文档内容
24.3 正多边形和圆
【考点归纳】
考点一：正多边形的中心角
考点二：求正多边形的边数
考点三：正多边形和圆
考点四：正多边形的尺规作图
考点五：正多边形和圆的综合问题
【知识梳理】
知识点一：正多边形及有关概念
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一
边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
考点二：正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ；正多边形的中心角与外角的大
小相等 .
【题型探究】
题型一：正多边形的中心角
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中
心角的度数．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ，
∴这个正n边形的中心角为 ，
故选：D．
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，正五边形 内接于 ，连结 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于 ，正五边形 内接于 ，因此， 是
该圆的五等分角，即可求得该角度数．
【详解】解：∵该五边形 是正五边形
∴ ．
故答案为：A．
3．（2024·安徽·一模）如图，点 是正五边形 的中心，连接 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解，
本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【详解】解：连接OB，∵ 和 是正五边形 的中心角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
题型二：求正多边形的边数
4．（2023九年级上·江苏）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，
则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接 ， ，根据圆周角定理得到 ，即
可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键．
【详解】解：连接 ， ，∵ 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，
∴点 、 、 、 在以点 为圆心， 为半径的同一个圆上，
∵ ，
∴ ，
∴这个正多边形的边数 ，
故选： ．
5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图， 是 内接正六边形的一边，点 在弧 上，且 是 内接正
八边形的一边．此时 是 内接正 边形的一边，则 的值是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数 边数，列式计算分别求出 的度
数，则 ，则边数 中心角，据此求解即可．
【详解】解：连接 ，∵ 是 内接正六边形的一边，
∴
∵ 是 内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故选：D．
6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若
，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到 ，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，∵ ，
∴ ，
∴这个正多边形的边数为 ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
题型三：正多边形和圆
7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形 、等边三角形 内接于同一个圆，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出
所对的圆心角的度数是解决本题的关键．
由 ， ，已知图形是以正方形 的对角线 所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则 所对的圆心角为 ，所以 的度数为 ．
【详解】解：∵四边形 是正方形， 是等边三角形，
∴ ， ，
∵已知图形是以正方形 的对角线 所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴ ，
∵ 是 所对的圆周角，
∴ 所对的圆心角等于 ，
∴ 的度数为 ，
故选B．
8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 是正六边形 的外接圆，若 的半径为6，则四边形
的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解
答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出 ， 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，过点 作 于点 ，则 ，点 是正六边形 的中心，
，
，
是正三角形，
，
在 中， ， ，
，
，
四边形 的周长是 ，
故选：C
9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于G，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
题型四：正多边形的尺规作图
10．（2020九年级下·山东青岛）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析
【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．
【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性
质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解
成基本作图，逐步操作．
11．（2021·陕西·模拟预测）如图，已知 ，点 在圆上，请以 为一顶点作圆内接正方形 ．（保留作图痕
迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形
的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图
拆解成基本作图，逐步操作．
12．（21-22九年级上·湖北武汉）如图1，等边 内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出 与 的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，
作图结果用实线表示）．
【答案】（1） ；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；
（2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；
②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．
【详解】（1） ，
∵O为三角形的外心，
∴O为三角形三边中垂线的交点，又∵三角形为等边三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根据垂径定理可得： ；
（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；
②如图所示：（方法不唯一）
【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
题型五：正多边形和圆的综合问题
13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，M为弧 中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系
定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到 ，根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，得到 ，即可得到结论；
（2）连接 ，根据正方形的性质求出 和 ，计算即可．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵M为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵M为弧 的中点，
∴ ，
∴ ．14．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形 为 的内接正六边形，过点D作 的切线，交 的延
长线于点P，连接 的半径为6．
(1)求 的度数；
(2)求线段 的长；
(3)若点M为 上一点（不与点F，D重合），连接 ，直接写出 与 的面积之和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定
理是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆内接正六边形性质求出 ，进而由圆周角定理得出 度数；
（2）由切线性质得 ，在 中，利用三角函数即可求解；
（3）分别表达 ，再求和即可．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，
正六边形 为 的内接正六边形，是 的直径， ，
，
；
（2） 与 相切， 是 的直径，
，
正六边形 为 的内接正六边形，
，
在 中， ，
；
（3） 正六边形 为 的内接正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，．
15．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图， 、 分别是 的内接正三角形 、正方形 、正五边形
的边 、 上的点，且 ，连接 、 ．
(1)图①中 的度数是_____；
(2)图②中 的度数是_____，图③中 的度数是_____；
(3)若 、 分别是正 边形 …的边 、 上的点，且 ，连接 、 ，则 的度数是_____．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关
键．
（1）连接 ，由圆周角定理即可求出 ，由全等三角形的判定与性质即可得到 ；
（2）连接 ，分别求出图②③中的 的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到 ；（3）由前三个图可得到规律在正n边形中， 的度数为 ．
【详解】（1）解：如图1中，连接 ．
，
分别为 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）如图②，连接 ，
为正方形，，
同（1）中的证明方法可得 ，
，
；
如图③，连接 ，
为正五边方形，
，
同（1）中的证明方法可得 ，
，
，
故答案为： ， ；
（3）在图①中， ，
在图②中， ，
在图③中， ，故在正n边形中， 的度数为 ，
故答案为： ．
【高分达标】
一、单选题
16．（24-25九年级上·江苏盐城）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周
率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆
内接正十二边形．若 的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．3 B．12 C．4π D．12π
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，含 度角的直角三角形的性质；如图，过 作 于 ，得到圆的内接正
十二边形的圆心角为 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，过 作 于 ，
圆的内接正十二边形的圆心角为 ，
，
，，
这个圆的内接正十二边形的面积为 ，
故选：B．
17．（2024·贵州贵阳·二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六
角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ，连接 ，则 的度数为为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得 的度数，
再利用正六边形的对称性即可求得答案．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
，
由对称性可知 ，
故选：C．
18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点，若 ，该
正多边形的边数为（ ）A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形
的边 所对的圆心角 ，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接 ， ，
、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，
点 、 、 、 在以点 为圆心， 为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数 ，
故选：A
19．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，正六边形 与正三角形 共顶点，若三角形 的边长
为 ，则这个六边形的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 、 ，设 交 于点G，根据正六边形性质证明 是等边三角形， 推出 ，
，推出 ，得到 , ．
【详解】连接 、 ，设 交 于点G，
∵正六边形 中， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正三角形 的边长为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，
含 的直角三角形性质，是解决问题的关键．
20．（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形 内接于 ，点 在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
先由正多边形内角和定理求出 ，再根据圆内接四边形的性质即可求出 ．
【详解】解： 正五边形 内接于 ，
，四边形 是 内接四边形，
，
，
故选：D．
21．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形 内接于 ，点 是 上的一个动点，当 沿着
的路径在圆上运动的过程中（不包括 ， 两点）， 的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为 ，进而根据圆周角定理即
可求解．
【详解】解：连接 ，
依题意，
∵ ，
∴故选：A．
22．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形 和正六边形 都内接于 连接 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解 ，
，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正三角形 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵正六边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D
23．（2024·贵州黔南·一模）如图，正六边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 ， 重合），则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 ，由正六边形的性质得出 ，
由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 是解决问题的关键．
【详解】解：连接 ，如图：∵多边形 是正六边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
24．（2024·河北保定·一模）如图，画出了 的内接正四边形和内接正五边形，且点 在 ， 之间，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握正多边形的性质和圆周角定理．连接 ， ，
，根据正多边形的性质可得 ， ，进而得到 ，最后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
则 ， °，，
则 ．
故选:B．
25．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形 的外接圆为 ，点 是劣弧 上一点，连接 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出 ，
再根据圆内接四边形的性质求出 ，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性
质是解题的关键．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
若 ，则这个正多边形的边数为
【答案】九/9
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆
心角之间的关系是解决问题的前提．
根据圆周角定理可得正多边形的边 所对的圆心角 ，再根据正多边形的一条边所对的圆心
角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，而 ，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
27．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，正五边形 内接于 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，正多边形的性质，等腰三角形的性质，先利用正多边形的性质求出
， ，再利用等腰三角形的性质，角度和差求解即可，解题的
关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵正五边形 内接于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
故答案为： ．
28．（2024·上海·模拟预测）由六块相同的含 的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边
形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，含有 角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的
面积的计算方法进行计算即可，掌握含有 角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决
问题的前提．
【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1，
∴小正六边形的面积为：
，
故答案为： ．
29．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形 内接于 ，P为劣弧 上的动点，则 的大小为
．
【答案】 /144度
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接
，正多边形的性质得 的度数，由圆周角定理得 的度数，再圆内接四边形的性质即可求
解．
【详解】解：如图，连接 ，∵五边形是 正五边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵正五边形 的外接圆为 ，
∴四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
30．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点 ， ，若该圆
的半径为12，则线段 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含 的
直角三角形性质，是解题关键．含 的直角三角形性质：三边是 的关系．
连接 、 ，根据圆内接正六边形的性质得到 是等边三角形，得到 ，推出 ，
，得到 ，得到 ，推出 ， ，得到 是等边三角形，
即得 ．
【详解】连接 、 ，
∵六边形 是圆内接正六边形，圆的半径为12，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．三、解答题
31．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形 内接于 ，边长为2．
(1)求 的直径 的长；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接 ，求出 的度数，得到 是等边三角形，得到 ，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接 ．
∵正六边形 内接于 ，∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
32．（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若P是 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
（ ）在 取一点 ，连接 ，利用弦和圆周角的关系即可求出 的值；
（ ）证明 是等边三角形，利用三角函数求出 ， ，再根据 的面积为 求出圆
的半径，即可求出面积．【详解】（1）如图所示，在 取一点 ，连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径为 ．
面积为：33．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分 ．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作 的垂线，垂足为K，以点O为圆心， 的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作
图痕迹，不需要写作法）
②求证： 是①所作圆的切线．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由正多边形的性质证明 ，可得 ，再证明
是等边三角形，从而可得结论；
（2）①按照题干的要求作线段 的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作 ，垂足为P，连接 ， 证明
．结合 ， ， ．从而可得结论；
【详解】（1）证明：在圆内接正六边形 中，
，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，，
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴点H，G三等分 ．
（2）①解：如图，即为所求作．
②证明：如图，过点O作 ，垂足为P，连接 ，则 ．
由（1）知， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ 是①所作圆的切线．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作
线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键．
34．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图① ② ③ ④分别是 的内接正三角形、正方形、正五边形、正 边形，
点 ， 分别从点 ， 开始以相同的速度在 上逆时针运动．(1)图①中， ______，图②中， ______，图③中， ______；
(2)试探索 的度数与正 边形的边数 的关系（直接写出答案）．
【答案】(1) ； ；
(2)
【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利
用解答中反映长的规律解答是解题的关键．
（1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可；
（2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可．
【详解】（1）解：图①中，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理图②中， ，，
图③中， ，
，
故答案为： ； ； ；
（2）由（1）知： 的度数等于圆内接正多边形的一个内角，
∵正n边形的每一个内角等于 ，
．
35．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若 是 上的动点，连接 ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ．
求 的度数；
求 的半径．
【答案】(1) ；
(2) ； ．
【分析】（ ）在 取一点 ，连接 ，利用弦和圆周角的关系即可求出 的值；（ ） 证明 是等边三角形即可求出； 利用三角函数求出 ， ，再根据 的面积
为 即可求出．
【详解】（1）如图所示，在 取一点 ，连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
即 的半径为 ．
【点睛】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
36．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作
法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；③连接 ．
(1)求 的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)
(2)是正三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 ，则 (优弧所对圆心角)
，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵正五边形 ．∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ (优弧所对圆心角) ，
∴ ；
（2）解： 是正三角形，理由如下：
连接 ，
由作图知： ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，∴ ，即 ，
∴ 是正三角形；
（3）∵ 是正三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是
解本题的关键．
