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专题三 微专题 1 等差数列、等比数列
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·全国甲卷)记S 为等差数列{a }的前n项和，已知S =S ，a =1，则a 等于( )
n n 5 10 5 1
7 7
A. B.
2 3
1 7
C.- D.-
3 11
a
2.(2024·安康模拟)已知在正项等比数列{a }中，a a =16，且a ，10， 6成等差数列，则a +a +a 等于( )
n 2 4 3 2 1 4 7
A.157 B.156
C.74 D.73
1
3.(2024·运城模拟)已知数列{a }是等差数列， a -a =2，则a +a -a 等于( )
n 2 3 5 5 10 8
A.4 B.-2
C.-4 D.-8
4.(2024·绵阳模拟)已知S 是数列{a }的前n项和，a =1，a =3，数列{a a }是公比为2的等比数列，则S 等
n n 1 2 n n+1 9
于( )
A.76 B.108
C.512 D.19 683
5.(2024·泰安模拟)在各项均为正数的等比数列{a }中，已知a >1，其前n项积为T ，且T =T ，则T 取得
n 2 n 20 10 n
最大值时，n的值为( )
A.15 B.16
C.29 D.30
1( 1 )
6.(2024·阜阳模拟)设正项数列{a }的前n项和为S ，且S = a + (n∈N*)，则( )
n n n 2 n a
n
A.{a }是等差数列 B.{S }是等差数列
n n
C.{a }是递增数列 D.{S }是递增数列
n n
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3a -1
n
7.(2024·张掖模拟)已知数列{a }满足a =2，a = ，则下列说法正确的是( )
n 1 n+1 a +1
n
5
A.a =
3 3
B.数列{a }为递减数列
n{ 1 }
C.数列 为等差数列
a -1
n
n+3
D.a =
n n+1
d S
8.(2024·合肥模拟)已知等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ， ≥2，数列{b }满足b = 2n，则下列等
n n a n n n
1
式可能成立的是( )
A.b2=b b B.2b =b +b
4 2 8 4 2 6
C.2a =a +a D.a2=a a
4 2 6 4 2 8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·新课标全国Ⅱ)记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a =7，3a +a =5，则S = .
n n 3 4 2 5 10
10.(2024·唐山模拟)如图所示的数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，
每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的
和S = .
n
四、解答题(共27分)
1
11.(13分)(2024·南通模拟)设数列{a }的前n项和为S ，若S - a =n2+1，n∈N*.
n n n 2 n
(1)求a ，a ，并证明：数列{a +a }是等差数列；(7分)
1 2 n n+1
(2)求S .(6分)
20
12.(14分)已知数列{a }满足a =1，a +a =8·3n-1.
n 1 n n+1
(1)证明：∃λ∈R，使得数列{a +λ·3n}成等比数列；(8分)
n
(2)求数列{a }的前n项和S .(6分)
n n
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)[牛顿数列]英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为x 的点处作
1
f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x ；用x 代替x 重复上面的过程得到x ；一直下去，得到的数列
2 2 1 3x +2
{x }叫做牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6，a =ln n 且a =1，x >3，数列{a }的前n项和为S ，则下列说法正
n n x -3 1 n n n
n
确的是( )
f(x )
n
A.x =x -
n+1 n f '(x )
n
B.数列{a }是递减数列
n
C.数列{a }是等比数列
n
D.S =22 025-1
2 025
14.(2024·济南模拟)已知{a }是各项均为正整数的递增数列，{a }的前n项和为S ，若S =2 024，则当n取最
n n n n
大值时，a 的最大值为( )
n
A.63 B.64
C.71 D.72答案精析
1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.D
7.BCD 8.ABC
9.95
解析 方法一 (基本量法)
设数列{a }的公差为d，
n
{ a +2d+a +3d=7,
1 1
则由题意得
3(a +d)+a +4d=5,
1 1
{a =-4,
1
解得
d=3,
10×9
则S =10a + d
10 1 2
=10×(-4)+45×3=95.
方法二 (利用下标和性质)
设数列{a }的公差为d，
n
由a +a =a +a =7，
3 4 2 5
3a +a =5，
2 5
得a =-1，a =8，
2 5
a -a
故d= 5 2=3，a =11，
5-2 6
a +a
则S = 1 10×10=5(a +a )
10 2 5 6
=5×19=95.
10.3n-2n
解析 因为每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项，以3为公比的等比数列，所以
S =30×2n-1+31×2n-2+32×2n-3+…+3n-1×20，
n
[ (2) n-1 (2) n-2 (2) n-3 (2) 0]
所以S =3n-1× + + +…+
n 3 3 3 3
(2) n
1-
3
=3n-1×
2
1-
3
[ (2) n]
=3n 1- =3n-2n.
311.解 (1)当n=1时，由条件得
1
a - a =2，所以a =4.
1 2 1 1
当n=2时，由条件得(a +a )-
1 2
1
a =5，所以a =2.
2 2 2
1
因为S - a =n2+1，
n 2 n
1
所以S - a =(n-1)2+1(n≥2)，
n-1 2 n-1
两式相减得
1 1
a - a + a =2n-1，
n 2 n 2 n-1
即a +a =4n-2，
n n-1
所以(a +a )-(a +a )
n+1 n n n-1
=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4，
从而数列{a +a }为等差数列.
n+1 n
(2)由(1)知数列{a +a }为等差数列，首项为a +a =6，公差为4，
n+1 n 1 2
所以a +a =4n+2，
n n+1
所以S =(a +a )+(a +a )+…+(a +a )
20 1 2 3 4 19 20
10[(a +a )+(a +a )]
= 1 2 19 20 ，
2
又a +a =78，
19 20
10×(6+78)
所以S = =420.
20 2
12.(1)证明 若∃λ∈R，
数列{a +λ·3n}成等比数列，
n
则存在非零实数q，
a +λ·3n+1
n+1
使得 =q，
a +λ·3n
n
即a +λ·3n+1=q(a +λ·3n)，
n+1 n
整理得a =qa +(qλ-3λ)3n. ①
n+1 n
因为a +a =8·3n-1，
n n+1
8
所以a =-a + ×3n. ②
n+1 n 3
由①②对应项系数相等得{
q=-1,
8
qλ-3λ= ,
3
{q=-1,
解得 2
λ=- .
3
所以a -
2
·3n+1=-
(
a -
2 ·3n)
.
n+1 3 n 3
因为a =1，
1
2
所以a - ×31=-1≠0.
1 3
2
a - ·3n+1
{ 2 } n+1 3
所以数列 a - ·3n 的各项均不为0，所以 =-1.
n 3 2
a - ·3n
n 3
{ 2 }
所以数列 a - ·3n 是以-1为首项，-1为公比的等比数列，
n 3
2
即∃λ=- ，使得数列{a +λ·3n}成等比数列.
3 n
(2)解 由(1)知，
{ 2 }
数列 a - ·3n 是以-1为首项，
n 3
-1为公比的等比数列，
2
所以a - ·3n=(-1)n，
n 3
即a =2·3n-1+(-1)n，
n
2×(1-3n ) -1×[1-(-1) n ] (-1) n-3
所以S = + =3n+ .
n 1-3 1-(-1) 2
13.ACD [f'(x)=2x-1，所以f(x)在点(x ，f(x ))处的切线方程为
n n
y-f(x )=f'(x )(x-x )，
n n n
因为x >3，所以2x -1≠0，
n n
f(x ) x2-x -6 x2+6
n n n n
令y=0，得x =x - =x - = ，故A正确；
n+1 n f '(x ) n 2x -1 2x -1
n n n
x2+6
n +2
x +2 2x -1 x +2 2
n+1 n ( n )
= = ，
x -3 x2+6 x -3
n+1 n -3 n
2x -1
nx +2 x +2
n+1 n
故ln =2ln ，
x -3 x -3
n+1 n
即a =2a ，又a =1，
n+1 n 1
所以数列{a }是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确；
n
1×(1-22 025
)
所以S = =22 025-1，
2 025 1-2
D正确.]
14.C [因为S =2 024是定值，要使当n取最大值时，a 也取得最大值，{a }需满足各项尽可能取到最小值，
n n n
又因为{a }是各项均为正整数的递增数列，所以a =1，a =2，a =3，…，a =m，即{a }是首项为1，公差为
n 1 2 3 m m
1的等差数列，{a }的前m项和为
m
m(m+1)
T = ，当m=63时，
m 2
63×(63+1)
T = =2 016<2 024；
63 2
当m=64时，
64×(64+1)
T = =2 080>2 024，
64 2
又因为2 024-2 016=8，
所以n的最大值为63，此时a =1，a =2，a =3，…，a =62，a 的最大值为a =63+8=71.]
1 2 3 62 n 63
