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专题四 微重点 2 截面、交线问题
(分值：53分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面
的形状为( )
A.四边形 B.五边形
C.六边形 D.八边形
2.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建
筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A B C D .已知该正方体中，点E，F分别是棱AA ，CC 的中
1 1 1 1 1 1
点，过D ，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD 所成的角为( )
1 1
π π
A. B.
3 6
π π
C. D.
4 2
3.(2024·新乡模拟)已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球O所截的截面
面积的最小值是( )
A.9π B.12π
C.16π D.20π
4.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为√3，以A 为球心，半径为2的球与底面ABCD的交线的长度为(
1 1 1 1 1
)
√2
A. π B.√2π
2
1
C. π D.π
2
5.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为4，E，F分别是棱AA ，BC的中点，则平面D EF截该正方体所得
1 1 1 1 1 1
的截面图形的周长为( )
A.6 B.10√2
2√13+9√5+25
C.√13+2√5 D.
3
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
6.如图，棱长为a的正四面体形状的木块，点P是△ACD的中心.劳动课上需过点P将该木块锯开，并使得
截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是( )A.截面不是平行四边形
B.截面是矩形
2a2
C.截面的面积为
9
D.截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD
7.(2024·潍坊模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中，M，N分别为棱C D ，C C的中点，则( )
1 1 1 1 1 1 1
A.直线BN与MB 是异面直线
1
π
B.直线MN与AC所成的角是
3
C.直线MN⊥平面ADN
9
D.平面BMN截正方体所得的截面面积为
8
8.(2024·汕头模拟)用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到
不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，若截面与轴所成的角为β，则截
cosβ
口曲线的离心率e= .例如，当α=β时，e=1，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M，N分别
cosα
为SD，SO的中点，AB，CD为底面的两条直径，且AB⊥CD，AB=4，SO=2.现用平面γ(不过圆锥顶点)截
该圆锥，则( )
A.若MN γ，则截口曲线为圆
B.若γ与SO所成的角为60°，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
⊂
C.若M，A，B∈γ，则截口曲线为抛物线的一部分
D.若截口曲线是离心率为√2的双曲线的一部分，则O∉γ
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.在正方体ABCD-A B C D 中，点M在棱DD 上，过点C作平面BMC 的平行平面α，记平面α与平面
1 1 1 1 1 1
BCC B 的交线为l，则A C与l所成角的大小为 .
1 1 110.(2024·辽阳模拟)在长方体ABCD-A B C D 中，AB=5，AD=3，AA =4，平面α∥平面A ABB ，则α截四面
1 1 1 1 1 1 1
体ACD B 所得截面面积的最大值为 .
1 1答案精析
1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.BCD
7.ABD 8.BCD
π
9.
2
解析 因为平面BMC ∥平面α，平面BMC ∩平面BCC B =BC ，
1 1 1 1 1
平面α∩平面BCC B =l，
1 1
则BC ∥l，
1
因为A B ⊥平面BCC B ，
1 1 1 1
BC 平面BCC B ，
1 1 1
所以⊂A
1
B
1
⊥BC
1
，
又B C⊥BC ，
1 1
且A B ∩B C=B ，A B ，
1 1 1 1 1 1
B C 平面A B CD，
1 1 1
所以⊂BC
1
⊥平面A
1
B
1
CD，
又A C 平面A B CD，
1 1 1
故BC 1⊂ ⊥A 1 C，所以A 1 C⊥l，
π
即A C与l所成角的大小为 .
1 2
10.10
解析 平面α截四面体ACD B 的截面如图所示，
1 1
B T
1
设 =λ，
B C
1 1
TR TM VN VS
则 = = = =λ，所以四边形NSRM为平行四边形，
TW TU VU VW
且MR∥UW，MN∥TV，
在矩形UVWT中，UV=4，VW=5，TM=VS=5λ，MU=SW=5(1-λ)，TR=VN=4λ，RW=NU=4(1-λ)，
则S =S -2S -2S
平行四边形NSRM 平行四边形UVWT △NVS △SWR=20-20[λ2+(1-λ)2]
[ ( 1) 2 1]
=20-20 2 λ- +
2 2
1
≤20-20×
2
=10，
1
当且仅当λ= 时，等号成立.
2
