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专题六 微专题 4 定点(线)、定值问题
(分值：50分)
x2 y2 √2
1.(16分)已知椭圆C： + =1(a>b>0)过点P(2，√2)，且离心率为 .
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程；(6分)
(2)记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点(0，4)且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，证明：直线
BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程.(10分)
2.(17分)已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为F (0，3)，离心率为√3.
1
(1)求C的方程；(6分)
(2)设C的上、下顶点分别为A ，A ，若直线l交C于M(x ，y )，N(x ，y )，且点N在第一象限，y y >0，
1 2 1 1 2 2 1 2
3
直线A M与直线A N的交点P在直线y= 上，证明：直线MN过定点.(11分)
1 2 5
3.(17分)(2024·岳阳质检)已知动圆P过定点F(0，1)且与直线y=3相切，记圆心P的轨迹为曲线E.
(1)已知A，B两点的坐标分别为(-2，1)，(2，1)，直线AP，BP的斜率分别为k ，k ，证明：k -k =1；(7分)
1 2 1 2
(2)若点M(x ，y )，N(x ，y )是轨迹E上的两个动点且x x =-4，设线段MN的中点为Q，圆P与动点Q的轨
1 1 2 2 1 2
迹Γ交于不同于F的三点C，D，G，求证：△CDG的重心的横坐标为定值.(10分)答案精析
√2
1.解 (1)由椭圆过点P(2，√2)，且离心率为 ，
2
4 2
{ + =1,
a2 b2
{a2=8,
所以 c √2 解得
= , b2=4.
a 2
a2=b2+c2,
x2 y2
故所求的椭圆C的方程为 + =1.
8 4
(2)由题意得A(0，2)，B(0，-2)，
直线MN的方程为y=kx+4，
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
{
y=kx+4,
联立
x2 y2
+ =1,
8 4
整理得(1+2k2)x2+16kx+24=0，
Δ=64k2-96>0，
-16k 24
所以x +x = ，x x = ，
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
3
则kx x =- (x +x )，
1 2 2 1 2
y -2 y +2
2 1
则直线AN的方程为y-2= x，直线BM的方程为y+2= x，
x x
2 1
y -2
{ y-2= 2 x,
x
2
联立
y +2
y+2= 1 x,
x
1
y-2 (y -2)x (kx +2)x
2 1 2 1
得 = =
y+2 (y +2)x (kx +6)x
1 2 1 2
3
- (x +x )+2x
kx x +2x 2 1 2 1
1 2 1
= =
kx x +6x 3
1 2 2 - (x +x )+6x
2 1 2 21 3
x - x
2 1 2 2 1
= =- ，
3 9 3
- x + x
2 1 2 2
解得y=1，即直线BM与AN的交点G在定直线y=1上.
c
2.(1)解 由题意得c=3， =√3，则a=√3，所以b2=c2-a2=6，
a
y2 x2
故C的方程为 - =1.
3 6
(2)证明 由已知条件得直线MN的斜率存在，
{ y=kx+t,
设直线MN：y=kx+t，联立
2y2-x2=6,
消去y整理得，(2k2-1)x2+4ktx+2t2-6=0，
由题设条件得2k2-1≠0，Δ=16k2t2-4(2k2-1)(2t2-6)
=8(t2+6k2-3)>0，
4kt 2t2-6
则x +x = ，x x = .
1 2 1-2k2 1 2 2k2-1
由(1)得A (0，√3)，A (0，-√3)，
1 2
y -√3
则直线A M：y-√3= 1 x，
1 x
1
y +√3
直线A N：y+√3= 2 x，
2 x
2
y -√3
1
y-√3 x
1
两式相除得 = .
y+√3 y +√3
2
x
2
3
因为直线A M与直线A N的交点P在直线y= 上，
1 2 5
y -√3
3 -√3 1
5 x
1
所以 = .
3 y +√3
+√3 2
5 x
2
y2 x2
因为 2- 2=1，
3 6y -√3 y +√3 y2-3 1
2 2 2
所以 · = = ，
x x x2 2
2 2 2
y +√3 x
2 2
即 = ，
x 2(y -√3)
2 2
y -√3
3
-√3 1
5 x y -√3 y -√3 2(y -√3)(y -√3)
1 1 2 1 2
所以 = =2× × = .
3 y +√3 x x x x
+√3 2 1 2 1 2
5 x
2
又(y -√3)(y -√3)=k2x x +k(t-√3)(x +x )+(t-√3) 2
1 2 1 2 1 2
2t2-6 4kt
=k2× -k(t-√3) +(t-√3) 2
2k2-1 2k2-1
-(t-√3) 2
= ，
2k2-1
3
-√3
5 √3-t
所以 = ，解得t=5，
3 √3+t
+√3
5
所以直线MN过定点(0，5).
3.证明 (1)设点P(x，y)，
依题有√(x-0) 2+(y-1) 2=|y-3|，
化简并整理得x2=-4y+8，圆心P的轨迹E的方程为x2=-4y+8，
y-1 y-1 y-1 y-1 -4(y-1)
k = ，k = ，k -k = - = ，
1 x+2 2 x-2 1 2 x+2 x-2 x2-4
又x2=-4y+8，
-4(y-1) -4(y-1)
所以 = =1，
x2-4 -4 y+4
所以k -k =1.
1 2
(2)显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+b，
{x2=-4 y+8,
由
y=kx+b,
消去y并整理得
x2+4kx+4b-8=0，
当Δ>0时，x x =4b-8，
1 2又x x =-4，所以b=1，
1 2
所以x2+4kx-4=0，y=kx+1，
x +x =-4k，y +y
1 2 1 2
=k(x +x )+2=-4k2+2，
1 2
所以线段MN的中点坐标为
Q(-2k，-2k2+1)，
设Q(x，y)，
{ x=-2k,
则
y=-2k2+1,
消去k得x2=-2y+2，
所以Q的轨迹方程是x2=-2y+2，
圆P过定点F(0，1)，设其方程为
x2+(y-1)2+mx+n(y-1)=0，
{x2+(y-1) 2+mx+n(y-1)=0,
由
x2=-2y+2,
得x4+(4-2n)x2+4mx=0，
设C，D，G的横坐标分别为c，d，g，
因为C，D，G异于F，所以c，d，g都不为零，
故x3+(4-2n)x+4m=0的根为c，d，g，
令(x-c)(x-d)(x-g)=0，
即有x3-(c+d+g)x2+(cd+dg+gc)x-cdg=0，
所以c+d+g=0，
故△CDG的重心的横坐标为定值.
