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微创新 圆锥曲线与其他知识的综合问题
[考情分析] 高中数学中圆锥曲线问题主要包含定点、定值、最值、存在性探索问题等，这些不同类型的
问题既能体现圆锥曲线的桥梁作用，又能体现不同的数学思想和方法.与此同时，圆锥曲线的横向联系也同
样重要，与平面向量、圆、立体几何、不等式、数列、导数等不同知识内容的交汇，能够加强各个分支知
识点之间的联系，也能提高学生解决综合性数学问题的能力.
考点一 圆锥曲线与数列的交汇问题
例1 (2024·新课标全国Ⅱ)已知双曲线C：x2-y2=m(m>0)，点P (5，4)在C上，k为常数，00)，点P 为抛物线焦点.过点P 作一条斜率为正的直
1 1
线l从下至上依次交抛物线于点A 与点B ，过点B 作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于
1 1 1
P ，A .
2 2
(1)若直线A A 的斜率为k，证明：抛物线在点B 处的切线斜率为-k；
1 2 1
(2)过点A(t∈N*，t>1)作平行于A B 的直线分别交x轴和抛物线于P ，B，过点B 作直线分别交x轴和
t 1 1 2t-1 t t
抛物线于P ，A ，且∀t∈N*，直线AB 的斜率与直线A B 的斜率互为相反数.证明：数列{|⃗P P |}为
2t t+1 t t t+1 t n n+1
等差数列.
考点二 圆锥曲线与新定义的交汇问题
x2 y2 √6
例2 (2024·南通模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆Γ： + =1(a>b>0)的离心率为 ，直线l
a2 b2 3
与Γ相切，与圆O：x2+y2=3a2相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=2√6.
(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存
在，则记此最大值为d(M，N).
①若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M，
N)；
②若d(M，N)，d(N，M)均存在，记两者中的较大者为H(M，N).已知H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存
在，证明：H(X，Z)+H(Y，Z)≥H(X，Y).
[规律方法] 本题涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.
跟踪演练2 (2024·青岛模拟)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l
x2 y2
的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E： - =1(a>0，
a2 b2
b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点
1 2
P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF ⊥x轴时，直线y=1为△PF F 的等线.
2 1 2
(1)求E的方程；
(2)若y=√2x是四边形AF BF 的等线，求四边形AF BF 的面积；
1 2 1 2
1
(3)设⃗OG= ⃗OP，点G的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G处的切线n为△AF F 的等线.
3 1 2答案精析
例1 (1)解 由已知有m=52-42=9，
故C的方程为x2-y2=9.
1
当k= 时，
2
1
过P (5，4)且斜率为 的直线为
1 2
x+3
y= ，与x2-y2=9
2
(x+3) 2
联立得到x2- =9.
2
解得x=-3或x=5，
所以该直线与C的不同于P 的交点为Q (-3，0)，该点显然在C的左支上.故P (3，0)，从而x =3，y =0.
1 1 2 2 2
(2)证明 方法一 由于过P (x ，y )且斜率为k的直线为y=k(x-x )+y ，与x2-y2=9联立，
n n n n n
得到方程x2-[k(x-x )+y ]2=9.
n n
展开得(1-k2)x2-2k(y -kx )x-(y -kx )2-9=0，
n n n n
由于P (x ，y )已经是直线y=k(x-x )+y 和x2-y2=9的公共点，
n n n n n
故方程必有一根x=x .
n
从而根据根与系数的关系，
2k(y -kx )
n n
另一根x= -x
1-k2 n
2k y -x -k2x
= n n n ，
1-k2
y +k2y -2kx
相应的y=k(x-x )+y = n n n.
n n 1-k2
所以该直线与C的不同于P 的交点为
n
(2k y -x -k2x y +k2y -2kx )
Q n n n， n n n ，
n 1-k2 1-k2-(y -kx ) 2-9
n n
而注意到Q 的横坐标亦可通过根与系数的关系表示为 ，
n (1-k2 )x
n
故Q 一定在C的左支上.
n
所以
(x +k2x -2k y y +k2y -2kx )
P n n n， n n n .
n+1 1-k2 1-k2
x +k2x -2k y
这就得到x = n n n ，
n+1 1-k2
y +k2y -2kx
y = n n n.
n+1 1-k2
x +k2x -2k y
所以x -y = n n n
n+1 n+1 1-k2
y +k2y -2kx
- n n n
1-k2
x +k2x +2kx y +k2y +2k y
= n n n- n n n
1-k2 1-k2
1+k2+2k
= (x -y )
1-k2 n n
1+k
= (x -y ).
1-k n n
再由x2 -y2
=9，
1 1
就知道x -y ≠0，
1 1
1+k
所以数列{x -y }是公比为 的等比数列.
n n 1-k
方法二 因为点P (x ，y )关于y轴的对称点是Q (-x ，y )，
n n n n-1 n n
点P (x ，y )，Q 在同一条斜率为k的直线上，
n-1 n-1 n-1 n-1
所以x ≠-x ，
n-1 n
y - y
n n-1
并且 =k. ①
-x -x
n n-1
因为点P ，Q 都在双曲线C上，
n-1 n-1
{ x2- y2=9,
n n
所以
x2 - y2 =9,
n-1 n-1
两式相减得(x -x )(x +x )
n n-1 n n-1
=(y -y )(y +y ). ②
n n-1 n n-1
由①，②得{y - y =-k(x +x ), ③
n n-1 n n-1
x -x =-k(y + y ). ④
n n-1 n n-1
④-③得(x -y )-(x -y )
n n n-1 n-1
=k(x -y )+k(x -y )，
n n n-1 n-1
x - y 1+k
n n
整理得 = .
x - y 1-k
n-1 n-1
又x -y =1，
1 1
1+k
所以{x -y }是公比为 的等比数列.
n n 1-k
(3)证明 方法一 先证明一个结论：对平面上三个点U，V，W，
若⃗UV=(a，b)，⃗UW=(c，d)，
1
则S = |ad-bc|(若U，V，W在同一条直线上，约定S =0).
△UVW 2 △UVW
证明：S
△UVW
1
= |⃗UV|·|⃗UW|sin〈⃗UV，⃗UW〉
2
1
= |⃗UV|·|⃗UW|√1-cos2〈⃗UV，⃗UW〉
2
= 1 |⃗UV|·|⃗UW| √ 1- ( ⃗UV ·⃗UW ) 2
2 |⃗UV|·|⃗UW|
= 1√|⃗UV| 2 ·|⃗UW| 2 -(⃗UV ·⃗UW) 2
2
1
= √(a2+b2 )(c2+d2 )-(ac+bd) 2
2
1
=
√a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd
2
1
=
√a2d2+b2c2-2abcd
2
1
= √(ad-bc) 2
2
1
= |ad-bc|.
2
证毕，回到原题.
由(2)可知
x +k2x -2k y
x = n n n ，
n+1 1-k2y +k2y -2kx
y = n n n ，
n+1 1-k2
故x +y
n+1 n+1
x +k2x -2k y y +k2y -2kx
= n n n+ n n n
1-k2 1-k2
1+k2-2k
= (x +y )
1-k2 n n
1-k
= (x +y ).
1+k n n
再由x2 -y2
=9，
1 1
可知x +y ≠0，
1 1
1-k
所以数列{x + y }是公比为 的等比数列.
n n 1+k
所以对任意的正整数m，都有
x y -y x
n n+m n n+m
1
= [(x x -y y )+(x y -y x )]
2 n n+m n n+m n n+m n n+m
1
- [(x x -y y )-(x y -y x )]
2 n n+m n n+m n n+m n n+m
1
= (x -y )(x +y )-
2 n n n+m n+m
1
(x +y )(x -y )
2 n n n+m n+m
1(1-k) m 1(1+k) m
= (x -y )(x +y )- (x +y )(x -y )
2 1+k n n n n 2 1-k n n n n
=
1[ (1-k) m
-
(1+k) m]
(x2 -y2)
2 1+k 1-k n n
9[ (1-k) m (1+k) m]
= - .
2 1+k 1-k
而又有⃗P P =(-(x -x )，-(y -y ))，
n+1 n n+1 n n+1 n
⃗P P =(x -x ，y -y )，
n+1 n+2 n+2 n+1 n+2 n+1
故利用前面已经证明的结论即得
1
S =S = |-(x -x )(y -y )+(y -y )(x -x )|
n △P n P n+1 P n+2 2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1
1
= |(x -x )(y -y )
2 n+1 n n+2 n+1
-(y -y )(x -x )|
n+1 n n+2 n+11
= |(x y -y x )+
2 n+1 n+2 n+1 n+2
(x y -y x )-(x y -y x )|
n n+1 n n+1 n n+2 n n+2
1|9(1-k 1+k) 9(1-k 1+k)
= - + -
2 2 1+k 1-k 2 1+k 1-k
9[ (1-k) 2 (1+k) 2]|
- - .
2 1+k 1-k
这就表明S 的取值是与n无关的定值，所以S =S .
n n n+1
方法二 由(2)可知
x +k2x -2k y
x = n n n ，
n+1 1-k2
y +k2y -2kx
y = n n n，
n+1 1-k2
x +k2x -2k y y +k2y -2kx
故x +y = n n n+ n n n
n+1 n+1 1-k2 1-k2
1+k2-2k
= (x +y )
1-k2 n n
1-k
= (x +y ).
1+k n n
再由x2 -y2 =9，可知x +y ≠0，
1 1 1 1
1-k
所以数列{x + y }是公比为 的等比数列.
n n 1+k
所以对任意的正整数m，都有
x y -y x
n n+m n n+m
1
= [(x x -y y )+(x y -y x )]
2 n n+m n n+m n n+m n n+m
1
- [(x x -y y )-(x y -y x )]
2 n n+m n n+m n n+m n n+m
1 1
= (x -y )(x +y )- (x +y )(x -y )
2 n n n+m n+m 2 n n n+m n+m
1(1-k) m
= (x -y )(x +y )
2 1+k n n n n
1(1+k) m
- (x +y )(x -y )
2 1-k n n n n
=
1[ (1-k) m
-
(1+k) m]
(x2 -y2)
2 1+k 1-k n n9[ (1-k) m (1+k) m]
= - .
2 1+k 1-k
这就得到
x y -y x
n+2 n+3 n+2 n+3
9(1-k 1+k)
= -
2 1+k 1-k
=x y -y x ，
n n+1 n n+1
以及x y -y x
n+1 n+3 n+1 n+3
9[ (1-k) 2 (1+k) 2]
= -
2 1+k 1-k
=x y -y x .
n n+2 n n+2
两式相减，
得(x y -y x )
n+2 n+3 n+2 n+3
-(x y -y x )
n+1 n+3 n+1 n+3
=(x y -y x )-(x y -y x ).
n n+1 n n+1 n n+2 n n+2
移项得到
x y -y x -x y +y x
n+2 n+3 n n+2 n+1 n+3 n n+1
=y x -x y -y x +x y .
n+2 n+3 n n+2 n+1 n+3 n n+1
故(y -y )(x -x )
n+3 n n+2 n+1
=(y -y )(x -x ).
n+2 n+1 n+3 n
而⃗P P =(x -x ，y -y )，
n n+3 n+3 n n+3 n
⃗P P =(x -x ，y -y ).
n+1 n+2 n+2 n+1 n+2 n+1
所以⃗P P 和⃗P P 平行，
n n+3 n+1 n+2
这就得到
S =S ，
△P P P △P P P
n n+1 n+2 n+1 n+2 n+3
即S =S .
n n+1
跟踪演练1 证明 (1)设A (x ，y )，B (x ，y )，A (x ，y )，
1 1 1 1 2 2 2 3 3
y - y
y - y 1 2
则k = 1 2 = y2 y2
A 1 B 1 x -x 1 - 2
1 2
2p 2p
2p
= ，
y + y
1 2
2p
同理k = ，
A 2 B 1 y + y
2 32p
k = =k.
A 1 A 2 y + y
1 3
因为k =-k ，
A B A B
2 1 1 1
2p 2p
即 =- ，
y + y y + y
2 3 1 2
所以y +y =-2y ，
1 3 2
2p p
则k = =- =k.
A 1 A 2 -2y y
2 2
当y>0时，y=√2px，
√ p
所以y'= ，
2x
√ p
√ p p
所以抛物线y2=2px (p>0)在点B (x ，y )(y >0)处的切线斜率为 = y2 = =-k，得证.
1 2 2 2 2x 2 2· 2 y 2
2p
(
a2
) (
b2
)
(2)设A t ，a ，B t ，b ，t∈N*，
t 2p t t 2p t
b -a ( a2 )
t t x- t 2p ( a2 )
故直线AB：y=b2-a2 2p +a= x- t +a，
t t t t t b +a 2p t
t t
2p
a b
令y=0，则x=- t t ，
2p
( a b )
故P - t t，0 ，
2t-1 2p
( a b )
同理P - t+1 t，0 .
2t 2p
当n=2t时，
|P P |=x -x ，
n n+1 P P
n+1 n
|P P |=x -x ，
n-1 n P P
n n-1
故|P P |-|P P |
n n+1 n-1 n
=x +x -2x
P P P
n+1 n-1 n
=x +x -2x
P P P
2t+1 2t-1 2t
-a b -a b +2a b
= t+1 t+1 t t t+1 t
2p
a (b -b )+b (a -a )
= t+1 t t+1 t t+1 t ，
2p
当n=2t-1(t≥2且t∈N*)时，同理有|P P |-|P P |
n n+1 n-1 n
b (a -a )+a (b -b )
= t t t+1 t t t-1 ，
2p
因为k =-k =k ，
A B A B A B
t t-1 t t t+1 t
b -a b -a b -a
t-1 t t t t t+1
故b2 -a2=-b2-a2=b2-a2 ，
t-1 t t t t t+1
2p 2p 2p
整理得到b +a=-(b+a)
t-1 t t t
=b+a ，
t t+1
因此b +b=-2a，
t-1 t t
a +a=-2b，
t+1 t t
由b +b=-2a
t-1 t t
可得b+b =-2a ，
t t+1 t+1
故b +2b+b =-2(a+a )=4b，
t+1 t t-1 t t+1 t
因此b +b =2b，
t+1 t-1 t
即{b}为等差数列，设其公差为d.
t
而b-b =-(a -a)，
t t-1 t+1 t
故a -a=-d，
t+1 t
其中t≥2且t∈N*.
2p ( a2 ) (p )
又直线A B ：y= x- 1 +a ，因为该直线过 ，0 ，
1 1 a +b 2p 1 2
1 1
2p (p
a2
)
故0= - 1 +a ，
a +b 2 2p 1
1 1
p2
解得b =- ，
1 a
1
2p2
故a =-2b -a = -a ，
2 1 1 a 1
1
-4 p2 p2 3p2
所以b =-2a -b = +2a + =2a - ，
2 2 1 a 1 a 1 a
1 1 1
2p2
故a -a = -a -a
2 1 a 1 1
1
2p2
= -2a ，
a 1
1
3p2 p2
而b -b =2a - +
2 1 1 a a
1 12p2
=2a - =d，
1 a
1
故a -a =-d，所以{a}为等差数列，其公差为-d.
2 1 t
故a=a -(t-1)d，
t 1
b=b +(t-1)d，
t 1
故当n=2t时，
|P P |-|P P |
n n+1 n-1 n
-da -b d
= t+1 t
2p
-d(b +a )
= t t+1
2p
-d[b +(t-1)d+a -td]
= 1 1
2p
-d(b -d+a )
= 1 1 ，
2p
该数为常数.
当n=2t-1(t≥2且t∈N*)时，
|P P |-|P P |
n n+1 n-1 n
b d+a d
= t t
2p
d[b +(t-1)d+a -(t-1)d]
= 1 1
2p
d(b +a )
= 1 1 ，
2p
该数为常数，
而a +b +a +b -d
1 1 1 1
2p2
(
2p2
)
=2a - - 2a - =0，
1 a 1 a
1 1
故a +b =-a -b +d，
1 1 1 1
-d(b -d +a ) d(b +a )
故 1 1 1 = 1 1 ，
2p 2p
故对任意的n(n≥2且n∈N*)，
|P P |-|P P |为常数，故数列{|⃗P P |}(n∈N*)为等差数列.
n n+1 n-1 n n n+1
例2 (1)解 因为当l垂直于x轴时，|AB|=2√6，而直线l：x=±a与Γ相切，则2√3a2-a2=2√6，
解得a=√3，√6
又椭圆Γ的离心率为 ，则椭圆Γ的半焦距c=√2，b=√a2-c2=1，
3
x2
所以Γ的方程为 +y2=1.
3
(2)①解 当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
{ y=kx+m,
由
x2+3 y2=3,
消去y得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
由直线l与椭圆Γ相切，得Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0，
整理得m2=3k2+1，
于是圆心O到直线l的距离
|m|
d=
√k2+1
√3k2+1
=
k2+1
√ 2
= 3- ∈[1，√3)，
k2+1
由(1)得圆O的方程为x2+y2=9，半径为3，
1 1
则△PAB的面积为S
△PAB
≤
2
(d+3)·|AB|=
2
(d+3)·2√9-d2=√(3-d)(d+3) 3，
设f(d)=(3-d)(d+3)3，
1≤d<√3，
求导得f'(d)=2(d+3)2(3-2d)，
3 3
当1≤d< 时，f'(d)>0，函数f(d)单调递增，当 7-4√3>0，
16
9√3
得 >√2+√6，
4
27√3
即 >3√2+3√6，
4
3
综上，d= .
2
对于线段AB上任意点E，连接OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点，
3 3
当E为线段AB的中点时，EF取得最大值 ，所以d(M，N)= .
2 2
②证明 因为H(X，Y)，H(Y，Z)，
H(X，Z)均存在，
设点X ，X ∈X，Y ，Y ∈Y，Z ，Z ∈Z，且H(X，Z)=|X Z |，H(Y，Z)=|Y Z |，H(X，Y)=|X Y |，
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
设点Y 是集合Y中到点X 的最近点，根据对称性，不妨设H(X，Y)=d(X，Y)=|X Y |，
2 2 2 2
令点X 到集合Z的最近点为Z ，点Z 到集合Y的最近点为Y ，
2 3 3 3
因为|X Z |是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，
1 1
则|X Z |≥|X Z |，
1 1 2 3
因为|Y Z |是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值，
1 2
则|Y Z |≥|Y Z |，
1 2 3 3
因此H(X，Z)+H(Y，Z)=|X Z |+|Y Z |≥|X Z |+|Y Z |，
1 1 1 2 2 3 3 3
而在坐标平面中，
|X Z |+|Y Z |≥|X Y |，
2 3 3 3 2 3
又点Y 是集合Y中到点X 的最近点，
2 2
则|X Y |≥|X Y |，
2 3 2 2
所以H(X，Z)+H(Y，Z)≥H(X，Y).
跟踪演练2 (1)解 因为当PF ⊥x轴时，直线y=1为△PF F 的等线，
2 1 2
( b2 ) b2 c
此时，P c， ，点P在直线y=1的上方，所以 -1=2，e= =2，c2=a2+b2，
a a a
解得a=1，b=√3，
y2
所以E的方程为x2- =1.
3
(2)解 设P(x ，y )，当m的斜率存在时，
0 0y2
设切线m：y-y =k(x-x )，代入x2- =1得(3-k2)x2+2k(kx -y )x-(k2x2 +y2 -2kx y +3)=0，
0 0 3 0 0 0 0 0 0
故Δ=[2k(kx -y
)]2+4(3-k2)·(k2x2 +y2
-2kx y +3)=0，
0 0 0 0 0 0
化简得(x2 -1)k2-2x y k+y2 +3=0，
0 0 0 0
该式可以看作关于k的一元二次方程，
Δ =4x2 y2-4(x2-1)(y2+3)=0，
1 0 0 0 0
x y
x y 0 0 3x
所以k= 0 0 =( y2 ) = 0 ，
x2-1 1+ 0 -1 y
0 3 0
y y
即m的方程为x x- 0 =1， (*)
0 3
当m的斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为y=±√3x，不妨设A在B上方，
1 1
联立得x = y ，x = y ，
A x - 0 B x + 0
0 √3 0 √3
1 1
故x +x = y + y
A B x - 0 x + 0
0 √3 0 √3
=2x ，
0
所以P是线段AB的中点，
因为F ，F 到过O的直线距离相等，
1 2
则过O点的等线必定满足A，B到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点P，即为直线OP，
即OP的方程为y=√2x，
又P在E的右支上，
{y =√2x ,
0 0 {x =√3,
由 y2 解得 0
x2- 0=1, y =√6,
0 3 0
故P(√3，√6).
√3
所以y =√3x = y
A A x - 0
0 √3
3
= =√6+3，
√3x - y
0 0√3
所以y =-√3x =- y
B B x + 0
0 √3
-3
= =√6-3，
√3x + y
0 0
所以|y - y |=6，
A B
1
所以S = |F F |·|y -y |
四边形AF 1 BF 2 2 1 2 A B
=2|y - y |=12.
A B
1
(3)证明 设G(x，y)，由⃗OG= ⃗OP，
3
所以x =3x，y =3y，
0 0
又点P在双曲线E上，故曲线Γ的方程为9x2-3y2=1(x>0)，
由(*)知切线n的方程为
9x 3 y y
0x- 0 =1，
3 3
即3x x-y y-1=0.
0 0
易知A与F 在n的右侧，F 在n的左侧，分别记F ，F ，A到n的距离为d ，d ，d ，
2 1 1 2 1 2 3
1
由(2)知x = y ，
A x - 0
0 √3
1 √3
y =√3· y = y ，
A x - 0 x - 0
0 √3 0 √3
| 3x √3 y |
0 - 0 -1
y y
所以d = x - 0 x - 0
3 0 √3 0 √3
√9x2+ y2
0 0
y
| |
3x -√3 y -x + 0
0 0 0 √3
= y
x - 0
0 √3
√9x2+ y2
0 02y
| |
2x - 0
0 √3
2
= y = ，
x - 0 √9x2+ y2
0 √3 0 0
√9x2+ y2
0 0
由x ≥1得
0
|-6x -1| 6x +1
0 0
d = = ，
1 √9x2+ y2 √9x2+ y2
0 0 0 0
|6x -1| 6x -1
0 0
d = = ，
2 √9x2+ y2 √9x2+ y2
0 0 0 0
6x -1 2 6x +1
0 0
因为d +d = + = =d ，
2 3 √9x2+ y2 √9x2+ y2 √9x2+ y2 1
0 0 0 0 0 0
所以直线n为△AF F 的等线.
1 2
