文档内容
24.3正多边形和圆
一、新课导入
1.导入课题：
情景：欣赏下面图片.
问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
2.学习目标：
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.
（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.
3.学习重、难点：
重点：正多边形的有关概念与计算.
难点：正多边形的有关计算.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第105页至第106页的内容.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：完成自学参考提纲.
(4)自学参考提纲：
①什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多
边形.
②正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
是轴对称图形，不一定是中心对称图形.
③以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距.
中心：点O.半径：OC、OE、OF.
中心角：∠EOF.边心距：OM.④正n边形的每个内角都为 ，每个外角都为 ，中心角为 .
⑤有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(保留小数点后一
位).
解：作OM⊥BC于M.连接OB、OC,∵ABCDEF是正六边形,
∴△OBC为正三角形,∴∠MOC= ∠BOC=30°，OB=BC=OC.
∴l＝6BC＝6OB＝6×4＝24（m）.
在Rt△OMC中，∵∠MOC=30°，∴MC= OC=2m.
∴OM=OC2-MC2= m.
∴ .
∴ .
即地基的周长为24m,面积约为41.6m2.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)正多边形的相关概念.
(2)正n多边形的对称性.
(3)填表：1.自学指导：
(1)自学内容：教材第107页的内容.
(2)自学时间：4分钟.
(3)自学要求：阅读并画图，推理以强化理解.
(4)自学参考提纲：
①两种六等分圆周的方法中，第一种方法的依据是 作相等的圆心角 ；第二种方法的依
据是在圆上作相等的弧.
②分别在所给的圆中画出正三角形、正方形和正六边形.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否明白画图的依据.
②差异指导：根据学情进行指导.
(2)生助生：生生互动，交流、研讨.
4.强化：正多边形的画法.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、动手情况及学习效果和存在问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:(1)本节课首先从复习正多边形的定义入手,通过创设问
题情境,将正多边形与圆紧密联系,让学生发现它们之间的密切关系,并将结论由特殊推广到
一般,符合学生的认识规律,通过学习正多边形中的一些基本概念,引导学生将实际问题转化
为数学问题,体现了化归的思想.其次,在这一基础上,又教给学生用等分圆周的方法作正多边
形,这可以发展学生的作图能力.(2)等分圆周法是一种作正多边形的常见方法,通过作简单的
正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在
高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列说法中正确的是（ C ）
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形
2.(10分)如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于（A）
A.36° B.18° C.72° D.54°
3.(10分) 如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使直角
的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值
的个数是（A）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.(20分) 如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多
少？
解：如图，∠ABC=120°.AB＝a,AC＝b.过B作BD⊥AC于点D,
则AD=DC= b.
在Rt△ABD中，∠BAC=30°,
∴BD= AB=3mm.
∴ （mm）.
∴b=2AD=63mm.
即扳手张开的开口b至少要 mm.
5.(20分) 如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.
解：设正八边形的边长为xcm,
则 .即x2+8x-16=0.
解得 ， (舍去).
∴剪去的四个小三角形的面积为 cm2.
∴正八边形的边长为 cm,面积为 .
二、综合应用（20分）
6.(20分) 如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.
（1）求证：△BCF≌△CDM；
（2）求∠BPM的度数.
（1）证明：∵ABCDE是正五边形，
∴BC=CD,∠BCD=∠CDM，又CF＝DM,
∴△BCF≌△CDM.
（2）解：由（1）知∠FBC=∠MCD，
∴∠BPM=∠FBC+∠BCM=∠MCD+∠BCM=∠BCF= ×180°=108°.三、拓展延伸（10
分）
7.(10分) 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，
封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正
方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a，a，a，a，则下列关系中正确的是（B）
1 2 3 4
A.a ＞a＞a B.a ＞a＞a C.a ＞a＞a D.a ＞a＞a
4 2 1 4 3 2 1 2 3 2 3 4
