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专题四 微创新 立体几何与其他知识的综合问题
(分值：51分)
1.(17分)[柯西不等式]柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设a，
i
n n n
b∈R(i=1，2，…，n)，a不全为0，b不全为0，则 Σ
a2
Σ
b2
≥( Σ ab)2，当且仅当存在一个数k，使
i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
得a=kb时，等号成立.
i i
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；(3分)
(2)设P是棱长为√2的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为d ，d ，d ，d ，求d2 +d2
1 2 3 4 1 2
+d2+d2的最小值；(5分)
3 4
(3)已知无穷正数数列{a }满足：
n
①存在m∈R，使得a≤m(i=1，2，…，n)；
i
1
②对任意正整数i，j(i≠j)(j=1，2，…，n)，均有|a-a|≥ .
i j i+ j
求证：对任意n≥4，n∈N*，恒有m≥1.(9分)
2.(17分)(2024·南昌模拟)如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得
到的几何体称之为“斜截圆柱”.图1与图2是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆O的直径，
π
AB=2BC=2，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成的二面角为 ，图1中，点P是椭圆上的动
4
点，点P在底面上的投影为点P ，图2中，椭圆上的点E(i=1，2，3，…，n)在底面上的投影分别为F，
1 i i
且F均在直径AB的同一侧.
i
2π
(1)当∠AOP = 时，求PP 的长度；(6分)
1 3 1
(2)①当n=6时，若图2中，点F ，F ，…，F 将半圆平均分成7等份，求(E F -2)·(E F -2)·(E F -2)；(4分)
1 2 6 1 1 2 2 3 3
②证明： ·E F + ·E F +…+ ·E F + ·BC<2π.(7分)
1 1 2 2 n n3.(17分)(2024·济南模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其
中A，B，C，D∈R，A2+B2+C2≠0，且n=(A，B，C)为该平面的法向量.已知集合P={(x，y，z)||x|≤1，|y|
≤1，|z|≤1}，Q={(x，y，z)||x|+|y|+|z|≤2}，T={(x，y，z)||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}.
(1)设集合M={(x，y，z)|z=0}，记P∩M中所有点构成的图形的面积为S ，Q∩M中所有点构成的图形的面积
1
为S ，求S 和S 的值；(4分)
2 1 2
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V ，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V ，求V 和V 的值；
1 2 1 2
(7分)
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积V 的值；(3分)
3
②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.(3分)答案精析
1.(1)解 柯西不等式的二元形式为：设a ，a ，b ，b ∈R，a ，a 不全为0，b ，b 不全为0，
1 2 1 2 1 2 1 2
则(a2 +a2 )(b2 +b2 )≥(a b +a b )2，
1 2 1 2 1 1 2 2
当且仅当a b =a b 时，等号成立.
1 2 2 1
(2)解 正四面体ABCD的体积等于以P为顶点，四个面为底面的三棱锥体积之和，
即V =V +V +V +V .
正四面体ABCD 三棱锥P-ABC 三棱锥P-DBC 三棱锥P-CDA 三棱锥P-DAB
√2 1 √3
所以 (√2)3= × (√2)2(d +d +d +d )，
12 3 4 1 2 3 4
2√3
因此d +d +d +d = .
1 2 3 4 3
由柯西不等式得(d2 +d2 +d2 +d2 )(1+1+1+1)≥(d ·1+d ·1+d ·1+d ·1)2，
1 2 3 4 1 2 3 4
1
从而d2 +d2 +d2 +d2≥
，
1 2 3 4 3
√3 1
当且仅当d =d =d =d =
时，等号成立.因此d2 +d2 +d2 +d2
的最小值为 .
1 2 3 4 6 1 2 3 4 3
(3)证明 对n≥4，记k ，k ，…，k 是1，2，…，n的一个排列，
1 2 n
且满足0a -a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )
k k k k k k k k k
n n 1 n n-1 n-1 n-2 2 1
1 1 1
≥ + +…+ .
k +k k +k k +k
n n-1 n-1 n-2 2 1
由柯西不等式得
( 1 1 1 )
+ +…+
·
k +k k +k k +k
n n-1 n-1 n-2 2 1
[(k +k )+(k +k )+…+(k +k )]≥(n-1)2，
n n-1 n-1 n-2 2 1
1 1 1 (n-1) 2
所以 + +…+ ≥
k +k k +k k +k (k +k )+(k +k )+…+(k +k )
n n-1 n-1 n-2 2 1 n n-1 n-1 n-2 2 1
(n-1) 2
=
2(k +k +…+k )-k -k
1 2 n 1 n
(n-1) 2 (n-1) 2
= ≥
n2+n-k -k n2+n-3
1 n3n-4
=1- ，
n2+n-3
从而对任意n≥4，n∈N*，
3n-4
都有m≥1- ，
n2+n-3
3n-4
当n≥4时，1- <1，故m≥1.
n2+n-3
2.(1)解 如图，取CD中点M，过点M作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点G，交BC延长线于
点H，与PP 交于点I，连接IM，
1
因为MH=MG=1，
π
∠CMH=∠DMG= ，
4
所以DG=HC=1，AG=2，过点M作GH的垂线，交圆M于J，K两点.
过点I作IN⊥JK，交JK于点N，又由PI⊥圆M，JK 圆M，
则PI⊥JK，
⊂
又因为PI∩IN=I，PI，IN 平面PIN，所以JK⊥平面PIN ，
因为PN 平面PIN，所以⊂PN⊥JK，所以∠PNI为椭圆面与圆M所在平面所成的二面角，也是椭圆面与底
面所成的⊂角，
π
所以∠PNI= ，则△PNI为等腰直角三角形，PI=IN.
4
设∠AOP =θ，如图作圆M所在平面的平面图，则∠GMI=θ，
1
由GH⊥JK，IN⊥JK，得GH∥IN，
则有∠NIM=∠GMI=θ，
所以IN=MIcos θ=cos θ，
所以PP =IP +PI=IP +IN
1 1 1
=2+cos θ，
2π 2π 3
当θ= 时，PP =2+cos = .
3 1 3 2
π
(2)①解 当n=6时，∠AOF = ，
1 7
2π 3π
∠AOF = ，∠AOF = ，
2 7 3 7π
由(1)知E F =2+cos ，
1 1 7
2π
E F =2+cos ，
2 2 7
3π
E F =2+cos ，
3 3 7
所以(E F -2)·(E F -2)·(E F -2)
1 1 2 2 3 3
π 2π 3π
=cos cos cos
7 7 7
2π 4π 6π
sin sin sin
7 7 7
= × ×
π 2π 3π
2sin 2sin 2sin
7 7 7
2π 3π π
sin sin sin
7 7 7 1
= × × = .
π 2π 3π 8
2sin 2sin 2sin
7 7 7
②证明 由(1)知PP =2+cos θ，即PP 是关于θ的函数，将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓
1 1
线即为函数y=2+cos x的图象，
如图，将E F ，E F ，…，E F ，BC绘制于函数y=2+cos x(0≤x≤π)的图象上，
1 1 2 2 n n
并以EF，F F(i=2，3，…，n)为边作矩形，则该矩形的面积等于 ·EF的值，
i i i-1 i i i
所以 ·E F + ·E F +…+ ·E F + ·BC即为这些矩形的面积之和.
1 1 2 2 n n
1
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，因此该斜截圆柱的侧面积为 ×2π×4=4π，所
2
1
以函数y=2+cos x(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积为 ×4π=2π，
2
又因为无论点F(i=1，2，3，…，n-1)是否均匀分布在半圆弧AB上，
i
这些矩形的面积之和都小于函数y=2+cos x(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积，
所以 ·E F + ·E F +…+ ·E F + ·BC<2π.
1 1 2 2 n n
3.解 (1)集合M={(x，y，z)|z=0}表示Oxy平面上所有的点，
P={(x，y，z)||x|≤1，|y|≤1，|z|≤1}表示(±1，±1，±1)这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而P∩M可以看成正方体在Oxy平面上的截面内所有的点，
发现它是边长为2的正方形，因此S =4.
1
对于Q={(x，y，z)||x|+|y|+|z|≤2}，当x，y，z>0时，x+y+z=2表示经过(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)的
平面在第一象限的部分.
由对称性可知Q表示(±2，0，0)，(0，±2，0)，(0，0，±2)这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而Q∩M可以看成正八面体在Oxy平面上的截面内所有的点.它是边长为2√2的正方形，因此S =8.
2
(2)集合Q的子集Q'={(x，y，z)|x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}，
Q'中所有点构成的几何体为三个坐标平面与平面x+y+z=2围成的四面体.
四面体四个顶点分别为(0，0，0)，(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，
此四面体的体积为
1 (1 ) 4
V = ×2× ×2×2 = ，
Q' 3 2 3
32
由对称性知，V =8V = .
1 Q' 3
集合P的子集P'={(x，y，z)|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，P'中所有点构成的几何体为棱长为1的正方体，
显然P'∩Q'中所有点构成的几何体为两个几何体的公共部分，
记Q (1，1，0)，Q (1，0，1)，Q (0，1，1)，Q (1，1，1).
1 2 3 4
容易验证Q ，Q ，Q 在平面x+y+z=2上，同时也在P'中所有点构成的正方体的底面上.
1 2 3
则P'∩Q'为此正方体截去三棱锥Q -Q Q Q 所剩下的部分.
4 1 2 3
1 1 1
此正方体的体积V =1×1×1=1，三棱锥Q -Q Q Q 的体积V = ×1× ×(1×1)= ，
P' 4 1 2 3 三棱锥Q 4 -Q 1 Q 2 Q 3 3 2 6
1 5
故P'∩Q'中所有点构成的几何体的体积V =V -V =1- = ，
P'∩Q' P' 三棱锥Q 4 -Q 1 Q 2 Q 3 6 6
20
由对称性知，V =8V = .
2 P'∩Q' 3
(3)①如图所示，即为T所构成的图形，
其中正方体ABCD-LIJM即为集合P所构成的区域.E-ABCD构成了一个正四棱锥，
1 4
其中E到平面ABCD的距离为1，V = ×1×2×2= ，
四棱锥E-ABCD 3 3
4
V =V +6V =8+6× =16.
3 P 四棱锥E-ABCD 3
②由题意令平面EBC的方程为x+z-2=0，由题干定义知该平面的一个法向量为n =(1，0，1).
1
令平面ECD的方程为y+z-2=0，由题干定义知该平面的一个法向量为n =(0，1，1)，
2n ·n 1
1 2
故cos〈n ，n 〉= = .
1 2 |n ||n | 2
1 2
2π
由图知两个相邻的面所成的角为钝角，故几何体W的相邻两个面所成的角为 .
3
由图可知共有12个面、24条棱.
