：C．
7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图， 为 的外接圆，且 是 的直径，点 是 上的一点，
连接 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到 ，
即可求出 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ 为 的外接圆，且 是 的直径， ，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， ，
，则 的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出 的长，进而可求出 的长．
【详解】解：∵ ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图， 切 于点C， 交 于点P，且 为 的直径，点Q是
上异于点B、P的一点．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，
以及同角的余角相等，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．∵ 切 于点C， 交 于点P，且 为 的直径，
∴ ，
，
，
，
故选：B．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，半径为 的 圆心 的坐标为 ，点 是 上任意一
点， ， 与 轴分别交于 ， 两点，且 ，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接 交延长，交 于点 ，
过点 作 ，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知
，当点 、 、 共线时 有最大值，最大值是 ，所以 的最大值是 ．
【详解】解：如下图所示，连接 并延长，交 于点 ，过点 作 ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
点 ，点 关于原点 对称，
，
，
，，
当 最大时 最大，
当点 、 、 共线时 有最大值，
的半径为 ，
的最大值是 ，
的最大值是 ．
故选：B．
11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图， 为 的直径， 内接于 ， ， ，
，延长 交 于点D，连接 ． 的直径是 ， ，则 的长等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出 ，由 得出
，连接 ，由圆周角定理得出 ，证出 是等腰直角三角形，得出 ，
由勾股定理可求 的长，即可得出结果．
【详解】解：连接 ，过点B作 于H，如图所示：∵ 为直径，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 （此时 不合题意，舍去）．
故选D
二、填空题
12．（25-26九年级上·全国·周测）在平面直角坐标系中，点M的坐标为 ．以点M为圆心，r为半径的圆与x
轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解题关键．先求出点 到 轴、 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出答案即可．
【详解】解：圆心 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，
∵圆与 轴相交，
∴ ；
∵圆与 轴相离，
∴ ．
∴ 的取值范围为 ．
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·北京·期中）如图， ， 分别与 相切于 ， 两点，若 ， ，则
的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理计
算，得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 分别与 相切于 ， 两点，若 ， ，
∴ ， ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．故答案为： ．
14．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在 中， ， ， ， 是 上
一点（点 与点 不重合）．若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点 、 成为直角三角形的三个
顶点，则 长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查含 角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设
的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D
是直角顶点时，过点D作 的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以 长为直径的圆与直角边的交点，当此圆
与直角边 相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不
符合题意．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
设 的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，
①当点D是直角顶点时，过点D作 的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以 长为直径的圆与直角边的交
点，
如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；
当以 为直径的圆与 相切时，如图所示，设圆的半径为r，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ；
∴ ；
综上， 的长的取值范围为： ．
故答案为： ．
15．（2025·青海西宁·三模）如图所示， 的两条切线 和 相交于点 ，与圆 相切于 两点， 是圆
上的一点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理．
连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，再根据四边形的内角和可得 的度数，然后根
据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接 ，∵ ， 分别与 相切于 两点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得： ，
故答案为： ．
16．（25-26九年级上·北京·期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点．若 ， ，则
直径 的长是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含 角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的
性质，得出 ， ，然后根据含 角的直角三角形的性质求出 ，即可求
解．
【详解】解： ， 是 的切线， ，
∵
， ，
∴
，
∵
，
∴
直径 ．
∴故答案为： ．
17．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交
于点D，与 相交于点G，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点G为
的中点，则 ；④ ．其中一定正确的是 （填序号）【答案】①②③④
【分析】利用三角形内心的性质得到 ，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行
判断；根据圆周角定理，等弧与等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明 得到
，则可对④进行判断．
【详解】解：∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，故①正确；
连接 ， ，
∵点 是 的内心，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，故③正确；∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
∴一定正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题
18．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，
连接 ， ， ．求证： 是 的切线．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明
是 的直径，再证明 ，则可证明 ，据此可证明结论．
【详解】证明：连接 ，如图，
，
是 的直径，
， ，
，
，
，即 ，
，
为 的半径，
是 的切线．
19．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 为 的直径，点 在 上， 的平分线交 于点 ，过点 作 ．交 的延长线于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含 直角三角形的性质，熟练
掌握切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含 直角三角形的性质是解题的关键；
（1）连接 ，由题意易得点 是 的中点，则有 ，根据平行线的性质可得 ，进而问题可求
解；
（2）过点 作 于点 ，则有四边形 是矩形，然后可得 ，进而根据含 直角三角形的性
质及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
∵ 的平分线交 于点 ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点，
∵ 是半径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 是 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如图所示：∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，
且
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题
的关键．
（1）由题易得 为直径，再证 ，即可得解；
（2）先证 垂直平分 ，再利用等面积求出 长即可．
【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
四边形 内接于 ，
为 的直径，，
，
，
，
，
，
，
为半径，
为 的切线，即 与 相切；
（2）解：如图，记 、 交于点 ，
，
，
，
为直径，
垂直平分 ，
，
，
，
根据等面积可得 ，
．
21．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图， 是 的直径，射线 交 于点 ， 是劣弧 上且
，过点 作 于点 ，延长 和 的延长线交于点 ．(1)证明： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 半径 ．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活
应用是解题关键．
（1）连接 ，先证明 ，再证明 ， ，进而证明 ，即可证明
是 的切线；
（2）设 的半径为r，根据勾股定理得到 ，解方程即可得到 的半径为3．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：设 的半径为r， ， ，∵在 中， ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为3．
22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知 ， 分别与 相切于点A，B， ，C为 上一点．
(1)如图①，求 的大小；
(2)如图②， 为 的直径， 与 相交于点D．若 ，求 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解
题的关键．
（1）连接 、 ，根据切线的性质得到 ，根据四边形内角和等于 计算 的度数，
再根据圆周角定理求解；
（2）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）解：连接 、 ，如下图所示，
∵ ， 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
23．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知 是 的直径， 是 的切线， ．
(1)如图①，若 ，求直径 的长；
(2)如图②，点 是 上一点，若 ， 与 相交于点 ，过点 作弦 ，与 相交于点
，求 和直径 的长．
【答案】(1)
(2) ， ；
【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．；
（1）由题意得 ；推出 即可求解；
（2）连接 ，同理可得 ；根据 ，推出 ，即 ；进而得
，设半径为 ，则 ，根据 ，即可求解；
【详解】（1）解：∵ 是 的切线，
∴ ，即 ；
∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ， ；
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
设半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
24．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图， 为 的切线， 为切点， 是 上一点，过点 作
于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，连接 ，若 ，求 的大小；(2)如图2，延长 交 于点G，连接 ，若 ， 的半径为5，求 和 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，
解题的关键是掌握这些知识点．
（1）连接 ，由于 为 的切线， 为切点，推出 ， ，然后可得 ，再根据
，最后可求解；
（2）连接 ，根据 ， ，可推出 ，然后可得 是等边三角形，最
后可得 ，在 中，求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ．
∵ 为 的切线， 为切点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ；
（2）连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ．与（1）同理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为5，
∴ ．
∵ 是⊙O的直径，
∴ ，
∴在 中， ．
