文档内容
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【考点归纳】
【知识梳理】知识点一：点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
知识点2：直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
知识点三：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
O
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 M A N
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
知识点四：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线 ∴ ； 平分
B
O
P
A
知识点五：三角 形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
【题型探究】
题型一：判断点和圆的位置关系
【例1】．（25-26九年级上·北京·期中） 的半径为4，O为原点，点P的坐标为 ，则P与 的位置关
系是（ ）．
A．点P在 内 B．点P在 上
C．点P在 外 D．点P在 上或点P在 外
【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中， 是坐标原点， 的半径为5，若点 的
坐标为 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 内 B．点 在 上 C．点 在 外 D．不能确定
【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 的半径为3，点 到圆心 的距离 恰好是一元二次
方程 的根，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 的内部 B．点 在 上
C．点 在 的外部 D．点 在 的内部或点 在 的外部
题型二：点与圆上一点的最值问题
【例2】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的 圆心 的坐标为 ，点 是 上任意
一点， ， 与 轴分别交于 ， 两点，且 ，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最大值为（
）
A．60 B． C． D．
【变式1】．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形 中， ，以A为圆心，1为半径作 ．若动
点 在 上，动点 在 上，则 的最大值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
， 的半径为1， 为圆上一动点， 为 的中点，连接 ， ，则 长的最大值为
A．5 B． C．6 D．3
题型三：三角形外接圆问题
【例3】．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，且与 垂直，
则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点
三点，则下列说法中错误的是（ ）A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为
C．点 在这条圆弧所在圆上 D．点 在这条圆弧所在圆上
【变式2】．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别
为： ， ， ，经画图操作可知， 的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
题型四：直线和圆的位置判断
【例4】．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在 中， ， ， 以点 为
圆心，以 的长为半径作圆，则 与 的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【变式1】．（2025·广东广州·二模）如图，在 中， ， ， 是 边上的高，
，若圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么圆 与直线 的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【变式2】．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系 中， 的半径为2.5，直线 的解析式为 ，
那么直线 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
题型五：已知直线和圆的位置关系半径或者距离
【例5】．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在 中， ， ， ，若以 为圆心，
长为半径的圆 与边 有交点，那么 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【变式1】．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在 中， ， ， ，
以 为圆心， 为半径的圆与边 有公共点，则 的取值范围为（ ）A． B． 或
C． D．
【变式2】．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ， ，
如果以 为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么 长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：切线的性质定理
【例6】．（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 是 的切线，B为切点，连接 交 于点C，延长 交
于点D，连接 ．若 ，且 ，则 的长度是（ ）
A．15 B．10 C． D．5
【变式1】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的两条切线，B、C是切点，若 ， ，则 的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， ， 是 的切线，A，C为切点，若 是
的直径，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型七：切线的判定与性质综合问题
【例7】．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图， 为 的切线，A为切点，连接 ，过点A作
，垂足为C，交 于点B，连接 ，求证： 为 的切线．
【变式1】．（2025·广东佛山·三模）如图， 是 的弦， 为过点 的切线上一点，且 ， 分别在 上，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的度数．
【变式2】．（2025·广东汕头·三模）如图， 是 的直径， 与 相切于点 ， 交 的延长线于点 ，
交 的延长线于点 ，
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径．
题型八：切线长定理
【例8】．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ， 的内切圆的半径为2，三
个切点分别为 ，若 ，则 的面积是（ ）
A．14 B．24 C．28 D．【变式1】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为 外一点， ， ， 分别切 于A，B，C三
点，且切线 分别交 ， 于点M，N．若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【变式2】．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，直线 ， ， 分别与 相切于点 ， ， ，
且 ， ， ．则 的直径为（ ） ．
A． B． C． D．
题型九：三角形的内切圆问题
【例9】．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在 中， ， ， 与 三边分别
相切于点 ， ， ，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．【变式1】．（24-25九年级上·河北邢台）在 中， ， ． 是 的内切圆，连接
、 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2024·广东广州·一模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若
的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．0， B． ，
C． ， D． ，
题型十：三角形内切和外切的综合问题
【例10】．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图， 是 的直径， 内接于 ，点 是 的内心，
的延长线与 交于点 是 上任意一点，连接 ．(1)若 ，求 的度数：
(2)若 ， ， ，请直接写出 与 的数量关系；
(3)找出图中所有与 相等的线段，并证明．
【变式1】．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【变式2】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接
圆相交于点D，连接BE.
（1）直接写出∠BED与∠C的关系： .
（2）求证：DE=DB;
（3）若∠BAC=90 ,BD=4,求△ABC外接圆的半径.题型十一：直线与圆的综合压轴问题
【例11】．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知 是 的直径，点D是 延长线上一点， ，
是 的弦， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，垂足为M， 的半径为8，求 的长．
【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图， 是 的直径，点 在 上， 为 外一点，且
， ．
(1)求证：直线 为 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【变式2】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图， 内接于 ，过点B的切线与线段 的延长线交于
点D，线段 交 于点E，交 于点F， ．(1)求 的度数；
(2)连接 ，探究线段 ， 和 之间的数量关系，并进行证明．
【高分达标】
1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）以下说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三边的距离相等
2．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定 的外心的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则
的外心坐标是（ ）A． B． C． D．
4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 为 的内心， ， ， ，则 的面积
是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若点M在 外，且 ，则 的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图， 是一张周长为 的三角形的纸片， ， 是它的
内切圆，小明准备用剪刀在 的右侧沿着与 相切的任意一条直线 剪下 ，则剪下的三角形的周长为
（ ）
A． B．
C． D．随直线 的变化而变化
7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图， 为 的外接圆，且 是 的直径，点 是 上的一点，连接 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， ，
，则 的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图， 切 于点C， 交 于点P，且 为 的直径，点Q是
上异于点B、P的一点．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，半径为 的 圆心 的坐标为 ，点 是 上任意一
点， ， 与 轴分别交于 ， 两点，且 ，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图， 为 的直径， 内接于 ， ， ，
，延长 交 于点D，连接 ． 的直径是 ， ，则 的长等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
12．（25-26九年级上·全国·周测）在平面直角坐标系中，点M的坐标为 ．以点M为圆心，r为半径的圆与x
轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ．
13．（25-26九年级上·北京·期中）如图， ， 分别与 相切于 ， 两点，若 ， ，则
的长为 ．
14．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在 中， ， ， ， 是 上
一点（点 与点 不重合）．若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点 、 成为直角三角形的三个
顶点，则 长的取值范围是 ．15．（2025·青海西宁·三模）如图所示， 的两条切线 和 相交于点 ，与圆 相切于 两点， 是圆
上的一点，若 ，则 ．
16．（25-26九年级上·北京·期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点．若 ， ，则
直径 的长是 ．
17．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交
于点D，与 相交于点G，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点G为
的中点，则 ；④ ．其中一定正确的是 （填序号）
三、解答题
18．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，
连接 ， ， ．求证： 是 的切线．19．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图， 为 的直径，点 在 上， 的平分线交 于点 ，
过点 作 ．交 的延长线于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 ．
20．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，
且
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ， ，求 的长．
21．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图， 是 的直径，射线 交 于点 ， 是劣弧 上且
，过点 作 于点 ，延长 和 的延长线交于点 ．
(1)证明： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 半径 ．22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知 ， 分别与 相切于点A，B， ，C为 上一点．
(1)如图①，求 的大小；
(2)如图②， 为 的直径， 与 相交于点D．若 ，求 的大小．
23．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知 是 的直径， 是 的切线， ．
(1)如图①，若 ，求直径 的长；
(2)如图②，点 是 上一点，若 ， 与 相交于点 ，过点 作弦 ，与 相交于点
，求 和直径 的长．
24．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图， 为 的切线， 为切点， 是 上一点，过点 作于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，连接 ，若 ，求 的大小；
(2)如图2，延长 交 于点G，连接 ，若 ， 的半径为5，求 和 的长．
