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微专题 2 空间向量与空间角
[考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，
利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
考点一 异面直线所成的角
设异面直线l，m的方向向量分别为a=(a，b，c)，b=(a，b，c)，异面直线l与m的夹角为θ.
1 1 1 2 2 2
( π]
则(1)θ∈ 0， ；
2
|a·b|
(2)cos θ=|cos〈a，b〉|=
|a||b|
|a a +b b +c c |
1 2 1 2 1 2
= .
√a2+b2+c2√a2+b2+c2
1 1 1 2 2 2
例1 (1)在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成
角的余弦值为( )
1 √3
A. B.
2 5
√3 √6
C. D.
3 3
(2)(2024·成都模拟)如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB分别交AB，AC于D，E两点，且
AD=1，将△ADE沿DE折起(点A与P重合)，使得平面PDE⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，
CE所成角的正弦值为( )
√3 √6
A. B.
2 3
√5 2√5
C. D.
5 5
[规律方法] 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
( π]
(4)注意两异面直线所成角的范围是 0， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝
2
对值.
跟踪演练1 如图，已知圆柱O O 的底面半径和母线长均为1，B，A分别为上、下底面圆周上的点，
1 2
π
若异面直线O B，O A所成的角为 ，则AB的长为 .
1 2 3
考点二 直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
[ π]
则(1)θ∈ 0， ；
2
|a·n|
(2)sin θ=|cos〈a，n〉|= .
|a||n|
例2 (2024·威海模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，
PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.
π
[易错提醒] (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉+θ=
2
π
或〈a，n〉-θ= ，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.
2
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.
跟踪演练2 (2024·秦皇岛模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，BA=BD=BP=√5，CD=1，PA=PD=√2，
PA⊥PD，E是棱PA的中点，且BE∥平面PCD，点F是棱PD上的一点.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；
11√35
(2)若直线PC与平面ABF所成角的正弦值为 ，求DF的长.
105
考点三 平面与平面的夹角
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
[ π]
则(1)θ∈ 0， ；
2
|u·v|
(2)cos θ=|cos〈u，v〉|= .
|u||v|
例3 (2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=√3.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
√42
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD.
7
[ π]
[易错提醒] 平面与平面夹角的取值范围是 0， ，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与
2
其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补.
跟踪演练3 (2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5√3，
2 1
∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F分别满足⃗AE= ⃗AD，⃗AF= ⃗AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，
5 2
使得PC=4√3.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.答案精析
例1 (1)C (2)D
跟踪演练1 2或√2
例2 (1)证明 设AD中点为O，连接PO，因为△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO 平面PAD，
故P⊂O⊥平面ABCD，
AB 平面ABCD，
故P⊂O⊥AB，又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，
⊂
DM 平面PAD，故AB⊥DM，
又M⊂为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
因为AB∩PA=A，AB，
PA 平面PAB，
所以⊂DM⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
1
⊂
连接CO，AO= AD=2，
2
则AO∥BC，AO=BC，
即四边形ABCO为平行四边形，故OC∥AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(0，0，2√3)，B(2，-2，0)，
M(0，-1，√3)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
⃗PB=(2，-2，-2√3)，⃗MC=(2，1，-√3)，⃗MD=(0，3，-√3)，
设平面MCD的法向量为
n=(x，y，z)，
{n·⃗MC=0,
则
n·⃗MD=0,{2x+ y-√3z=0,
即
3 y-√3z=0,
令y=1，则n=(1，1，√3)，
[ π]
设直线PB与平面MCD所成的角为θ，θ∈ 0， ，
2
|⃗PB·n| 6 3
则sin θ=|cos〈⃗PB，n〉|= = = .
|⃗PB||n| 2√5×√5 5
跟踪演练2 (1)证明 取AD的中点O，连接PO，BO，EO，
因为E是棱PA的中点，
所以EO∥PD，
又EO⊄平面PCD，PD 平面PCD，
所以EO∥平面PCD，⊂
又BE∥平面PCD，BE∩EO=E，BE，EO 平面BEO，
所以平面BEO∥平面PCD，
⊂
又平面BEO∩平面ABCD=BO，
平面PCD∩平面ABCD=CD，
所以BO∥CD.
在△ABD中，BA=BD=√5，
AD=√PA2+PD2=2，
又O是AD的中点，
所以BO⊥AD，BO=2，
又易得PO=1，BP=√5，
所以BO2+PO2=BP2，
所以PO⊥BO，
所以PO⊥CD，AD⊥CD，
又PO∩AD=O，PO，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
又CD 平面PCD， ⊂
所以平⊂面PCD⊥平面PAD.
(2)解 当点F与点D重合时，连接OC，PC与平面ABF所成的角即为∠PCO，
PO=1，OC=√2，PC=√3，
√3
所以sin∠PCO= ，不符合题意，所以点F与点D不重合.
3
因为PA=PD，点O是AD的中点，所以PO⊥AD，
所以OB，OD，OP两两垂直，以O为坐标原点，OB，OD，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以P(0，0，1)，D(0，1，0)，
C(1，1，0)，A(0，-1，0)，B(2，0，0)，
设⃗DF=λ⃗DP=λ(0，-1，1)
=(0，-λ，λ)(0<λ≤1)，
所以⃗BF=⃗BD+⃗DF=(-2，1，0)+(0，-λ，λ)=(-2，1-λ，λ)，
⃗AB=(2，1，0).
设平面ABF的法向量为n=(x，y，z)，
{n·⃗BF=-2x+(1-λ)y+λz=0,
所以
n·⃗AB=2x+ y=0,
令x=λ，解得y=-2λ，z=4-2λ，
所以平面ABF的一个法向量为n=(λ，-2λ，4-2λ)，
又⃗CP=(-1，-1，1)，设直线PC与平面ABF所成角的大小为θ，
所以sin θ=|cos〈n，⃗CP〉|
|n·⃗CP|
=
|n||⃗CP|
4-λ
=
√λ2+(-2λ) 2+(4-2λ) 2·√1+1+1
11√35
= ，
105
1 32
解得λ= 或λ= ，
3 41
1 √2 32 32√2
所以DF= PD= 或DF= PD= .
3 3 41 41
例3 (1)证明 因为PA⊥平面ABCD，
而AD 平面ABCD，
所以P⊂A⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，
PB，PA 平面PAB，
所以AD⊂ ⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，
⊂所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，
所以BC⊥AB，
根据平面知识可知AD∥BC，
又AD⊄平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
⊂
(2)解 方法一
以D为原点，⃗DA，⃗DC的方向分别为x轴，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=p，
DC=q，
满足p2+q2=AC2=4.
则A(p，0，0)，P(p，0，2)，C(0，q，0)，D(0，0，0).
设平面APC的法向量为
m=(x ，y ，z )，
1 1 1
因为⃗AP=(0，0，2)，
⃗AC=(-p，q，0)，
{ ⃗AP·m=2z =0,
1
所以
⃗AC·m=-px +q y =0,
1 1
取m=(q，p，0).
设平面DPC的法向量为n=(x ，y ，z )，
2 2 2
因为⃗DP=(p，0，2)，⃗DC=(0，q，0)，
{⃗DP·n=px +2z =0,
2 2
所以
⃗DC·n=q y =0,
2
取n=(2，0，-p).
|m·n|
所以|cos 〈m，n〉|=
|m||n|
2q
=
√p2+q2·√p2+4
√ (√42) 2
= 1- ，
7q 1
又因为p2+q2=4，所以 = ，解得p=√3(负值舍去)，
√p2+4 √7
即AD=√3.
方法二
如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，
PA 平面PAC，
所以⊂平面PAC⊥平面ABCD，
又平面PAC∩平面ABCD=AC，
DE 平面ABCD，
所以⊂DE⊥平面PAC，
因为CP 平面PAC，
所以DE⊂ ⊥CP，
又EF⊥CP，EF∩DE=E，
EF，DE 平面DEF，
所以CP⊥ ⊂平面DEF，
所以DF⊥CP，
根据二面角的定义可知，
∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
√42
即sin∠DFE= ，
7
即tan∠DFE=√6.
因为AD⊥DC，设AD=x，0
