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微重点 1 离心率的范围
[考情分析] 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此
类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
x2 y2
例1 (1)已知F是椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且
a2 b2
∠AFB=120°，则椭圆离心率的取值范围是( )
[√3 ) ( √3]
A. ，1 B. 0，
2 2
[1 ) ( 1]
C. ，1 D. 0，
2 2
答案 C
解析 设椭圆左、右焦点分别为F ，F，连接F A，F B，
1 1 1
由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF 为平行四边形，
1
且∠AFB=120°，∠FAF =60°，
1
在△AFF 中，
1
|FF |2=|AF|2+|AF |2-2|AF|·|AF |cos∠FAF
1 1 1 1
=(|AF|+|AF |)2-3|AF|·|AF |，
1 1
∴(|AF|+|AF |)2-|FF |2=3|AF|·|AF |
1 1 1
( |AF|+|A F | ) 2
≤3 1 ，
2
当且仅当|AF|=|AF |时等号成立，
1
1
可得 (|AF|+|AF |)2≤|FF |2，
4 1 1
c 1
即a2≤4c2，则e= ≥ ，
a 2
又∵椭圆的离心率e∈(0，1)，
[1 )
∴椭圆的离心率e∈ ，1 .
2π
(2)已知F ，F 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F PF = ，设∠PF F =θ，当双
1 2 1 2 3 1 2
(√6 )
曲线C的离心率取值范围为 ，√3 时，θ的取值范围为( )
2
( π ) ( π π)
A. 0， B. ，
12 12 6
(π π) ( π π)
C. ， D. ，
6 3 12 3
答案 B
√3
c 2c |F F | sin∠F PF 2
1 2 1 2
解析 在△F PF 中，由e= = = = =
1 2 a 2a |PF |-|PF | sin∠PF F -sin∠PF F (π )
1 2 2 1 1 2 sin +θ -sinθ
3
1
√3
= · (π ).
2 cos +θ
6
(√6 )
因为e∈ ，√3 ，
2
(π ) (1 √2)
所以cos +θ ∈ ， ，
6 2 2
π (π π)
所以 +θ∈ ， ，
6 4 3
( π π)
所以θ的取值范围为 ， .
12 6
[规律方法] 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c
的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
跟踪演练1 (2024·荆州模拟)已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且
1 2
π
∠F PF = ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
1 2 3
√3 √2
A. B.
2 2
√6 √3
C. D.
2 3
答案 A
解析 如图，设椭圆的长半轴长为a ，离心率为e ，双曲线的实半轴长为a ，离心率为e ，
1 1 2 2则根据椭圆及双曲线的定义，得|PF |+|PF |=2a ，|PF |-|PF |=2a ，
1 2 1 1 2 2
所 以|PF |=a +a ，|PF |=a -a ，
1 1 2 2 1 2
π
设|F F |=2c，∠F PF = ，
1 2 1 2 3
则在△PF F 中，由余弦定理，
1 2
π
得4c2=(a +a ) 2 +(a -a ) 2 -2(a +a )(a -a )cos ，
1 2 1 2 1 2 1 2 3
1 3
化简得a2 +3a2 =4c2，即 + =4，
1 2 e2 e2
1 2
1 3 √ 1 3 1
又e >0，e >0，4= + ≥2 · =2√3· ，
1 2 e2 e2 e2 e2 e e
1 2 1 2 1 2
1 2 √3 1 3 √2 √6
所以 ≤ ，则e e ≥ ，当且仅当 = ，即e = ，e = 时，等号成立，所以椭圆和双曲线的离
e e √3 1 2 2 e2 e2 1 2 2 2
1 2 1 2
√3
心率乘积的最小值为 .
2
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
x2 y2
例2 (1)椭圆 + =1(a>b>0)上存在一点P满足F P⊥F P，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆
a2 b2 1 2 1 2
的离心率的取值范围是( )
( 1] ( √2]
A. 0， B. 0，
2 2
[1 ) [√2 )
C. ，1 D. ，1
2 2
答案 D
解析 当点P位于短轴的端点时，∠F PF 最大，
1 2
x2 y2
要使椭圆 + =1(a>b>0)上存在一点P满足F P⊥F P，
a2 b2 1 2
π
只要∠F PF 最大时大于等于 即可，
1 2 2π
即当点P位于短轴的端点时，∠OPF ≥ ，
1 4
c π √2
所以sin∠OPF = ≥sin = ，
1 a 4 2
又椭圆的离心率e∈(0，1)，
[√2 )
所以椭圆的离心率的取值范围是 ，1 .
2
x2 y2
(2)已知P为椭圆 + =1(a>b>0)上一点，F ，F 为椭圆焦点，且|PF |=3|PF |，则椭圆离心率的取值范
a2 b2 1 2 1 2
围是( )
( 1] [1 )
A. 0， B. ，1
3 3
( 1] [1 )
C. 0， D. ，1
2 2
答案 D
x2 y2
解析 由P为椭圆 + =1(a>b>0)上一点，|PF |+|PF |=2a.
a2 b2 1 2
a
又|PF |=3|PF |，所以|PF |= ，
1 2 2 2
a
又a-c≤|PF |≤a+c，即a-c≤ ≤a+c.
2 2
a
{a-c≤ ,
2
即
a
≤a+c,
2
a 1
得 ≤c，即 ≤e<1.
2 2
[规律方法] 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点
距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
x2 y2
跟踪演练2 已知双曲线 - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，若双曲线上存在点P，使
a2 b2 1 2
sin∠PF F a
1 2
= ，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
sin∠PF F c
2 1
A.(1，1+√2) B.(1，1+√3)
C.(1，1+√2] D.(1，1+√3]
答案 Aa c
解析 若点P是双曲线的顶点， = 无意义，故点P不是双曲线的顶点，在
sin∠PF F sin∠PF F
1 2 2 1
△PF F 中，由正弦定理得
1 2
|PF | |PF |
1 2
= ，
sin∠PF F sin∠PF F
2 1 1 2
a c |PF | c
1
又 = ，∴ = ，
sin∠PF F sin∠PF F |PF | a
1 2 2 1 2
c
即|PF |= ·|PF |，∴P在双曲线的右支上，
1 a 2
由双曲线的定义，得|PF |-|PF |=2a，
1 2
c 2a2
∴ |PF |-|PF |=2a，即|PF |= ，
a 2 2 2 c-a
2a2
由双曲线的几何性质，知|PF |>c-a，∴ >c-a，即c2-2ac-a2<0，
2 c-a
∴e2-2e-1<0，解得-√2+11，
∴双曲线离心率的取值范围是(1，1+√2).
考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围
x2
例3 (1)(2024·成都模拟)已知直线l：y=x+2，若椭圆C： +y2=1(a>1)上的点到直线l的距离的最大值
a2
与最小值之和为2√2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
( √6] (√6 )
A. 0， B. ，1
3 3
( √2] [√2 )
C. 0， D. ，1
2 2
答案 A
x2
解析 将l：y=x+2代入椭圆C： +y2=1(a>1)，消去y，可得(1+a2)x2+4a2x+3a2=0，
a2
由已知直线与椭圆相离或相切，即Δ=16a4-4(1+a2)·3a2≤0，解得a2≤3，即10)上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲
a2 b2
线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A.(√2，+∞) B.(√3，+∞)
(2√3 )
C.(2，+∞) D. ，+∞
3
答案 A
b
解析 由题意可知，双曲线的渐近线方程为y=± x，
a
设点A(x，y)，
因为△ABC为正三角形，
所以OA⊥OC，且|OC|=√3|OA|，
则可取C(√3 y，-√3x)，
{
x2 y2
- =1,
a2 b2
则
3 y2 3x2
- =1,
a2 b2
y2 3a2+b2 b2
整理得 = < ，
x2 a2+3b2 a2
c2 c √c2
解得b2>a2，即c2-a2>a2，可得 >2，则e= = >√2，
a2 a a2
所以该双曲线离心率的取值范围是(√2，+∞).
[规律方法] 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.
y2
跟踪演练3 椭圆x2+ =1(00，椭圆离心率的取值范围为( )
( √2) ( 1)
A. 0， B. 0，
2 2
(1 ) (√2 )
C. ，1 D. ，1
2 2答案 A
解析 由题意，得A(0，b)，设B(t，0)(t>0)，F(-c，0)(c>0)，△FAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
{b2+bE+F=0,
则 c2-cD+F=0,
t2+tD+F=0,
{
D=-t+c,
解得
-b2+ct
E= ,
b
t-c b2-tc
所以m= ，n= ，
2 2b
(t-c b2-tc)
所以△FAB的外接圆圆心为P ， ，
2 2b
t-c b2-tc
所以 + >0，即bt-bc+b2-tc>0，即(b-c)(t+b)>0，
2 2b
因为t+b>0，所以b>c>0，即a2-c2>c2，
所以a>√2c，
√2
所以0b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，以线段F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭
a2 b2 1 2 1 2
圆离心率的取值范围为( )
(√2 ) [√2 )
A. ，1 B. ，1
2 2
(1 ) [1 )
C. ，1 D. ，1
2 2
答案 A
解析 因为以线段F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b ，即e> ，又因为00，b>0)的右焦点为F(c，0)，其渐近线与圆(x-c)2+y2= 有公共点，则双曲线
a2 b2 2
C的离心率的取值范围为( )
A.(1，√3] B.[√3，+∞)
( √6] [√6 )
C. 1， D. ，+∞
2 2
答案 C
x2 y2
解析 由 - =0得bx±ay=0，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取bx+ay=0，
a2 b2
a2
∵渐近线与圆(x-c)2+y2= 有公共点，
2
bc bc a
∴ = =b≤ ，
√a2+b2 c √2
b √2
整理得 ≤ ，
a 2
c √a2+b2 √ b2 √ (√2) 2 √6
∴e= = = 1+ ≤ 1+ = ，
a a a2 2 2
又e>1，
√6
∴1b>0)，且AB，AD斜率之积的取值范围为
a2 b2
( 3 2)
- ，- ，则椭圆Ω离心率的取值范围是( )
4 3(1 √3) (√3 √2)
A. ， B. ，
2 3 3 2
(1 √3) (1 1)
C. ， D. ，
4 3 4 3
答案 A
解析 由题意，D，B关于原点对称，设D(x ，y )，B(-x ，-y )，A(x，y)，
0 0 0 0
y- y y+ y y2- y2 b2 ( 1- x2 ) -b2 ( 1- x2 0 ) b2
∴k ·k = 0 × 0 = 0 = a2 a2 =- ，
AD AB x-x x+x x2-x2 a2
0 0 0 x2-x2
0
b2 c2 ( 3 2)
∴- = -1∈ - ，- ，
a2 a2 4 3
c2 (1 1)
∴ ∈ ， ，
a2 4 3
(1 √3)
∴e的取值范围为 ， .
2 3
[7 9 ]
5.(2024·长沙模拟)焦点在x轴的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是
b2， b2
，则椭圆离心率
2 2
的取值范围是( )
[√29 √65] [√31 √67]
A. ， B. ，
7 9 7 9
[√33 √65] [√34 √69]
C. ， D. ，
7 9 7 9
答案 C
x2 y2
解析 设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)，
a2 b2
不妨设矩形ABCD的对角线AC所在的直线方程为y=kx(假设k>0)，
{x2 y2
+ =1,
联立 a2 b2
y=kx,
x2 k2x2
则 + =1，
a2 b2
a2b2 a2b2k2
解得x2= ，y2= ，
b2+a2k2 b2+a2k2
4a2b2 4a2b2
4a2b2k ≤
所以矩形ABCD的面积为S=4|xy|=
b2+a2k2
=b2
+a2k 2
√b2
·a2k
=2ab，
k kb
当且仅当k= 时取等号，
a
[7 9 ]
因为焦点在x轴的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是
b2， b2
，
2 2
7 9 7 9 49 81
所以 b2≤2ab≤ b2，则 b≤a≤ b，即 b2≤a2≤ b2，
2 2 4 4 16 16
49 81
(a2-c2)≤a2≤ (a2-c2)，
16 16
81
{a2≤ (a2-c2 ),
16
即
49
(a2-c2 )≤a2,
16
{c2 65
≤ ,
a2 81
解得
c2 33
≥ ,
a2 49
[√33 √65]
即e的取值范围为 ， .
7 9
x2 y2
6.双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶点分别为A ，A ，B为虚轴的上端
a2 b2 1 2 1 2
点，若直线BF 上存在两点P(i=1，2)使得A P⊥A P(i=1，2)，且过双曲线的右焦点F 作斜率为1的直线
2 i 1 i 2 i 2
与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.√31，
a
c 1+√5
解得1< < ，
a 2
又过双曲线的右焦点F 作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
2
b
则 >1，
a
c2-a2 c
∴ >1，解得 >√2，
a2 a
1+√5
综上，双曲线离心率的取值范围是√20，解得-6<λ<3，故A正确；
对于B，由A项可得-6<λ<3，故λ+6>0，3-λ>0，
∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的焦距为2c(c>0)，则c2=λ+6+3-λ=9，
∴c=3，即焦距2c=6，故C正确；
3
对于D，离心率e= ，
√λ+6
∵-6<λ<3，∴0<√λ+6<3，
∴e的取值范围是(1，+∞)，故D错误.x2 y2
8.(2024·河南TOP20名校联考)已知椭圆Γ ： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，将Γ 上所有点
1 a2 b2 1 2 1
的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的k(k>0，k≠1)倍得到椭圆Γ ，则下列说法正确的是( )
2
b b+t
A.若t>0，则 <
a a+t
B.若Γ ，Γ 的离心率分别为e ，e ，则e =e
1 2 1 2 1 2
C
C.若Γ ，Γ 的周长分别为C ，C ，则C = 1
1 2 1 2 2 k
|F F |2
D.若Γ 的四个顶点构成的四边形面积为 1 2 ，则Γ 的离心率为2(√2-1)
1 1
4
答案 AB
{x'=kx,
解析 设点(x'，y')为椭圆Γ 上任意一点，则由题意知
2 y'=ky,
{x'
=x,
k
即
y'
= y,
k
(x'
)
2 (y'
)
2
代入椭圆Γ 的方程得 + =1.
1 k2a2 k2b2
(x'
)
2 (y'
)
2
所以椭圆Γ 的方程为 + =1 (a>b>0).
2 k2a2 k2b2
b b+t
因为a>b>0，t>0，所以 < ，所以A正确；
a a+t
√a2-b2 k√a2-b2
由已知得，e = ，e = =e ，所以B正确；
1 2 1
a ka
由已知得，Γ ∽Γ ，其相似比为1∶k，
1 2
C 1
1
所以 = ，所以C =kC ，
C k 2 1
2
因为k>0，k≠1，所以C错误；
|F F |2
设c=√a2-b2，因为Γ 的四个顶点构成的四边形的面积为 1 2 ，
1
4
1 (2c) 2
所以 ·2a·2b= ，所以2ab=c2，
2 4所以2a√a2-c2=c2，所以e4+4e2-4=0，
-4+√42-4×(-4)
所以e2= =2(√2-1)(负值舍去)，所以D错误.
2
三、填空题(每小题5分，共10分)
x2 y2 a2
9.已知F ，F 分别为椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x= 上存在点P，使△PF F 为等腰三角
1 2 a2 b2 c 1 2
形，则椭圆离心率的取值范围是 .
(√3 )
答案 ，1
3
解析 △PF F 为等腰三角形，只可能|PF |=|F F |，
1 2 2 1 2
即|PF |=2c，
2
a2 a2 1 √3
又因为点P在直线x= 上，即|PF |=2c> -c 3c2>a2 e2> e> ，
c 2 c 3 3
⇒ ⇒ ⇒
又因为椭圆的离心率e∈(0，1)，
(√3 )
所以e的取值范围为 ，1 .
3
x2 y2
10.(2024·聊城模拟)已知双曲线C： - =1(b>a>0)的一个焦点为F，O为坐标原点，点A，B在双曲线上
a2 b2
运动，以AB为直径的圆过点O，且|⃗OA+⃗OB|·|⃗OF|≤|⃗OA|·|⃗OB|恒成立，则C的离心率的取值范围为
.
( 1+√5]
答案 √2，
2
解析 当直线AB的斜率存在时，设A(x ，y )，B(x ，y )，直线AB：y=kx+m，
1 1 2 2
因为以AB为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，即⃗OA·⃗OB=x x +y y =0，
1 2 1 2
{y=kx+m,
联立
x2 y2
- =1,
a2 b2
整理得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0，
且Δ=4k2m2a4+4(b2-a2k2)(a2m2+a2b2)>0，
2kma2 -a2 (m2+b2 )
x +x = ，x x = ，
1 2 b2-a2k2 1 2 b2-a2k2则y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2
1 2 1 2 1 1 1 2
m2b2-a2b2k2
= ，
b2-a2k2
-a2 (m2+b2 ) m2b2-a2b2k2
所以x x +y y = + =0，
1 2 1 2 b2-a2k2 b2-a2k2
m2 a2b2
整理得 = ，
k2+1 b2-a2
|m| ab
即由O(0，0)到直线AB：y=kx+m的距离d= = ；
√1+k2 √b2-a2
当直线AB的斜率不存在时，设AB：x=n，AB与x轴交于点D，因为以AB为直径的圆过点O，则
n2 n2
OA⊥OB，即△OAB为等腰直角三角形，且∠AOD=45°，则可设A(n，n)，又点A在双曲线C上，则 -
a2 b2
ab ab
=1，解得|n|= ，即点O到直线AB的距离为 ；
√b2-a2 √b2-a2
ab
综上，点O到直线AB的距离为 .
√b2-a2
1 1
又S = |⃗OA|·|⃗OB|= |⃗AB|·d，
△ABC 2 2
即|⃗OA|·|⃗OB|=|⃗AB|·d，
而|⃗OA+⃗OB|·|⃗OF|=|⃗AB|·c，
因为|⃗OA+⃗OB|·|⃗OF|≤|⃗OA|·|⃗OB|，
ab
即c≤ ，
√b2-a2
1+√5
所以e4-3e2+1≤0 1a √2
