文档内容
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【考点归纳】
考点一：判断点和圆的位置关系
考点二：三角形外接圆的计算和作图
考点三：直线和圆的位置判断
考点四：已知直线和圆的位置关系半径或者距离
考点五：切线的性质与判定
考点六：切线长定理
考点七：三角形的内切圆
考点八：切线的综合问题
【知识梳理】
知识点一：点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
知识点2：直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
知识点三：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
O
即：∵ 且 过半径 外端
M A N
∴ 是⊙ 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
知识点四：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线 ∴ ； 平分
B
O
P
A
知识点五：三角 形的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内
心。
【题型探究】
题型一：判断点和圆的位置关系
1．（24-25九年级上·浙江金华）在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径作 ，则点
与 的位置关系是（ ）
A．在 内 B．在 上 C．在 外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据半径小于点到圆心的距离即可求解，掌握点和圆的位置关系：
时，点在圆外； 时，点在圆上； 时，点在圆内是解题的关键．
【详解】解：∵ 的半径为 ， ， ，
∴点 在 外，
故选： ．
2．（24-25九年级上·广东广州）若 的直径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点 与 的位置关系为（）
A．点 在圆内 B．点 在圆上 C．点 在圆外 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得出 ，从而即可得出答案．
【详解】解：∵ 的直径为 ，所以半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，
∴ ，
∴点 与 的位置关系为：点 在圆上，
故选：B．
3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，若关于 的方程 不
存在实数根，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 外 B．点 在 上
C．点 在 内 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断 的取值
范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法
是解题的关键．
【详解】解：由题意，得 ，
解得 ，
∴ ，则点 在 外，
故选： ．
题型二：三角形外接圆的计算和作图
4．（24-25九年级上·浙江杭州）设 的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（ ）A．5 B．10 C． D．5或
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解
即可．
【详解】解：∵ 的两条直角边长分别为6，8，
斜边长 ，
∴ 斜边上的中线长为5，
即此直角三角形外接圆半径为5，
故选：A．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，点 的坐标为 ．
(1)在图中利用直尺画出 的外接圆的圆心点 ，圆心 的坐标为 ；
(2)求 外接圆的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）取格点 、 ，由网格特点可知， 垂直平分 ，取格点 ，则四边形 是正方形，可得 垂
直平分 ，延长 与 的交点即为圆心点 ，再写出圆心 的坐标即可；
（2）根据坐标两点的距离公式，求出 的长，也就是 外接圆的半径，即可求出面积．【详解】（1）解：如图，点 即为所求作圆心，坐标为 ；
（2）解：如图，连接 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
外接圆的半径为 ，
外接圆的面积为 ．
【点睛】本题考查了格点作图，三角形外接圆圆心，坐标与图形，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握三角形
外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点是解题关键．
6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在 中， ．
(1)作出 的外接圆 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求 的面积以及外接圆半径．
【答案】(1)见解析
(2) ， 外接圆的半径是
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三
线合一的性质是解题的关键．（1）作 和 的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出；
（2）连接 并延长交 于点D，连接 ，在直角 中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径．
【详解】（1）解： 即为所作；
（2）连接 并延长交 于点D，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设圆的半径是r，则 ， ，
在直角 中， ，即 ，
解得： ，则 外接圆的半径是 ．
题型三：直线和圆的位置判断
7．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）已知 的半径为3，圆心 到直线的距离为2，则 与直线的位置关
系是（ ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
【答案】B
【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离
为 ．①直线 和 相交 ，②直线 和 相切 ，③直线 和 相离 ．圆心到直线的距离
大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．
【详解】解： 圆心到直线的距离 圆的半径3，
直线与圆的位置关系为相交．
故选：B
8．（2024·山东青岛·一模）已知平面内有 和点A，B，若 的半径为 ，线段 ， ，则
直线 与 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解： 的半径为 ， ， ，
即点 到圆心 的距离大于圆的半径，点 到圆心 的距离等于圆的半径，
点 在 外．点 在 上，
直线 与 的位置关系为相交或相切，
故选：D．
9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知直线l与 相离，圆心O到直线l的距离为 ，则 的半径
可能为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d， 直线l与 相交，则 ； 直线l与 相切，则 ； 直线l与 相离，则
，根据上述方法即可求解．
【详解】 直线l与 相离，
，
又 圆心O到直线l的距离为 ，
，
故选：A．
题型四：已知直线和圆的位置关系半径或者距离
10．（20-21九年级上·重庆长寿·期末）若直线 与半径为 的⊙O相交，则圆心O到直线 的距离可能为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：∵直线 与半径为 的⊙O相交，
∴圆心到直线的距离dr．
11．（2023·陕西西安·一模）在 中， ， ， ．若 与 相离，则半径为r满足
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，
根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到 和 的长度，再根据 与 相离可知半径小于点C到 的距
离，即可进行求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∵
∴ ，解得： ，
∴
设点C到 的距离为h，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵若 与 相离，
∴
故选：C．
12．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ， ，若 与直线 相
交，则 半径r的值或取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系；
过C作 于D，利用勾股定理求出 ，根据三角形的面积求出 ，然后结合圆与直线的位置关系得出答案．
【详解】解：过C作 于D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与直线 相交，
∴ 半径r的值或取值范围为 ，
故选：C．
题型五：切线的性质与判定
13．（24-25九年级上·全国）如图， 是 的直径， 是 的切线， 于点E，交 于点 ，连接
．求证： 是 的切线．【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，线段垂直平分线的性质与判
定等等，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．
先由切线的性质得到 ，再由垂径定理得到 是 的垂直平分线，则 ，据此证明
，得到 ，即可证明 是 的切线．
【详解】证明：如图，连接 ，
是 的切线，
，
，
是 的垂直平分线，
，
又 ， ，
，
，
是 的半径，是 的切线．
14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为半径作圆，与
相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．求证： 为 的切线；
【答案】见解析
【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定
是解题的关键．
过点O作 于点E，根据题意证明 ，再证明 ，根据切线的判定定理即
可得到结论．
【详解】证明：过点O作 于点E，
于点D，
，
，
，
，
又 为 的切线，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， 是半径，
是 的切线．
15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线 交 的延长线于点
C，过点O作 ， 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)6【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握切线的判定与
性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接 ，根据题意得 ，根据 得 ， ，根据 得
，则 ，根据 可得 ，则 ，根据 是 的半
径，即可得；
（2）设 的半径为r，由（1）得， ，在 中，根据勾股定理得 ，即
，进行计算得 ，可得 ，即可得 ，由（1）得， ，则 ，
在 中，根据勾股定理得 ，即 ，进行计算即可得；
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 与 相切于点D，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 与 相切；
（2）解：设 的半径为r，
由（1）得， ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
即 的长为6．
题型六：切线长定理16．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F且
，则 的周长为（ ）．
A．7 B．14 C．10 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得 ， ， ，根据三角形的周长公式计算
即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键．
【详解】解： 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，
， ， ，
，
的周长：
故选：B．
17．（23-24九年级下·北京·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的两条切线，切点分别为B，C．连接
交 于点D，交 于点E，连接 ．(1)求证： ；
(2)若点E是 的中点， 的半径为6，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据切线长定理得到 ， ．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结
论；
（2）根据题意得出 为等边三角形，得出 ，得出 ，再由含30度角的直角三
角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
（2）∵ ，点 是 的中点，
∴ ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ 的半径为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识
点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
18．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为 外一点， 为 的切线，切点分别为A、B，直线 交
于点D、E，交 于点C．
(1)求证∶ ．
(2)若 ，连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，由 ,证明 ， ，进而得证；（2）连接 ，连接 ，证明 ，得到 ，由 为 的切线得到
， ，证明 ，得到 ，则
，得到 ，又由 ，即可证明四边形 是菱形．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是直径，
∴
即
∵ 为 的切线，
∴ ，
即 ．
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ，连接 ，如图，∵ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 为 的切线，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添
加适当的辅助线是证明的关键．
题型七：三角形的内切圆19．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且
， ， ，则阴影部分（即四边形 ）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形 为正方形，利用直角三角形的内切圆
的半径的计算公式，求出 的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法
是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
，
∵ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．20．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且
， ，则 的周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到
， ， ，根据 ，于是得到 的周长．
【详解】解：∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：A．
21．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图， 是 的内切圆，与 ， ， 分别相切于点D，E，F．
若 的半径为2， ， ， ，则 的面积为（ ）A． B．24 C．26 D．52
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是 的内切圆且半径为2， ， ，
，
，
则 的面积为26，
故选：C
题型八：切线的综合问题
22．（2024九年级上·全国）如图，I是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 于点M．求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，理解内心的概念及性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键，
（1）连接 ，根据 是 的内心，可得 ，由数量关系可得 ，由此即可求解；
（2）连接 交 于点E，可得 ， ， ，可证 ，
由数量代换即可求解．【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的内心，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 交 于点E，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
，
．
23．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，F是 上的一点，
交于点 为 延长线上的一点，且 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）圆周角定理推出 ，根据 ，结合三角形的内角和定理，推出 ，
即 ，即可得证；
（2）连接 ，得出 ，直径得到 ，在 中，勾股定理求出 的长，证出
，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
．
， ，
，即 ，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：连接 ．
，
，是 的直径，
，
，
．
，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
的半径为 ．
24．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的一条弦， 切 于点 ，直线 交 于点
E，交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 交直线 于点D，交 于另一点F．①求证： ；
②若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②5
【分析】（1）连接 ， ．证明 ，推出 即可解决问题．
（2）①连接 ，想办法证明 即可解决问题．
②利用勾股定理求出 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接 ， ．
是 的切线，
，
，
， ， ，
，
，
，
是 的切线；
（2）①证明：连接 ．， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
．
②解： ， ，
，
，， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【高分达标】
一、单选题
25．（24-25九年级上·福建福州）已知 的半径是 ， 是 外一点，则 的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（ 为圆半径， 为点到圆心距离）当 ，点在圆内；当 ，点在
圆外；当 ，点在圆上；据此作答即可．
【详解】解：∵ 的半径为 ， 是 外一点，
∴线段 的长度 ．
故选：D．
26．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F
在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此
解答即可．
【详解】解：根据图形可知，直线 是 的 边上的中垂线，点D在 的 边上的中垂线 上，
∴点D是 外心．
故选：A．
27．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中点，过点
画 的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理的推论等知识．
根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据圆周角定理得到 ，进而求出，根据垂径定理得到 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点A是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
28．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，其内切圆分别与
相切于点D、E、F，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得 的长．
【详解】解：∵ 的内切圆分别与 相切于点D、E、F， ， ，
，
，
，
，
解得： （舍）或2，
故选：A．
29．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，C、D为 上的点，直线 切 于C点，图
中与 互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，余角的定义，连接 ，
由切线的性质得到 ，则 ，再由等边对等角得到 ，则
，根据同弧所对的圆周角相等得到 ，则 ，由直径所对的
圆周角是直角得到 ，则 ，再根据度数之和为90度的两个角互为余角即可得到答
案．【详解】解：如图所示，连接 ，
∵直线 切 于C点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵度数之和为90度的两个角互为余角，
∴图中与 互余的角有 ，共3个，
故选：C．
30．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 与 的边 相切干点B，将 绕点B顺时针方向旋转
得到 ，使得点 落在 上，边 交线段 于点C，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆切线的性质定理、等边三角形的性质和判定，旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，
对应角相等，旋转角处处相等．本题中利用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键．
连接 ，先证 为等边三角形，求出 ，由 与 的边 相切，可求
，利用三角形内角和公式即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵将 绕点B按顺时针方向旋转得到 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 与 的边 相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
31．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点 是 上两点，连接 并延长交切线 于点 ，连接 、
、 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质得 ，求出
，再由等边对等角得出 ，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解： 切 于 ，
，
，
，
，
，
，
故选：D．32．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点E是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点
D，与 相交于点G，则下列结论：① ；②若点G为 的中点，则 ；③连接 ，
若 ，则 ；④ ．其中一定正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角
形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判
断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定
可判断④．
【详解】解：∵点E是 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ，故①正确；
设 外接圆圆心为O，连接 ，则 垂直平分 ，
∵点G为 的中点，∴点G为 与 的交点，即 ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵点E是 的内心，
∴ ， ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
综上，正确的有3个，
故选：B．
33．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图， ， 分别与 相切于A，B两点，C是优弧B上的一个动
点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接 ，根据切线的性质得 ，再利用
四边形的内角和计算出 的度数，最后根据圆周角定理计算 的度数．
【详解】连接 ，
， 分别与 相切于A，B两点，
，
，
，
，
故选：B．
34．（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的外接圆，P是 延长线上一点，连接 ，
且 ，点D是 中点， 的延长线交 于点Q，则下列结论：
① ；② 垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及了圆周角定理、垂径定理、圆的切线证明等知识点，掌握相关结论是解题关键．①②根据点D是 中点， ， 、 即可判断；③根据
， ，且 即可判断；④假设结论正确，即可倒推进行判断．
【详解】解：∵点D是 中点， ，
∴ ， ，
故②正确；
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，且 ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴直线 是 的切线
∵ 垂直平分 ，
∴
∴
∴∴直线 是 的切线，故③正确；
若 ，则
∴
根据条件无法得出以上结论，故④错误；
故选：C
二、填空题
35．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点 ，点B的坐标为 ， 的半径为
5．若点B在 内，则a的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设 交 轴于点 ，连接 ，利用勾股定理
求得 ，根据点和圆的位置关系即可求解．
【详解】解：如图，设 交 轴于点 ，连接 ，
∵点 ， 的半径为5，
∴ ， ，
∴ ，若点 在 内，
∴ ，
故答案为： ．
36．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，
交 于F，D两点．若 ， ， ，则 的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明 垂直平分 ， 垂直
平分 ，进而得出 ， ，等量代换即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，
E是 的外心，
，
P，Q分别是 ， 的中点，
， ，
垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ，
的周长 ，故答案为：12．
37．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径 上一点， 与圆O相切于点M，连接 ，
，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的
半径；连接 ，根据切线性质得 ，再根据直角三角形的锐角互余得 ，根据圆周角定理进
而求得 ，然后根据等腰三角形的判定解答即可．
【详解】解：连接 ，
与圆O相切于点M，
；
，
；，
，
，
；
，
；
故答案为： ．
38．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 外一点， 分别切 于点 ， 切 于
点 ，分别交 于点 ，若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把 的周长转化
为已知切线相关的线段计算．
根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵ 分别切 于点 ， 切 于点 ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的周长 ，，
，
，
．
故答案为： ．
39．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 的切线，A为切点，连接 ，点C在 上，
，连接 并延长，交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】此题考查了切线的性质，四边形内角和、等边对等角等知识．利用垂线的性质及切线的性质得到
和 ，再利用四边形的内角和为 进而可求得 ，再利用等边对等角及三角形的
内角和即可求解．
【详解】解： ，
，
又 是 的切线，
，
，
又 ，，
，
又 ，
，
，
故答案为： ．
40．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，D是 上一点，
E是 上一点， ，若以 为直径的圆交 于M、N点，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作 于H， 于K，由
题意 ， ，推出欲求 的最大值，只要求出 的最小值即可．
【详解】如图，连接 ，作 于H， 于K，，
，
，
，
，
欲求 的最大值，只要求出 的最小值即可，
，
点O的运动轨迹是以C为圆心， 为半径的圆，
在 中， ， ，
，
，
，
当C、O、H共线，且与 重合时， 的值最小，
的最小值为 ，的最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题
41．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交 于点D，过点D
作 的垂线，垂足为E．
(1)求证： 与 相切；
(2)请探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定与
性质，等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接 ，先证 ，再根据 ，可得 ，即可得证结论．
（2）过点 作 于 ，根据 证 ，再根据 证 ，再利用等量代换
即可得出 ．
【详解】（1）证明：连接 ，，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
为 的半径，
与 相切；
（2）解： ，理由如下：
过 作 于 ，则 ，
平分 ， ， ，
， ，
在 与 中，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
42．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，以 为直径作 为 上一点，
且 ，连接 并延长交 的延长线于点E．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，灵活运用切
线的性质成为解题的关键．
（1）如图：连接 ，再证明 可得 即可证明结论；
（2）设 ，则 ；在 中运用勾股定理列方程求得 ，即
；设 ，在 中， ，即 ，解得
，则 ；最后在 中运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接 ．
∵点D在圆上，
，
，
∴ ，
，
，
∴直线 与 相切．
（2）解：设 ，，
在 中， ，即 ，解得 ，
．
是圆的切线，
∴设 ，在 中， ，
即 ，解得 ，
，
∴在 中， ．
43．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点O在 上， 过
点A和点B．
(1)求证： 是 的切线；
(2)点D是 上一点， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质得到 ，进而得到
，再根据切线判定求解．
（2）延长 交 于点E，连接 ，易得 、 、 三点共线，设 ，利用含 角的直角三角形的性质得到 ，由勾股定理求出 的半径 ，由勾股定理求出 ，利用三角形面积求出 ，最后由勾股定理求
解．
【详解】（1）解：连接 ．
，
．
，
，
，
即 ，
为 的半径，
是 的切线．
（2）解：延长 交 于点E，连接 ．
是 的直径，
．
，，
∴ 、 、 三点共线.
设 ，
， ， ，
则 ，
，
解得 ， （不符合题意舍去），
，
， ．
在 和 中，
,
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，三角形面积公式，
三角形内角和定理和等腰三角形的性质．解题关键是：（1）熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的
切线．（2）证明 、 、 三点共线，由勾股定理求出 的半径 ．
44．（24-25九年级上·全国·期中）如图， 为 直径，点 为 上一点， 平分 ， ，垂足为 ，交 于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的直径．
【答案】(1)见解析
(2) 的直径长为20．
【分析】（1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出 ，利用平行线的性质判定可得出 ，
利用平行线的性质可得出 ，然后利用切线的判定即可得证；
（2）作 于点I，由垂径定理得 ，再证明四边形 是矩形，得 ， ，则
，由勾股定理得 ，求得 ，即可求 的直径．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又 是 的半径；
∴直线 是 的切线；
（2）解：作 于点I，则 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
∴ 的直径长为20．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，
正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
45．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点， 的切线 交 的延
长线于点D．
(1)求证： ；
(2)若 ．求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质得到 ，再根据圆周角定理得到
，加上 ，于是利用等量代换得到结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系结合勾股定理得到 ，然后证明 得到
即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ．∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ；
（2）解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
【点睛】本题考查了圆的知识，涉及切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质以及含30度的直角三角
形，勾股定理，解题的关键是熟悉圆的知识．
46．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1， 是 的直径，点D为 下方 上一点，点C为 的
中点，连结 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，延长 相交于点E，
①求证： ．
②若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见详解
(2)①见详解；② 的半径为5
【分析】（1）由点C为 的中点，得 ，所以 ，由垂径定理得 ，即可根据等腰三角形
的“三线合一”证明 平分 ；
（2）由 是 的直径，得 ，由 ，得 ；
（3）连接 ，则 ，由 ， ，由平行线的性质得 ，则 ，
所以 ，而 ，则 ，所以 ，设 的半径为r，则 ，，由勾股定理得 ，求出符合题意的r值即可．
【详解】（1）证明： 点C为 的中点，
，
，
平分 ；
（2）①证明： 是 的直径，
，
，
，
；
②如图2，连接 ，则 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设 的半径为r，则 ，
，
，
，
，
整理得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角
形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大．
