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微拓展 1 圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
[考情分析] 在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往
1 1
往能够利用韦达定理来快速处理|x -x
|，x2 +x2，
+ 之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及
1 2 1 2 x x
1 2
x 3x x +2x -x
x ，x 的不同系数的代数式的运算，比如
1， 1 2 1 2
或λx +μx 之类的结构，我们把这种系数不对
1 2 x 2x x -x +x 1 2
2 1 2 1 2
等的结构，称为“非对称韦达结构”.
考点一 分式型
√5
例1 (2024·柳州模拟)已知M是一个动点，MM 与直线y= x垂直，垂足M 位于第一象限，MM 与直
1 2 1 2
√5 20
线y=- x垂直，垂足M 位于第四象限，且⃗M M ·⃗M M = .
2 2 1 2 81
(1)求动点M的轨迹方程E；
(2)设A (-2，0)，A (2，0)，过点(3，0)的直线l与曲线E交于A，B两点(点A在x轴上方)，P为直线
1 2
5√10
A A，A B的交点，当点P的纵坐标为 时，求直线l的方程.
1 2 6
√5
解 (1)设M(x，y)，直线y= x的倾斜角为θ，
2
√5
则tan θ= ，
2
2tanθ
tan∠M OM =tan 2θ= =-4√5<0，∠M OM 为钝角，
1 2 1-tan2θ 1 2
1
所以cos∠M OM =- ，
1 2 9
cos∠M MM =cos(π-∠M OM )
1 2 1 2
1
=-cos∠M OM = ，
1 2 9
|√5 |
x- y
2 |√5x-2y|
|⃗M M |= = ，
1 √ (√5) 2 3
1+
2
|√5 |
x+ y
2 |√5x+2y|
|⃗M M |= = ，
2 √ (√5) 2 3
1+
2|√5x-2y||√5x+2y| 1 20
所以⃗M M ·⃗M M = · × = ，
1 2 3 3 9 81
由于M 位于第一象限，M 位于第四象限，
1 2
x2 y2
所以M的轨迹方程E： - =1(x≥2).
4 5
(2)设l：x=my+3，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
{x=my+3,
联立
x2 y2
- =1,
4 5
化简得(5m2-4)y2+30my+25=0，
5m2-4≠0，
则Δ=900m2-100(5m2-4)>0，
-30m 25
y +y = ，y y = ，
1 2 5m2-4 1 2 5m2-4
y
1
直线AA ：y= (x+2)，
1 x +2
1
y
2
直线BA ：y= (x-2)，
2 x -2
2
联立直线AA 与直线BA 的方程可得
1 2
x+2 y (x +2)
2 1
=
x-2 y (x -2)
1 2
y (my +5) m y y +5 y
2 1 1 2 2
= = .
y (my +1) m y y + y
1 2 1 2 1
方法一 (和积转化)
5
因为my y =- (y +y )，
1 2 6 1 2
5
- (y + y )+5 y
m y y +5 y 6 1 2 2
1 2 2
所以 = =-5.
m y y + y 5
1 2 1 - (y + y )+ y
6 1 2 1
方法二 (配凑)5
因为my y =- (y +y )，
1 2 6 1 2
m y y +5 y m y y +5 y +5 y -5 y
1 2 2 1 2 1 2 1
所以 =
m y y + y m y y + y
1 2 1 1 2 1
m y y +5(y + y )-5 y
1 2 1 2 1
=
m y y + y
1 2 1
m y y -6m y y -5 y
1 2 1 2 1
= =-5.
m y y + y
1 2 1
x+2 4
由 =-5，可得x= ，
x-2 3
(4 5√10)
故点P ， ，
3 6
5√10
6 √10
直线AA 的斜率为 = ，
1 4 4
+2
3
{ y=
√10
(x+2),
4
联立
x2 y2
- =1,
4 5
消去x化简得y2-2√10y=0，
解得y =2√10，x =6，故A(6，2√10)，
1 1
6-3 3 3√10
则m= = = ，
2√10 2√10 20
3√10
故直线l的方程为x= y+3，
20
即2√10x-3y-6√10=0.
[规律方法] 非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义
等方法，将其转化为对称结构计算.
x2 y2
跟踪演练1 (2024·湛江模拟)双曲线C： - =1(a>0，b>0)上一点D(6，√3)到左、右焦点的距离之差
a2 b2
为6.
(1)求双曲线C的方程；(2)已知A(-3，0)，B(3，0)，过点(5，0)的直线l与C交于M，N(异于A，B)两点，直线MA与NB交于
点P，试问点P到直线x=-2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
2a=6,
{
解 (1)依题意可得 62 (√3) 2
- =1,
a2 b2
{a=3,
解得
b=1,
x2
故双曲线C的方程为 -y2=1.
9
(2)由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+5，
{x=my+5,
联立
x2
- y2=1,
9
消去x，得(m2-9)y2+10my+16=0，
则m2-9≠0，Δ=(10m)2-4×16(m2-9)=36(m2+16)>0，
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
-10m 16
则y +y = ，y y = ，
1 2 m2-9 1 2 m2-9
又A(-3，0)，B(3，0)，
y
1
直线AM：y= (x+3)，
x +3
1
y
2
直线BN：y= (x-3)，
x -3
2
y
{ y= 1 (x+3),
x +3
1
联立
y
y= 2 (x-3),
x -3
2
x+3 y (x +3) y (my +8)
2 1 2 1
两式相除，得 = =
x-3 y (x -3) y (my +2)
1 2 1 2
m y y +8 y
1 2 2
=
m y y +2y
1 2 1
m y y +8(y + y )-8 y
1 2 1 2 1
=
m y y +2y
1 2 116m 80m
- -8 y
m2-9 m2-9 1
=
16m
+2y
m2-9 1
64m
- -8 y
m2-9 1
= =-4，
16m
+2y
m2-9 1
x+3 9
即 =-4，解得x= ，
x-3 5
9
所以点P在定直线x= 上，
5
9 9 19
因为直线x= 与直线x=-2之间的距离为 +2= ，
5 5 5
19
所以点P到直线x=-2的距离为定值，且定值为 .
5
考点二 比值型
y2 x2 √3
例2 在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，且点P
a2 b2 3
(√3，√2)在C上.
(1)求C的方程；
(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且⃗AF=7⃗BF，求l的斜率.
a √3 a
解 (1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y=± x，所以 = ，
b 3 b
可得b2=3a2，
2 3
将点P(√3，√2)代入双曲线C的方程可得 - =1，
a2 b2
解得a2=1，b2=3，
x2
所以双曲线C的方程为y2- =1.
3
(2)由(1)可知，上焦点F(0，2)，
设直线l的斜率为k，A(x ，y )，B(x ，y )，则直线l的方程为y=kx+2，
1 1 2 2
{
x2
y2- =1,
联立 3
y=kx+2,
整理得(3k2-1)x2+12kx+9=0，
则3k2-1≠0，Δ>0，12k 9
所以x +x =- ，x x = ，
1 2 3k2-1 1 2 3k2-1
又⃗AF=7⃗BF，
即(-x ，2-y )=7(-x ，2-y )，
1 1 2 2
可得x =7x ，
1 2
方法一 (倒数相加法)
x
1
因为 =7，
x
2
x x (x +x ) 2 50
1 2 1 2
所以 + = -2= ，
x x x x 7
2 1 1 2
( 12k ) 2
-
3k2-1 50
即 -2= ，
9 7
3k2-1
2√5
解得k=± ，
5
2√5
所以直线l的斜率为± .
5
方法二 (消元法)
12k
{x +x =8x =- ,
1 2 2 3k2-1
9
x x =7x2= ,
1 2 2 3k2-1
[ 3k ] 2 9
-
即 = ，
2(3k2-1) 7(3k2-1)
2√5
解得k=± ，
5
2√5
所以直线l的斜率为± .
5
|λ-1|
方法三 利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：|esin α|= .
λ+1
由题意得⃗AF=-7⃗FB，则λ=-7，
因为e=2，α为直线l的倾斜角，
4 2
则有|2sin α|= ，解得|sin α|= ，
3 3
2√5
则k=tan α=± .
5[规律方法] 比值型问题适用于x =λx 型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是
1 2
x -1
1
x =λx +k的形式，此时采用待定系数法，例如x =-3x +4，可以转化x -1=-3(x -1)，得到 =-3，继续采用
1 2 1 2 1 2 x -1
2
倒数相加解决.
x2 y2
跟踪演练2 (2024·济南模拟)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，椭圆E的离心
a2 b2 1 2
1
率为 ，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
2
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过右焦点F 的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，AB∥CF ，求直线l的方程.
2 1
解 (1)设焦距为2c，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点P(x ，y )(a≥x ≥0)，
0 0 0
√ b2
易知F (c，0)，则|PF |=√(x -c) 2+ y2= (x -c) 2+b2- x2
2 2 0 0 0 a2 0
= √ (c x ) 2 -2cx +a2
a 0 0
|c | c
= x -a =a- x ，
a 0 a 0
显然当x =a时，|PF | =a-c，
0 2min
c 1
{ = , {a=2,
a 2
由题意得 解得
c=1,
a-c=1,
b=√3,
a2=b2+c2,
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1.
4 3
(2)设C(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
因为AB∥CF ，|F F |∶|F A|=2∶1，
1 1 2 2
所以y =-2y ，
1 2
设直线l的方程为x=my+1，
{x2 y2
+ =1,
联立 4 3
x=my+1,
整理得(3m2+4)y2+6my-9=0，6m
{y + y =- ,
1 2 3m2+4
由韦达定理得
9
y y =- ,
1 2 3m2+4
y
1
方法一 因为 =-2，
y
2
y y (y + y ) 2 5
1 2 1 2
所以 + = -2=- ，
y y y y 2
2 1 1 2
( 6m ) 2
-
3m2+4 5 2√5
即 -2=- ，解得m=± .
9 2 5
-
3m2+4
6m
{- y =- ,
2 3m2+4
方法二 把y =-2y 代入得
1 2 9
-2y2=- ,
2 3m2+4
36m2 9
得y2
= = ，
2 (3m2+4) 2 2(3m2+4)
2√5
解得m=± ，
5
2√5 2√5
所以直线l的方程为x+ y-1=0或x- y-1=0.
5 5
1.已知圆C：(x+1)2+y2=8，圆心C(-1，0)，定点A(1，0)，M为圆上动点，点P在AM上，点N在CM上，
且满足⃗AM=2⃗AP，⃗NP·⃗AM=0，点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G，H(点G在点F，H之间)，且满足⃗FG=λ⃗FH，求λ的取
值范围.
解 (1)∵⃗AM=2⃗AP，⃗NP·⃗AM=0.
∴|NA|=|NM|.
又∵|CN|+|NM|=2√2，∴|CN|+|AN|=2√2>2=|AC|，
∴动点N的轨迹是以点C(-1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a=2√2，焦距2c=2，即a=√2，
c=1，则b2=1.
x2
∴曲线E的方程为 +y2=1.
2
(2)当直线GH斜率存在时，设直线GH的方程为y=kx+2，k≠0，x2
代入椭圆方程 +y2=1，
2
得
(1 +k2)
x2+4kx+3=0，
2
3
由Δ>0得k2> .
2
设G(x ，y )，H(x ，y )，
1 1 2 2
-4k
-8k
则x +x =1 = ， ①
1 2 +k2 1+2k2
2
3
6
x x =1 = ， ②
1 2 +k2 1+2k2
2
∵⃗FG=λ⃗FH，∴(x ，y -2)=λ(x ，y -2)，
1 1 2 2
x
1
∴x =λx ，∴λ= ，
1 2 x
2
32
①2 1 32k2
得，λ+ +2= = ( 1 ).
② λ 3(1+2k2 ) 3 +2
k2
3
∵k2> ，
2
32
16
∴4< ( 1 )< ，
3 +2 3
k2
1 16
∴4<λ+ +2< ，
λ 3
1
解得 <λ<3且λ≠1，
3
∵点G在点F，H之间，
1
∴0<λ<1，∴ <λ<1；
3
1 1
当直线HG斜率不存在时，直线方程为x=0，⃗FG= ⃗FH，λ= .
3 3
1 [1 )
综上， ≤λ<1，λ的取值范围为 ，1 .
3 3
2.(2024·河南洛平许济四市质检)已知点A(-√3，0)，B(√3，0)，动点V满足直线VA与直线VB的斜率之积
1
为 ，动点V的轨迹为曲线C.
3
(1)求曲线C的方程；(2)直线l与曲线C交于P，Q两点，且BP⊥BQ，BM⊥PQ交PQ于点M，求定点N的坐标，使|MN|为定值；
(3)过(2)中的点N作直线交曲线C于G，H两点，且两点均在y轴的右侧，直线AG，BH的斜率分别为k ，
1
k
k ，求 1的值.
2 k
2
解 (1)设V(x，y)，
1
因为点A(-√3，0)，B(√3，0)，且动点V满足直线VA与直线VB的斜率之积为 ，
3
y y 1
可得 · = ，
x+√3 x-√3 3
x2
整理得 -y2=1，其中y≠0.
3
x2
所以曲线C的方程为 -y2=1(y≠0).
3
(2)①当直线PQ斜率存在时，设l的方程为y=kx+t，设P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2
{x2
- y2=1,
联立 3
y=kx+t,
整理得(3k2-1)x2+6ktx+3(t2+1)=0，
则3k2-1≠0，
Δ=(6kt)2-4(3t2+3)(3k2-1)>0，
即3k2-t2-1<0，
6kt 3t2+3
且x +x =- ，x x = ，
1 2 3k2-1 1 2 3k2-1
所以y y =(kx +t)(kx +t)=k2x x +kt(x +x )+t2，
1 2 1 2 1 2 1 2
因为⃗BP·⃗BQ=(x -√3)(x -√3)+y y =0，
1 2 1 2
所以(k2+1)·x x +(kt-√3)·(x +x )+t2+3=0，
1 2 1 2
3t2+3 -6kt
所以(k2+1)· +(kt-√3)· +t2+3=0，
3k2-1 3k2-1
化简得t2+3√3kt+6k2=0，即(t+√3k)(t+2√3k)=0，
所以t =-√3k，t =-2√3k，且均满足3k2-t2-1<0，
1 2
当t =-√3k时，直线PQ的方程为y=k(x-√3)，直线过定点(√3，0)，与已知矛盾，
1
当t =-2√3k时，直线PQ的方程为y=k(x-2√3)，过定点(2√3，0)，记为点D.
2
②当直线PQ的斜率不存在时，由对称性不妨设直线BP：y=x-√3，
{x2
- y2=1,
联立方程组 3
y=x-√3,解得x =x =2√3，此时直线PQ也过点D(2√3，0)，
P Q
综上，直线PQ过定点D(2√3，0).
又由BM⊥PQ，所以点M在以BD为直径的圆上，
1
故当N为该圆圆心，即点N为BD的中点时，|MN|为该圆半径，即|MN|= |BD|，
2
(3√3 ) √3
所以存在定点N ，0 ，使|MN|为定值 .
2 2
3√3
(3)设G(x ，y )，H(x ，y )，易得直线GH的斜率不为0，可设直线GH：x=ny+ ，
3 3 4 4 2
{
x2
- y2=1,
3
联立方程组
3√3
x=ny+ ,
2
15
整理得(n2-3)y2+3√3ny+ =0，
4
则n2-3≠0，
15
Δ=(3√3n)2-4(n2-3)× >0，
4
3√3n
且y +y =- ，
3 4 n2-3
15
y y = 4 ，
3 4
n2-3
5√3
则ny y =- (y +y )，
3 4 12 3 4
y
3 y ( n y + √3)
k x +√3 3 4 2
1 3
所以 = =
k 2 y 4 y ( n y + 5√3)
x -√3 4 3 2
4
√3 5√3 √3
n y y + y - (y + y )+ y
3 4 2 3 12 3 4 2 3
= =
5√3 5√3 5√3
n y y + y - (y + y )+ y
3 4 2 4 12 3 4 2 4
√3 5√3
y - y
12 3 12 4 1
= =- .
5√3 25√3 5
- y + y
12 3 12 4
