文档内容
24.3 正多边形和圆
【考点归纳】
考点一：正多边形的中心角
考点二：求正多边形的边数
考点三：正多边形和圆
考点四：正多边形的尺规作图
考点五：正多边形和圆的综合问题
【知识梳理】
知识点一：正多边形及有关概念
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一
边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
考点二：正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ；正多边形的中心角与外角的大
小相等 .
【题型探究】
题型一：正多边形的中心角
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，正五边形 内接于 ，连结 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽·一模）如图，点 是正五边形 的中心，连接 ， ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
题型二：求正多边形的边数
4．（2023九年级上·江苏）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，
则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图， 是 内接正六边形的一边，点 在弧 上，且 是 内接正
八边形的一边．此时 是 内接正 边形的一边，则 的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若
，则这个正多边形的边数为（ ）A．10 B．12 C．15 D．20
题型三：正多边形和圆
7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形 、等边三角形 内接于同一个圆，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 是正六边形 的外接圆，若 的半径为6，则四边形
的周长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为（ ）A．1 B．2 C． D．
题型四：正多边形的尺规作图
10．（2020九年级下·山东青岛）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
11．（2021·陕西·模拟预测）如图，已知 ，点 在圆上，请以 为一顶点作圆内接正方形 ．（保留作图痕
迹，不写作法）
12．（21-22九年级上·湖北武汉）如图1，等边 内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出 与 的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，
作图结果用实线表示）．题型五：正多边形和圆的综合问题
13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，M为弧 中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 的度数．
14．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形 为 的内接正六边形，过点D作 的切线，交 的延
长线于点P，连接 的半径为6．
(1)求 的度数；
(2)求线段 的长；(3)若点M为 上一点（不与点F，D重合），连接 ，直接写出 与 的面积之和．
15．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图， 、 分别是 的内接正三角形 、正方形 、正五边形
的边 、 上的点，且 ，连接 、 ．
(1)图①中 的度数是_____；
(2)图②中 的度数是_____，图③中 的度数是_____；
(3)若 、 分别是正 边形 …的边 、 上的点，且 ，连接 、 ，则 的度数是_____．
【高分达标】
一、单选题
16．（24-25九年级上·江苏盐城）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周
率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆
内接正十二边形．若 的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）A．3 B．12 C．4π D．12π
17．（2024·贵州贵阳·二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六
角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ，连接 ，则 的度数为为（ ）
A． B． C． D．
18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点，若 ，该
正多边形的边数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
19．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，正六边形 与正三角形 共顶点，若三角形 的边长
为 ，则这个六边形的面积为（ ）A． B． C． D．
20．（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形 内接于 ，点 在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形 内接于 ，点 是 上的一个动点，当 沿着
的路径在圆上运动的过程中（不包括 ， 两点）， 的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
22．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形 和正六边形 都内接于 连接 则
（ ）A． B． C． D．
23．（2024·贵州黔南·一模）如图，正六边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 ， 重合），则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·河北保定·一模）如图，画出了 的内接正四边形和内接正五边形，且点 在 ， 之间，则
（ ）
A． B． C． D．25．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形 的外接圆为 ，点 是劣弧 上一点，连接 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
若 ，则这个正多边形的边数为
27．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，正五边形 内接于 ，则 的度数为 ．
28．（2024·上海·模拟预测）由六块相同的含 的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边
形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为29．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形 内接于 ，P为劣弧 上的动点，则 的大小为
．
30．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点 ， ，若该圆
的半径为12，则线段 的长为 ．
三、解答题
31．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形 内接于 ，边长为2．
(1)求 的直径 的长；
(2)求 的度数．32．（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若P是 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ，求 的面积．
33．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分 ．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作 的垂线，垂足为K，以点O为圆心， 的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作
图痕迹，不需要写作法）
②求证： 是①所作圆的切线．34．（22-23九年级上·全国）如图① ② ③ ④分别是 的内接正三角形、正方形、正五边形、正 边形，点 ，
分别从点 ， 开始以相同的速度在 上逆时针运动．
(1)图①中， ______，图②中， ______，图③中， ______；
(2)试探索 的度数与正 边形的边数 的关系（直接写出答案）．
35．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若 是 上的动点，连接 ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ．
求 的度数；
求 的半径．36．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作
法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；③连接 ．
(1)求 的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
