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专题四 微专题 1 空间几何体
(分值：84分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·天津)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m⊥n
B.若m∥α，n∥α，则m∥n
C.若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D.若m∥α，n⊥α，则m与n相交
2.(2024·来宾模拟)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为( )
4
A.1 B.
3
6 9
C. D.
5 7
3.(2024·宁波模拟)已知平面α，β，γ，α∩β=l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2π
4.(2024·晋城模拟)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为(
3
)
16√2π
A.6√2π B.
3
16√3π
C.6√3π D.
3
5.(2024·衡水模拟)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如用来收运垃圾的畚箕，其结构
为如图所示的五面体ADE-BCF，其中四边形ABFE与DCFE都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若
AD⊥平面ABFE，且EF=2AB=2AE=2BF，记三棱锥D-ABF的体积为V ，则该五面体的体积为( )
1
A.8V B.5V
1 1
C.4V D.3V
1 16.(2024·武汉模拟)如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其
中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为
顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列选项正确的是( )
A.△CEF为正三角形
B.SA⊥平面CEF
C.SD∥平面CEF
D.点D到平面CEF的距离为2√3
7.(2024·揭阳模拟)如图，正四棱台容器ABCD-A B C D 的高为12 cm，AB=10 cm，A B =2 cm，容器中水的
1 1 1 1 1 1
高度为6 cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3
cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为( )
√1 √2
A.3 cm B.3 cm
π π
√3 √4
C.3 cm D.3 cm
π π
π
8.(2024·临汾模拟)在平行四边形ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD= ，E，H分别为AB，CD的中点，将
3
△ADE沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥A'-BCDE，F为A'C的中点，则下列说法不正确的是( )
A.平面BFH∥平面A'DE
B.四棱锥A'-BCDE体积的最大值为3
C.无论如何折叠都无法满足A'D⊥BC
D.三棱锥A'-DEH表面积的最大值为2√3+4
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·深圳模拟)已知m，n是异面直线，α，β是两个不同的平面，m α，n β，那么( )
A.当m⊥β或n⊥α时，α⊥β
⊂ ⊂
B.当m∥β且n∥α时，α∥β
C.当α⊥β时，m⊥β或n⊥αD.当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行
10.(2024·浙江强基联盟5月联考)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF=EF=2DF=2，
AE=3，EB=4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'D'FE⊥平面BCFE，连接
A'B，D'C，如图2，则( )
A.BE⊥A'D'
B.平面A'EB∥平面D'FC
C.多面体A'EBCD'F为三棱台
π
D.直线A'D'与平面BCFE所成的角为
4
11.(2024·徐州适应性测试)已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为2√3，则( )
A.该圆台的体积为26√3π
112π
B.该圆台外接球的表面积为
3
C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D.挖去以该圆台上底面为底，高为√3的圆柱后所得几何体的表面积为(16+2√3)π
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那
么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是 .
13.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为r ，圆台母线长分别为2(r -r )，
1 2 2 1
3(r -r )，则圆台甲与乙的体积之比为 .
2 1
14.将3个6 cm×6 cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图(1)所示，
将这6个部分接入一个边长为3√2 cm的正六边形上，如图(2)所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围
成一个七面体，则该七面体的体积为 cm3.
15题5分，16题6分，共11分15.(2024·郑州模拟)如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角，设M为
AD的中点，N为BC的中点，则三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为( )
2√2π √3π
A. B.
3 3
2√3π 4√2π
C. D.
3 3
16.(多选)[椭圆柱]把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO'中椭圆长轴
AB=4，短轴CD=2√3，F ，F 为下底面椭圆的左、右焦点，F '为上底面椭圆的右焦点，AA'=4， P为线段
1 2 2
BB'上的动点，E 为线段A'B'上的动点，MN 为过点F 的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确
2
的是( )
A.当F F '∥平面PMN时，P为BB'的中点
1 2
B.三棱锥F '-F CD外接球的表面积为8π
2 2
C.若点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的射影，且Q'F ，Q'F 与下底面所成的角分别为α，
1 2
16
β，则tan(α+β)的最大值为-
13
D.三棱锥E-PMN体积的最大值为8答案精析
1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C
7.A 8.C
9.AB [当m⊥β，m α时，α⊥β；
当n⊥α，n β时，α⊂ ⊥β，故A正确；
当m∥β，n⊂ ∥α时，又m，n为异面直线，m α，n β，
所以α∥β，故B正确；
⊂ ⊂
当α⊥β时，由m α，得m∥β或m与β相交；
当α⊥β时，由n⊂β，得n∥α或n与α相交，故C错误；
当α，β不平行时⊂，可能m∥β或m与β相交，n∥α或n与α相交，故D错误.]
10.ABD [对于A，因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，
平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，
BE⊥EF，BE 平面BCFE，
所以BE⊥平面⊂A'D'FE，
又A'D' 平面A'D'FE，
所以BE⊂ ⊥A'D'，A正确；
对于B，因为A'E∥D'F，A'E⊄平面D'FC，D'F 平面D'FC，
则A'E∥平面D'FC，
⊂
又BE∥CF，BE⊄平面D'FC，
CF 平面D'FC，则BE∥平面D'FC，
又A⊂'E∩BE=E，A'E，BE 平面A'EB，所以平面A'EB∥平面D'FC，
B正确； ⊂
D'F 1 FC 2
对于C，因为 = ， = ，
A'E 3 EB 4
D'F FC
则 ≠ ，
A'E EB
所以多面体A'EBCD'F不是三棱台，C错误；
对于D，分别延长A'D'，EF相交于点G，
因为平面A'D'FE⊥平面BCFE，平面A'D'FE∩平面BCFE=EF，A'E 平面A'D'FE，A'E⊥EF，
所以A'E ⊥平面BCFE，则∠A'GE为直线A'D'与平面BCFE所成的⊂角.因为A'E∥D'F，
D'F GF
所以 = ，
A'E GF+FE
解得GF=1，GE=3，
A'E
tan∠A'GE= =1，
GE
π
则∠A'GE= ，D正确.]
4
11.BC [由已知得圆台的上、下底面半径分别为1，3，
1 26√3π
对于A，圆台的体积为 π(12+32+√12×32)×2√3= ，A错误；
3 3
对于B，如图是圆台的轴截面ABCD，外接球球心为O，设外接球半径为R，
28
当球心在梯形ABCD内时，√R2-12+√R2-32=2√3，解得R2= ，
3
当球心在梯形ABCD外时，√R2-12-√R2-32=2√3，方程无解，
112π
所以外接球的表面积为4πR2= ，B正确；
3
对于C，用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为√(2√3) 2+(3-1) 2=4，则最大周长为4+4+2+6=16，
C正确；
对于D，如图，挖去以该圆台上底面为底，高为√3的圆柱后
所得几何体的表面积为π(3+1)×4+2π×1×√3+π×(32+12)=26π+2√3π，D错误.]
12.2√2
解析 过点B'作B'C'∥y'轴，交x'轴于点C'，如图，
在△O'B'C'中，∠B'O'C'=30°，∠B'C'O'=135°，O'B'=2，
B'C' O'B'
由正弦定理 = ，
sin30° sin135°
1
2×
2
于是得B'C'= =√2，
√2
2
由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2√2.
√6
13.
4
解析 由题可得两个圆台的高分别为
h =√[2(r -r )] 2-(r -r ) 2
甲 2 1 2 1
=√3(r -r )，
2 1
h =√[3(r -r )] 2-(r -r ) 2
乙 2 1 2 1
=2√2(r -r )，
2 1
1
(S +S +√S S )h
V 3 上 下 上 下 甲
甲
所以 =
V 1
乙 (S +S +√S S )h
3 上 下 上 下 乙
h √3(r -r ) √6
甲 2 1
= = = .
h 2√2(r -r ) 4
乙 2 1
14.108
解析 将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，
该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积
的一半，
1
即 ×63=108(cm3).
2
1
15.C [由题意可得OM=ON= CD=2，过点M作MP⊥AO于点P，
2
连接PN，由二面角D-AC-B为直二面角，故平面DAC⊥平面ACB，
又平面DAC∩平面ACB=AC，
MP 平面DAC，
故M⊂P⊥平面ACB，
又PN 平面ACB，故MP⊥PN，
√2 √2 1
⊂
则MP= CD=√2，CP=√2CD- CD=3√2，CN= BC=2，
4 4 2
在△CNP中，利用余弦定理得
√ √2
NP= (3√2) 2+22-2×3√2×2×
2
=√10，
在△MPN中，
MN=√(√10) 2+(√2) 2=2√3，
在△MON中，OM=ON=2，
MN=2√3，取MN的中点为H，
则点O到MN的距离为
OH=
√
22-
(2√3) 2
=1，
2
根据圆锥的定义知，三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体为两个相同圆锥的组合体，
1
故圆锥的底面半径为OH，所以旋转体的体积为V= π×12×2√3
3
2√3π
= .]
3
16.ACD [由题设，长轴长|AB|=|A'B'|=4，
短轴长|CD|=2√3，
则|OF |=|OF |=|O'F '|=1，
1 2 2
得F ，F '分别是OB，O'B'的中点，而柱体中四边形ABB'A'为矩形，连接OB'，PF ，
2 2 2
由B'F '∥OF ，|B'F '|=|OF |=1，
2 1 2 1
所以四边形F OB'F '为平行四边形，OB'∥F F '，
1 2 1 2
当F F '∥平面PMN时，F F ' 平面ABB'A'，
1 2 1 2
⊂平面ABB'A'∩平面PMN=PF ，
2
则F F '∥PF ，有OB'∥PF ，
1 2 2 2
在△OBB'中，F 是OB的中点，则P为BB'的中点，A选项正确；
2
OF ⊥CD，|CD|=2√3，|OF |=1，
2 2
则在△F CD中，
2
|CF |=|DF |=2，∠CF D=120°，
2 2 2
△F CD外接圆的半径
2
1 |CD|
r= × =2，
2 sin∠CF D
2
F F '∥AA'，则F F '⊥平面F CD，
2 2 2 2 2
三棱锥F '-F CD外接球的半径
2 2
R=√22+22=2√2，
所以外接球的表面积为4πR2=32π，B选项错误；
点Q是下底面椭圆上的动点，Q'是点Q在上底面的射影，且Q'F ，Q'F 与下底面所成的角分别为α，β，
1 2
令|QF |=m，|QF |=n，
1 2
则m+n=4，又|QQ'|=4，
4 4
则tan α= ，tan β= ，
m n
tanα+tanβ
tan(α+β)=
1-tanαtanβ
4(m+n) 16
= =
mn-16 mn-16
16
= ，
-(m-2) 2-12
由椭圆性质知1≤m≤3，
16
则当m=1或m=3时，tan(α+β)的最大值为- ，C选项正确；
13
由V =V +V ，要使三棱锥E-PMN体积最大，
三棱锥E-PMN 三棱锥M-PEF
2
三棱锥N-PEF
2
只需△PEF 的面积和M，N到平面PEF 距离之和都最大，
2 2
S =S -S -S ，
△PEF 四边形BF EB' △PBF △PEB'
2 2 2
令EB'=a，PB=b，且a，b∈[0，4]，则PB'=4-b，
1 1 1 b(a-1)
S = ×4×(1+a)- ×1×b- ×a×(4-b)=2+ ，
△PEF 2 2 2 2 2
当a=b=4时，有最大值S =8，
△PEF
2y2 x2
在下底面内以O为原点，构建如图的平面直角坐标系，且B(0，2)，则椭圆方程为 + =1，
4 3
设MN：y=tx+1，联立椭圆方程得(3t2+4)x2+6tx-9=0，
Δ=144(t2+1)>0，
6t
x +x =- ，
M N 3t2+4
9
x x =- ，
M N 3t2+4
12√t2+1
|x -x |=√(x +x ) 2-4x x = ，
M N M N M N 3t2+4
令l=√t2+1≥1，
12
12l
|x -x |= = 1，
M N 3l2+1 3l+
l
1
由对勾函数性质可知y=3l+ 在[1，+∞)上单调递增，
l
12
|x -x | = =3，
M Nmax 4
1
综上，三棱锥E-PMN体积的最大值为 ×8×3=8，D选项正确.]
3
