文档内容
4.5 相似三角形的判定定理证明教学设计
课题 4.5相似三角形的判定定理 单元 4 学科 数学 年级 九
证明
本节课的内容是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三
角形的有关知识。本节课从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入
教 材
手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题 1的正确性，从而学会证明的方法，
分析
为后续证明判定定理2，3打下基础，感受转化的数学思想方法，感悟定理证明的完备性。
以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角
形的判定方法，培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中
核 心
的价值，掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
素养
1、理解并掌握相似三角形判定定理的证明；
2、能运用相似三角形的判定定理解决相关问题.
学习
目标
重点 相似三角形判定定理的证明
难点 学会合理添加辅助线教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.判定两个三角形相似的方法有哪些？ 复习证明相似三
2.你能对它们进行证明吗？ 学生思考，回 角 形 的 判 定 定
答问题 理，为后面的证
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍
明做好铺垫。
候我们将对它们进行证明．
讲授新课 1.定理 两角分别相等的两个三角形相似
已 知 : 如 图 在 △ ABC 和 △ AB'C' 中 ，
∠A=∠A',∠B=∠B'.
求证:△ABC△A'B'C'. 利用学生感兴趣
的动画演示开始
本节课的学习和
动画演示，学 探讨，更有助于
生试着解答 培养学生的学习
兴趣，激发学生
证明:在△ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取 的求知欲，让学
AD=A'B',过点D作DE∥BC交AC于点E,
生在不知不觉中
感受学习数学的
乐趣。
AD AE
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C, = .
AB AC
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则
AD CF
= .
AB CB
AE CF
∴ =
AC CB
∵DE//BC, DF//AC,∴四边形 DFCE 是平行四边
形，
∴DF=CF.
AE DE
∴ =
AC CB
AD AE DE
∴ = =
AB AC CB
而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B', AD= A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
归纳总结：证明三角形相似的判定定理,关键是利
用转化的数学思想,结合平行线分线段成比例,通过
作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角
形中，然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理. 引导学生通过自
2.定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相 主探究、合作交
似.
学生交流汇报 流，进一步熟悉
已知:如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A',
之后，教师总 证明文字命题的
AB AC
= ，求证: ∆ ABC∽△A'B'C'.
A'B' A'C' 结.. 基本步骤:画图
已知、求证、证
明过程.同时通
过分析问题,提
高学生交流的能
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D， 力和语言表达能
使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于
力！
点E.
∵DE∥B′C′,
∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
A'D A'E
∴ = 在学生已有的知
A'B' A'C'
识背景和活动经
AB AC
∵ A′ D=AB ， = ∴ 验的基础上，为
A'B' A'C'
A'D A'E AC 学生提供了操
= =
A'B' A'C' A'C' 作、思考与交流
∴A′E=AC. 又∠A′=∠A.
学生解答，老 的机会，让学生
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC. 师指导订正 在合作交流中体
验成功与快乐。
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已 知 ： 如 图 ， 在 △ ABC 和 △ A'B'C' 中 ，
AB BC AC
= =
A'B' B'C' A'C'
求证：△ABC ∽△A'B'C' .
由于学生已经有
证 明 : 在 线 段 AB ( 或 延 长 线 ) 上 截 取
AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 了定理2证明的
E.
基本方法和思
路,因此,定理3
证明起来应该很
顺利,可以大胆
放手给学生,这
样更能激发学生
∵ DE∥BC ， 学生思考、交
∴ △ADE∽△ABC. 流、讨论、解 的求知欲望,让
AD DE AE
∴ = = 决问题. 学生在不知不觉
AB BC ACA'B' B'C' A'C' 中感受学习数学
又 = = ，AD=A′B′，
AB BC AC 的乐趣和成功的
DE B'C' AE A'C'
∴ = ， = . 喜悦.
BC BC AC AC
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过
程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过
程的不同点是什么？
定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础
上证明的，简单一些．
典例精析
例、如图，正方形ABCD中，M为AB上一点，N
为BC上一点，且BM=BN,BP⊥MC于点P.求证：
∆PCD∽∆PBN
教师通过例题，
学生独立完成 提升学生综合运
用知识和说理分
析的能力
证 明 ： 在 正 方 形 ABCD
中,BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°，BP⊥MC
∴∠BPC=∠MPB=90°,∠PBC=∠ PMC.
∴△BPM∽△CPB.
BP CP
∴ = .
BM CB
BP CP
又BM=BN,CB=CD，∴ = .
BN CD
又∵∠PBC+∠PCB=∠PCD+∠PCB =90°
∴∠PBC=∠PCD.
∴△PBN∽△PCD.
课堂练习 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边
上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为(
)
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9通过课堂练习及
时巩固本节课所
自主完成练 学内容，并考查
习，然后集体 学生的知识应用
2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为 交流评价. 能力，培养独立
OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC 完成练习的习惯.
＝( )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
．如图，在△ 中，∠ ＝ ，∠ ＝ ，
是 上一点， ⊥ 于 ，且 ＝ ， ＝ ，
3 ABC C 90° B 60°D
则 的长为 ．
AC DE AB E CD 2DE 1
BC _______
．△ 中， ， ，点 在 上且
，若要在 上找一个点 ，使△ 与
4 ABC AB=10 AC=6 D AC
△ 相似，则 ．
AD=3 AB E ADE
．如图，在正方形 中， 为 上一点，
ABC AE= _ _
是 的中点， ⊥ ，垂足为 ，交 的延长
5 ABCD M BC F
线于点 ，交 于点
AM EF AM F AD
求证：△ ∽△ ；
E DC N.
若 ＝ ， ＝ ，求 的长．
(1) ABM EFA
(2) AB 12 BM 5 DE
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？ 学生总结，分 鼓励学生结合本享收获 节 课 的 学 习 过
程，自觉总结，
并自觉地应用到
现实之中，逐步
形成正确的数学
观，培养学生的
审美意识。
板书 课题：4.5相似三角形判定定理证明
一、 定理1
二、 定理2
三、 定理3
