文档内容
24.4 弧长和扇形的面积
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，
并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.
【过程与方法】
通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、
理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度与价值观】
通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转
化，体会转化在数学解题中的妙用.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.
【教学难点】
运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.
五、课前准备
课件、图片、直尺、圆规等.
六、教学过程
（一）导入新课
教师问：如图，在运动会的 4×100米比赛中，甲和乙分别在第 1跑道和第
2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？（出示课件2）
学生答：因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
教师问：怎样来计算弯道的“展直长度”？（板书课题）
（二）探索新知
探究一 弧长计算公式及相关的计算
教师问：半径为R的圆,周长是多少？（出示课件4）学生答：
.
教师问：①360°的圆心角所对的弧长是多少？②1°的圆心角所对的弧长是
多少？③n°的圆心角所对的弧长是多少？
学生答：①360°的圆心角所对的弧长是圆的周长；② 1°的圆心角所对的弧
长是圆的周长的 ；③n°的圆心角所对的弧长是圆的周长的 .
教师问:下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？
（出示课件5）
学生观察，计算，交流，教师抽查学生分别口答.
教师归纳：（出示课件6）弧长公式：
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，
它是不带单位的.
算一算：已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
学生代入公式进行计算：
出示课件7：例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下
料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
学生观察思考后，师生共同解答.
解：由弧长公式，可得弧AB的长：
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
巩固练习：（出示课件8）一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，
滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没
有滑动，π取3.14）？
学生自主思考后，独立解答，一生板演.
解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.
解得n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
探究二 扇形面积计算公式及相关的计算
出示定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇
形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.（出示课件9）判一判：下列图形是扇形吗？（出示课件10）
学生观察后口答：×；×；√；×；√.
教师问：半径为r的圆,面积是多少？（出示课件11）
学生答： .
教师问：①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？② 1°的圆心角所对扇形
的面积是多少？③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
学生答：①360°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积；② 1°的圆心角所对
扇形的面积是圆的面积的 ③n°的圆心角所对扇形的面积是圆的面积的 .
教师问：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?（出示
课件12）学生观察计算并填表.
出示课件13：教师归纳：
扇形面积公式：半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为
教师强调：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
教师问：扇形的面积与哪些因素有关？（出示课件14）
学生答1：圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面
积越大.
学生答2：圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大.
教师总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
教师问：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？（出示课件15）
学生板演：
教师问：扇形的面积公式与什么公式类似？
学生答：
出示课件16：例1 如图，圆心角为 60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形
的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
学生独立思考后师生共同解答.
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为巩固练习：（出示课件17）
1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S = ．
扇
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S = .
扇
学生独立思考后口答：1. ；2. .
出示课件18，19：例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是
0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
教师问：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
学生答：阴影部分.
教师问：(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
学生答：线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
教师问：(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
学生答：阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积.
师生共同解答如下：（出示课件20）
解：如图(3)，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵OC＝0.6,DC＝0.3,
∴OD＝OC-DC＝0.3，
∴OD＝DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S -S
扇形OAB ΔOAB
出示课件21：弓形的面积公式：
教师归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.巩固练习：（出示课件22）
如图，扇形OAB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D是弧AB的三等分点，
则图中阴影部分的面积和是_____．
学生独立思考后解答：阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意得：
∠AOC=60°÷3=20°.
S = =2π.
扇形OAC
（三）课堂练习（出示课件23-29）
1.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则
的长为（ ）
A． B． C．2π D．2.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部
分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
3.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长_____.
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，
将△ABC顺时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过
1 1
的面积为 （ ）
5.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部
分的面积是_____.6.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A第3次落在直线l上时，点
A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
7.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm，其中水面高
0.9cm，求截面上有水部分的面积.
8.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按
顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.参考答案：
1.D
2.C
3.2π
4.C
5.
6.
7.解：8.解：由图可知，由于∠A′CB′=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方
向旋转了120°，即∠ACA′ =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA′的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA′ 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA′
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
（四）课堂小结
通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决
实际问题吗？
（五）课前预习
预习下节课（24.4第2课时）的相关内容.
七、课后作业
1.教材113页练习1,2,3.
2.配套练习册内容
八、板书设计：九、教学反思：
本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导
出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透
着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公
式时，又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.
