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24.3 正多边形和圆
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一：正多边形及有关概念
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一
边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
考点二：正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ；正多边形的中心角与外角的大
小相等 .
【题型探究】题型一：正多边形的中心角
【例1】．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形 内接于 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关
键．连接 ，先求出 ，再求出 ，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正五边形 内接于 ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，
∵点 为 的中点，
∴ 的度数为 ，
∴ ，
由圆周角定理得： ，
故选：C．
【变式1】．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正六边形 内接于 ，点 在 上，则
的大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 是
解决问题的关键．由正六边形的性质得出 ，由圆周角定理求出 ．
【详解】解：连接 ， ，
多边形 是正六边形，
，
，
故选：C．
【变式2】．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若 是正n边形
的一个中心角，则n的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正 边形的每个
中心角都等于 是解题的关键．
连接 ，由正六边形与正方形可得 ， ，进而可得 ，再由“正 边形的每个中心角都等于 ”即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
正六边形与正方形，
， ，
，
是正n边形的一个中心角，
，
故选： ．
题型二：求正多边形的边数
【例2】．（2025·安徽合肥·三模）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的内接正五边形，
若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接 、 、 、 ，由题意可得 ， ，
，由圆周角定理计算得出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
【详解】解：如图：连接 、 、 、 ，由题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为 ，
故选：A．
【变式1】．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中
心，若 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接 ， ，根据圆周角定理得到 ，
即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，
∴点 、 、 、 在以点 为圆心， 为半径的同一个圆上，
∵ ，
∴ ，
∴这个正多边形的边数 ，故选： ．
【变式2】．（2025·河南濮阳·二模）如图， 是 内接正 边形的一条边，点 在 上， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得 ，再根据正边形的边数“
中心角”，即可求出 的值，求出中心角的度数是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
题型三：正多边形和圆
【例3】．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）苯（分子式为 ）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，
随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O
为正六边形 的中心．若 ，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】 点O 为正六边形 的 中心，
，，
为等边三角形，
，
过点 作 ，
，
，
，
．
故选 ．
【变式1】．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，
即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则
与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为 ．
如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，
若用圆内接正八边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
作 于C，利用等腰直角三角形的性质求出 的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题．
【详解】解：如图，作 于C，∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，
∴ ， ，
∵
∴ ，
则 ，
∴ 的面积为 ，
∴正八边形面积为
∴ 的估计值为 ．
故选：B．
【变式2】．（2025·广东江门·三模）如图，正六边形 内接于 ，若 的面积为 ，则正六边形的
边长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解
此题的关键．连接 ， ，设 的半径为 ，由正六边形 内接于 ，可知 是等
边三角形，由 的面积是 ，可得 即可得出结果．
【详解】解：如图所示：连接 ， ，设 的半径为 ，∵正六边形 内接于 ，
是等边三角形，
∴
∵ 的面积是 ，
∴
故选：D．
题型四：正多边形的尺规作图
【例4】．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法．
(1)请在图1的正方形 内，画出一个点 满足 ；
(2)请在图2的正方形 内（含边），画出使 的所有的点 ．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求作：
（2）解：如图，弧 上的所有点均为所求点P．【变式1】．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形 的 边为边作菱形 ，使得点E在 上；
(2)请在图②中以矩形 的 边为直径作 ，并在 上确定点P，使得 的面积与矩形 的面积
相等.
【详解】（1）解：如图，菱形 即为所求，
（2）解：如图，点 、 即为所求，
【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识
是解题的关键．
【变式2】．（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为 的直径．请用尺规作图法，作出 的内接正方形
ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为 的直径，
∴BD为 的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是 的内接正方形．
题型五：正多边形和圆的综合问题
【例5】．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形 内接于 ，其边长为4，求 的内接正三角
形 的边长．
【答案】
【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线
是解题的关键．
连接 作 于点M，先求出 ，继而推导出 ， ，可求出 ，则有 ， 即可解答．
【详解】解：如图，连接 作 于点M，
根据正方形的性质可得 ． ，
∴ 是 的直径．
在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 是正三角形，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ， ．
∴ ，即正三角形 的边长为 ．
【变式1】．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边 为直径作 ，点E是边 上一
点（不与B，C重合），将正方形沿 折叠，使得点C恰好落在 上．(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段 的长．
【答案】(1) 为 的切线．理由见解析；
(2)线段 的长为
【分析】（1）先根据正方形的性质得到 ，再根据折叠的性质得到
，所以 ，于是可判断 ，所以
，然后根据切线的判定方法可判断 为 的切线；
（2）先由 得到点O、 、E共线，设 ，则 ，所以 ,然后利用勾股
定理得到 ，从而可解方程即可．
【详解】（1）解： 与 相切．
理由如下：
四边形 为正方形，
，
正方形沿 折叠，使得点 恰好落在 上，
，
，
在 和 中，
，
，
，
为 的半径，
为 的切线：
（2）由（1）得 ，，
点O、 、E共线，
设 ，则 ，
，
为 的直径，
，
，
在 中， ，
解得
即线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性
质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
【变式2】．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）正方形 的四个顶点都在 上，E是 上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出 的度数；
(2)如图2，若点E在 上运动（点E不与点B、C重合），连接 ， ， ，试探究线段 ， ， 的数
量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在 上运动，分别取 、 的中点M、N，连接 ， ， 交 于点F，四边形
与四边形 关于直线 对称，连接 ， ，当正方形 的边长为2时，求 面积的
最小值．
【答案】(1) 或 ；
(2) ，理由见解析
(3)1．【分析】（1）连接 ，求得 ，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解；
（2）在 上截取 ，连接 ， ，推出 ， ，再证明
是等腰直角三角形，据此得到 ；
（3）根据对称的性质求得 ， ，当 边上的高最小时， 面积取得最小
值，则当点 与点A重合，此时点E与点D重合，所以 边上的高就是 的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵正方形 ，
∴ ，
当点E在优弧AD上时， ，
当点E在劣弧AD上时， ，
综上， 的度数为 或 ；
（2） ，理由如下，
在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ；
（3）解：∵正方形 的边长为2，点M、N是 、 的中点，
∴ ，
∵四边形 与四边形 关于直线对称，
∴ ， ，
∴当 边上的高最小时， 面积取得最小值，
∴当点 与点A重合，此时点E与点D重合，
∴ 边上的高就是 的长，
∴ 面积的最小值为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三
角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
【变式3】．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形 内接于 ， 为 任意一点，连接 、
．
(1)求 的度数．
(2)如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ， ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图1中，连接 、 ．根据 即可解决问题；
（2）如图2中，连接 ， ， ， ，作 于 ．首先证明 ，求出 ，设
，在 中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，连接 、 ．四边形 是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接 ， ， ， ，作 于 ．
∵ ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，解得 或 （舍弃），
．
【高分达标】
一、单选题
1．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
【答案】D
【分析】本题考查正多边形的相关概念，包括外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角．本题主要考查了正多边
形的外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依据各概念的定
义判断选项正误即可．
【详解】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意．
正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意．
正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意．
外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（ ），两者不等价，故
D错误，符合题意．
故选：D．
2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若正六边形的半径是 ，则该正六边形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查正六边形定义，熟记正六边形边长与外接圆半径长度相同是解决问题的关键．
正六边形的外接圆半径与其边长相等，因此直接可得答案．
【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长，
∴ 当外接圆半径为 时，该正六边形的边长为 ，
故选：C．
3．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，
进而可得六边形的面积．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为点 ，连接 、 ，过点 作 于点 ，
∴中心角 ，
∵正六边形的半径为 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个正六边形的面积是 ．
故选：A．4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形 内接于 ，则
，从而证明 是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用
是解题的关键．
【详解】解：∵正六边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选： ．
5．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是正六边形，边长为2， 是边 上一个动点，
的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点 ，连接 ， ，根据题意得出 ，勾股定理求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为点 ，连接 ， ，
∴ 是正六边形的外接圆 的直径，则
依题意， ，
∴ ，
∵ 是边 上一个动点，
∴ ，
∵ ，
∴ 的值可能是 ，
故选：C．
6．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为 ， ，
公共边为 ，其中一个正六边形的外接圆与 交于点A，若 ，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接
，令 与 交于点 ，则 ， ， ， ，有为等边三角形，即可求得 ， 和 ，结合面积公式即可求得四边形
的面积．
【详解】解：如图，连接 ，令 与 交于点 ，
则 ， ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 为菱形，
∴四边形 的面积是 ，
故选：D．
7．（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若 ，则该
正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理．连接 ，根据圆周角定理得到 ，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
该正多边形的边数为 ，
故选C．
8．（24-25九年级下·陕西安康·月考）如图，正六边形 F内接于 ，连接 ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接 ， ，根据中心角的
定义求出 ，进而求出 ，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解∶连接 ， ，
∵正六边形 F内接于 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
故选∶C．
9．（2025·湖北·一模）如图，正五边形 内接于⊙O，点F是劣弧 上一点(点F不与点D，E重合)，连接
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角 的
度数．
先由正多边形的边数求出圆心角的度数，再结合圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ， .
∵正五边形 内接于⊙O，
∴
，
．
故选： B．
10．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形 的中心，P为正六边形内一点，且 ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟
练掌握性质是解题的关键．
根据 ，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接 ，连接 ，交 于点G，证明直
线 是线段 的垂直平分线， ， 都是等边三角形，延长 交小圆于点P，连接 ，易证
，得到 ，此时， ；延长 交小圆于点P，同理可得．
【详解】解：根据 ，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，
连接 ，连接 ，交 于点G，
∵O为边长为2的正六边形 的中心，
∴ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线， ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
延长 交小圆于点P，连接 ，则 ，
在 和 中，
∴
∴ ，即 ，
此时， ；
延长 交小圆于点P，连接 ，同理可得，
此时， ；
故选：B．
二、填空题11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 正五边形 内接 ，点F是 的中点， 连接 ，
交于点G， 则 的度数是 ．
【答案】 /126度
【分析】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接 ， ， ， ， ，首先根据多边形和圆的性质得到 ，
然后根据圆周角定理得到 ， ，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接 ， ， ， ，
∵正五边形 内接 ，
∴
∵点F是 的中点
∴
∴
∵
∴ ．
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图， 是正五边形 的外接圆，则 ．【答案】 / 度
【分析】本题考查圆周角定理和正五边形的性质．由正五边形的性质得出 ，然后根据圆周角定
理即可求出答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是正五边形，
∴ ，
∴
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则正六边形 的周
长为 ，面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ， ，过F点作 于点H，如图：六边形 是正六边形，
，
，且 ，
是等边三角形，且边长 ，
∴正六边形 的周长 ， ，
∴ ，
等边 的面积为： ，
正六边形 的面积为： ，
故答案为： ， ．
14．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形 内接于 ，连接 ， ，则 的大小
是 ．
【答案】 /18度
【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心
角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等
腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
【详解】解：如图，连接 、 ，∵五边形 是 的内接正五边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ，若 的周长等于 ，则正六
边形的内切圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半径，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．先连接 ，结合 的周长等于 ，得出 的半径，再证明 是等边三角形，
然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 的周长等于 ，
∴ 的半径 ，∵正六边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
过点O作 ，
∴ ，
则 ，
∴正六边形的内切圆的半径为 ，
故答案为： ．
16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在 内接正六边形 中，连接 ， 交于点 ．设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，连接 ， ，连接 交 于点 ，得
， ，求出 ，故可得 ．
【详解】解：如图，连接 ， ，连接 交 于点 ，
正六边形 内接于 ，
经过点 ，且 ， ， ，，
，
，
在正六边形 中， ， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
三、解答题
17．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，圆内多边形 是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求；
(2)在图2中，圆内正多边形 是正五边形，请作出垂直 的直径．线段 即为所求．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接 ， ，交点即为圆心 ．
（2）延长 交于点 ，作射线 交圆于点 ，则 即为所求．
【详解】（1）解：如图1，连接 ， ，相交于点 ，则点 即为所求．（2）解：如图2，延长 交于点 ，作射线 交圆于点 ，则 即为所求．
18．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦， ，延长 到
，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求以 为边的圆内接正多边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角可得 ， ，根据三角形的内角
和定理求得 ，即可证明；
（2）根据 ，推得以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中， 所对的边
是斜边的一半求得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴以 为边的圆内接正六边形的周长为 ．
19．（23-24九年级下·广东江门·期中）已知正六边形 ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕
迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
(1)在图中作出以 为对角线的一个菱形 ；
(2)已知六边形的边长为2，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析（答案不唯一），
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱
形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．
（1）利用正六边形的对称性找到 的垂直平分线，然后根据菱形的性质对角线互相垂直平分，即可作出图形．
（2）根据正六边形的内角等于 度，利用等边三角形或30度直角三角形、勾股定理求出另一条对角线长，由面
积菱形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，菱形 即为所求（点 ， 可以对调位置）：（2）解：∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
又∵正六边形 是关于 所在直线的对称，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
①如图1-1，连接 交 于点 ,
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，
②如图1-2，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴菱形 的面积 ，
③如图1-3，
由①可知： ， 是等边三角形，同理可求 ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ．
20．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图， 的周长等于 ，正六边形 内接于 ．(1)求圆心 到 的距离．
(2)求正六边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）连接 ，过点 作 于点 ，由圆的周长可得 ，由正六边形的性质可得
，即得 ，得到 ，再利用勾股定理解答即可求解；
（ ）由（ ）可得 是等边三角形，得到 ，可得 ，再根据
解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
∵ 的周长等于 ，
∴半径 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即圆心 到 的距离为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线
是解题的关键．
21．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 的半径为r，六边形 是圆的内接正六边形，四边形
是正方形．
(1)求正六边形 与正方形 的面积比；
(2)连接 ，求 度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质．
（1）根据正多边形的性质证明 是边长为r的等边三角形，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求
比值即可；
（2）根据 ，可得出三角形 是等腰三角形，结合 ，求出 ，
即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ 为正六边形的中心角，
∴ ．
∵ ，
∴ 是边长为r的等边三角形，
∴ ．
正方形 的面积为 ，正六边形的面积为 ，
∴正六边形与正方形的面积比为 ；
（2）解：∵ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ，∴ ，
∴ ．
22（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，正方形 内接于 ，M为弧 中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系
定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到 ，根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，得到 ，即可得到结
论；
（2）连接 ，根据正方形的性质求出 和 ，计算即可．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵M为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵M为弧 的中点，
∴ ，∴ ．
