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专题六 微创新 圆锥曲线与其他知识的综合问题
(分值：34分)
1.(17分)在Oxy平面上，我们把与定点F (-a，0)，F (a，0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利
1 2
双纽线，F ，F 为该曲线的两个焦点.已知曲线C：(x2+y2)2=9(x2-y2)是一条伯努利双纽线.
1 2
(1)求曲线C的焦点F ，F 的坐标；(6分)
1 2
(2)判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O？如
果存在，求点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由.(11分)
2.(17分)已知双曲线C：x2-y2=1，直线l为其一条渐近线，且直线l的斜率大于0，A 为双曲线的右顶点，过
1
A 作x轴的垂线，交l于点B ，再过B 作y轴的垂线交双曲线右支于点A ，重复刚才的操作得到B ，A ，
1 1 1 2 2 3
B ，…，A ，B ，…，记A (x ，y ).
3 n n n n n
(1)求{x }的通项公式；(4分)
n
1 1 1
(2)过A作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于M，N，记a= ，b=a ，求证： + ln
i i i i |M N| i i+1 2√3 2
i i
n
2n+3 √2n+1-1
≤ Σ b< .(13分)
5 i 2
i=1答案精析
1.解 (1)设焦点F (-a，0)，F (a，0)(a>0)，
1 2
由题意得√(x-a) 2+ y2·√(x+a) 2+ y2=a2，
即[(x-a)2+y2][(x+a)2+y2]=a4，
整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2)，
又(x2+y2)2=9(x2-y2)，
3√2
则2a2=9，解得a=± ，
2
3√2
因为a>0，所以a= ，
2
( 3√2 ) (3√2 )
所以F - ，0 ，F ，0 .
1 2 2 2
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过原点O，
则OA⊥OB，
由C：(x2+y2)2=9(x2-y2)，
令x=0，(0+ y2 ) 2=9(0-y2)，
即y4+9y2=0，
解得y=0，所以直线OA，OB的斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y=k x，直线OB的方程为y=k x，
1 2
将直线OA的方程与曲线C联立，得(1+k2 )2x4=9x2(1-k2
)，
1 1
因为A，B异于坐标原点O，即x≠0，
9(1-k2
)
1
所以x2= >0，解得k ∈ (-1，1)，
(1+k2
)
2 1
1
同理可得k ∈(-1，1)，
2
所以k k =-1不成立，则假设不成立，
1 2
即曲线C上不存在两点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过原点O.
2.(1)解 双曲线C：x2-y2=1，渐近线方程为y=±x，
由已知可得y =x ，
n+1 n
又点A (x ，y
)在双曲线上，所以x2 -y2
=1，
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1即x2 -x2
=1，
n+1 n
所以{x2 }是以x2
=1为首项，公差为1的等差数列，
n 1
所以x2 =n，即x =√n.
n n
(2)证明 设A(x，y)，
i i i
有x2 -y2
=1，
i i
以A为切点的双曲线的切线，当y≠0，斜率存在时，设斜率为k，
i i
切线方程为y=k(x-x)+y，代入双曲线C，
i i
得(1-k2)x2-2k(y-kx)x-(y-kx)2-1=0，
i i i i
由Δ=0，
得y2 k2-2xyk+x2
=0，
i i i i
x
i
解得k= ，切线方程为xx-yy=1，
y i i
i
A (1，0)为切点的双曲线的切线方程x=1也满足，
1
{x x- y y=1,
i i
由
y=x,
1 1
可得x=y= =
x - y √i-√i-1
i i
=√i+√i-1，
即M(√i+√i-1，√i+√i-1)，
i
{x x- y y=1,
i i
由
y=-x,
1
可得x=-y=
x + y
i i
1
= =√i-√i-1，
√i+√i-1
即N(√i-√i-1，√i-1-√i)，所以|M N|=√(2√i-1) 2+(2√i) 2
i i i
=2√2i-1，
1 1
所以a= = ，
i |M N| 2√2i-1
i i
1
b= .
i 2√2i+1
先证右边：
1 1 1
b= = <
i 2√2i+1 √2i+1+√2i+1 √2i+1+√2i-1√2i+1-√2i-1
= ，
2
n
1 1 √3-1 √5-√3 √2n+1-√2n-1 √2n+1-1
所以 ∑ b= +…+ < + +…+ = ，
i 2√3 2√2n+1 2 2 2 2
i=1
右边得证.
再证左边：
先证当x>0时，x>ln(1+x)，
令f(x)=x-ln(x+1)(x>0)，
1 x
f'(x)=1- = >0，
x+1 x+1
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，
即当x>0时，x>ln(1+x)，
1
所以b=
i 2√2i+1
( 1 ) 2√2i+1+1
>ln 1+ =ln ，
2√2i+1 2√2i+1
当i≥2时，2√2i+1+1≥2√2i+3，
证明如下：
(2√2i+1+1)2-(2√2i+3)2
=4(2i+1)+4√2i+1+1-4(2i+3)
=4√2i+1-7≥4√5-7>0，
2√2i+1+1 2√2i+3 1 2i+3
所以ln >ln = ln ，
2√2i+1 2√2i+1 2 2i+1
所以当n≥2时，
n
1 1 1 1 1 7 1 2n+3 1 1 2n+3
∑ b= + +…+ > + ln +…+ ln = + ln ，
i 2√3 2√5 2√2n+1 2√3 2 5 2 2n+1 2√3 2 5
i=1
1
当n=1时，b = ，
1 2√3
n
1 1 2n+3
所以 ∑ b≥ + ln ，左边得证.
i 2√3 2 5
i=1
所以命题得证.
