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微拓展 3 极点、极线
[考情分析] “极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的
一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的是
以“极点、极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向.
考点一 极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x ，y )的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，
0 0
点P叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥
曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，
此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线
在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.
例1 (多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是( )
A.已知点P(x ，y )和圆C：x2+y2=r2，则关于点P的极线方程为x x+y y=r2
0 0 0 0
x2 y2 x x y y
B.已知点P(x ，y )在椭圆 + =1(a>b>0)外，则点P相应的极线方程为 0 + 0 =1
0 0 a2 b2 a2 b2
x2 y2 x x y y
C.对于双曲线 - =1，与点P(x ，y )对应的极线方程为 0 + 0 =1
a2 b2 0 0 a2 b2
(p )
D.对于抛物线y2=2px，若点P ，0 ，则对应的极线为抛物线的准线
2
[规律方法] (1)一般地，若圆M：(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x ，y )是圆外一点(极点)，则过点P(x ，y )的圆M的
0 0 0 0
切点弦(极线)的方程是(x -a)(x-a)+(y -b)(y-b)=r2.
0 0
x y+ y x x +x
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x x替换x2，以 0 0 替换xy，以y y替换y2，以 0 替换
0 2 0 2
y + y
x，以 0 替换y即可得到点P(x ，y )的极线方程.
2 0 0(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，
F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.
x2 y2
跟踪演练1 过椭圆C： + =1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆
25 9
交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所在
的直线方程为 .
考点二 极点与极线的性质及应用
x2 y2
例2 在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，已知椭圆 + =1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为
9 5
F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x ，y )，N(x ，y )，其中m>0，y >0，y <0.
1 1 2 2 1 2
(1)设动点P满足|PF|2-|PB|2=4，求点P的轨迹；
(2)设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)，并求出该定点的坐标.
[规律方法] 极点、极线的性质：
PA AQ
(1)如图1，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于点A，B，交l于点Q，则 = ；
PB BQ
PA AQ 2 1 1 2 1 1
反之，若 = 成立，则点P，Q调和分割线段AB，并且 = + ， = - .
PB BQ PQ PA PB PQ QA QB
(2)如图2，设点P关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，
则有OR2=OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q为点P关于此圆锥曲线的调和共轭点.(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作
Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.
(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于点M，N，P
为l上任意一点.若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，k +k =2k .
PM PN PQ
x2 y2 a2
(5)如图5，已知点A是椭圆 + =1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|b>0)的短轴长为2√2，离心率为 .
a2 b2 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，在线段AB上取点Q，满足|AP||QB|=|AQ||
PB|，证明：点Q总在某定直线上.
x2 y2 x x y y
1.已知椭圆 + =1(a>b>0)，点P(x ，y )，x =acos α，y =bsin α，则直线l： 0 + 0 =1与椭圆的位置关
a2 b2 0 0 0 0 a2 b2
系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上皆有可能
2.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点B，记抛物
线C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )1 2
A. B.
2 3
3 4
C. D.
4 3
x2 y2
3.已知椭圆C的方程为 + =1，过直线l：x=4上任意一点Q，作椭圆C的两条切线，切点分别为A，
4 3
B，则原点到直线AB距离的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知圆M：x2+y2-2x-2y-2=0，且直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点
为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
5.(多选)已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
x2 y2
6.(多选)在平面直角坐标系Oxy中，由直线x=-4上任一点P向椭圆 + =1作切线，切点分别为A，B，点
4 3
A在x轴的上方，则( )
A.∠APB恒为锐角
1
B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为
2
C.|AP|的最小值为4
D.存在点P，使得(⃗PA+⃗PO)·⃗OA=0
7.过点P(-2，3)作圆C：x2+(y-2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
8.已知直线l：y=kx+2与圆C：(x-1)2+y2=9交于A，B两点，过A，B分别作圆C的两条切线l 和l ，直线l
1 2 1
和l 交于点P，则线段PC长度的最小值是 ，线段PC最短时，四边形PACB 的面积是 .
2
9.过抛物线x2=4y焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：⃗FM·⃗AB为定值；
(2)设△MAB的面积为S，试求S的最小值.
10.设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，
且与抛物线C分别相切于A，B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程；
(2)证明：∠PFA=∠PFB.答案精析
例1 ABD [对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x ，y )在圆C的外部，两切点分别为
0 0
T (x ，y )，T (x ，y )，
1 1 1 2 2 2
两条切线的方程分别为
xx+yy=r2(i=1，2)，
i i
∵P(x ，y )在切线上，
0 0
∴x x +y y =r2，
0 1 0 1
x x +y y =r2，
0 2 0 2
∴T (x ，y )，T (x ，y )在直线x x+y y=r2上，由两点确定一条直线知直线T T 的方程为x x+y y=r2，A正确；
1 1 1 2 2 2 0 0 1 2 0 0
对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为A(x ，
1
y )，
1
B(x ，y )，两条切线的方程分别为
2 2
x x y y
1 1
l ： + =1，
PA a2 b2
x x y y
2 2
l ： + =1，
PB a2 b2
∵P(x ，y )在切线上，
0 0
x x y y
{ 1 0+ 1 0=1,
a2 b2
∴
x x y y
2 0+ 2 0=1,
a2 b2
x x y y
0 0
即点A(x ，y )，B(x ，y )均满足 + =1，
1 1 2 2 a2 b2
x x y y
0 0
故切点弦AB所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为 + =1，B正确；
a2 b2
x x y y
0 0
对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为 - =1，C错误；
a2 b2
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D正确.]
3x 2y
跟踪演练1 + =1
25 9
例2 解 (1)由题设得，A(-3，0)，
B(3，0)，F(2，0)，设动点P(x，y)，
由|PF|2=(x-2)2+y2，|PB|2=(x-3)2+y2，
|PF|2-|PB|2=4，
9
代入化简得x= .
2
9
故点P的轨迹为直线x= .
2
m
(2)方法一 由题设知，直线TA的方程为y= (x+3)，
12
m
直线TB的方程为y= (x-3)，
6
m
{y = (x +3),
1 12 1
点M(x ，y )满足
1 1 x2 y2
1+ 1=1,
9 5
240-3m2
则x ≠-3，x = ，
1 1 80+m2
40m
y = ；
1 80+m2
m
{y = (x -3),
2 6 2
点N(x ，y )满足
2 2 x2 y2
2+ 2=1,
9 5
3m2-60
则x ≠3，x = ，
2 2 20+m2
-20m
y = .
2 20+m2
若x =x ，
1 2
240-3m2 3m2-60
则 = 且m>0，
80+m2 20+m2
得m=2√10，
此时直线MN的方程为x=1，
过点D(1，0)；
若x ≠x ，则m≠2√10，
1 2
40m (240-3m2 ) 10m
直线MD的斜率k = ÷ -1 = ，
MD 80+m2 80+m2 40-m2
-20m (3m2-60 ) 10m
直线ND的斜率k = ÷ -1 = ，
ND 20+m2 20+m2 40-m2所以k =k ，所以直线MN过点D(1，0).
MD ND
因此直线MN必过x轴上一定点D(1，0).
方法二 当t=9时，T点坐标为(9，m)，连接MN，
设直线AB与MN的交点为K，根据极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过点K，又点T对应的极线
9x my
方程为 + =1，此直线恒过x轴上一定点K(1，0)，从而直线MN也恒过x轴上的一定点K(1，0).
9 5
{2b=2√2,
跟踪演练2 (1)解 由题意可知 c √2 因为a2=b2+c2，
= ,
a 2
x2 y2
解得a=2，b=√2.所以所求椭圆C的方程为 + =1.
4 2
(2)证明 方法一 设A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，Q(x，y)，P(4，1)，
2 2
直线AB的斜率显然存在，设为k，则AB的方程为y=k(x-4)+1.
因为A，P，B，Q四点共线，
不妨设x 0，得12k2-8k-1<0，
由根与系数的关系，4k(1-4k)
得x +x =- ，
1 2 2k2+1
2(1-4k) 2-4
x x = .
1 2 2k2+1
代入(*)式，
4k+1 7
化简得x= =4- ，
k+2 k+2
7 y-1
即 =4-x.又k= ，
k+2 x-4
7
代入上式得 y-1 =4-x，化简得2x+y-2=0.所以点Q总在一条定直线2x+y-2=0上.
+2
x-4
|AP| |AQ|
方法二 由条件可得 = ，
|PB| |BQ|
所以点P，Q关于椭圆C调和共轭，
4x y
根据性质，点Q的轨迹就是点P对应的极线，即 + =1，化简得2x+y-2=0，所以点Q总在一条定直线
4 2
2x+y-2=0上.
思维提升 拓展练习
1.B 2.D 3.A 4.D 5.ABD
6.ABD [设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
P(-4，m).
x x y y
方法一 易知椭圆在A处的切线方程为 1 + 1 =1，
4 3
x x y y
在B处的切线方程为 2 + 2 =1，
4 3
∵点P在两条切线上，将P(-4，m)代入两切线方程，
m y m y
得-x + 1=1，-x + 2=1，
1 3 2 3
my
∴直线AB的方程为-x+ =1，
3
即3x-my+3=0.
-4x my
方法二 由题设，切点弦AB所在直线是点P关于椭圆的极线，则可知直线AB的方程为 + =1，
4 3
即3x-my+3=0.
∴直线AB恒过定点(-1，0)，
∵|AB|<4，且以椭圆的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4，该圆与直线x=-4相离，
∴∠APB恒为锐角，故A正确；
对于B，当AB垂直于x轴时，由对称性可知P(-4，0)，
x x y y
将P(-4，0)代入 1 + 1 =1，
4 3
x ·(-4)
可得 1 =1，
4
可得x =-1，
1
3
代入椭圆方程可得y = ，
1 2
( 3)
∴A -1， ，
2
3
-0 1
∴k = 2 = ，故B正确；
AP 2
-1-(-4)
对于C，由B可得当AB垂直于x轴时，
|AP|= √ (-1+4) 2+ (3 -0 ) 2 = 3√5 <4，故C错误；
2 2
对于D，(⃗PA+⃗PO)·⃗OA=(⃗PA+⃗PO)·(⃗PA-⃗PO)=⃗PA2-⃗PO2.
x x y y ( 3+3x )
∵椭圆在A(x ，y )处的切线方程为 1 + 1 =1，与直线x=-4联立方程可得P -4， 1 ，
1 1 4 3 y
1
∴|PA|=
√ 3+3x 2
( )
(x +4) 2+ y - 1 ，
1 1 y
1
√ 3+3x 2
( )
|PO|= 16+ 1 ，
y
1
若|PA|=|PO|，
√ 3+3x 2
( )
则 (x +4) 2+ y - 1
1 1 y
1
√ 3+3x 2
( )
= 16+ 1 ，
y
1
化简整理得x2
+2x
+y2
-6=0，
1 1 1
又点A在椭圆上，
∴x2 +2x +3 ( 1- 1 x2) -6=0，
1 1 4 1∴x2
+8x -12=0，
1 1
-8+√64+4×12 -8+4√7
解得x = = =-4+2√7∈(0，2)，
1 2 2
故存在点P，使得(⃗PA+⃗PO)·⃗OA=0，故D正确.]
7.2x-y+6=0
9√5 18√5
8.
5 5
解析 如图，设P(m，n)，则切点弦AB所在直线的方程即点P关于圆C的极线方程，
为(m-1)(x-1)+ny=9，
这与直线l：y=kx+2是同一条直线，由于l：y=kx+2过点(0，2)，
故点(0，2)在切点弦AB上，
因此(m-1)(0-1)+2n=9，
即m-2n+8=0.
由此知，点P的轨迹方程是x-2y+8=0，记为l .
3
于是|PC|的最小值就是点C(1，0)到直线l ：x-2y+8=0的距离，
3
|1+8| 9√5
因此|PC| = = .
min √1+4 5
线段PC最短时，PC⊥l ，
3
1
故必有l∥l ，k= ，
3 l 2
1
所以l：y= x+2，即x-2y+4=0，
2
|1+4|
于是弦心距d= =√5，
√5
由勾股定理，得|AB|=2√9-5=4.
由圆的对称性可知AB⊥PC，
1 1 9√5 18√5
所以S = |PC|×|AB|= × ×4= .
四边形PACB 2 2 5 5
9.方法一 (1)证明 抛物线x2=4y的焦点F的坐标为(0，1).
设直线AB：y=kx+1，A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )(x ≠x ).
2 2 1 2
{y=kx+1,
联立
x2=4 y,消去y可得x2-4kx-4=0，
则x +x =4k，x x =-4.
1 2 1 2
1 1 1
对抛物线方程y= x2，求导得y'= x，则过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y= x (x-x )+y ，
4 2 2 1 1 1
1
y= x (x-x )+y .
2 2 2 2
1 1
即y= x x-
x2
，
2 1 4 1
1 1
y= x x-
x2
.
2 2 4 2
(x +x x x )
联立，解出两条切线的交点M的坐标为
1 2， 1 2
=(2k，-1).
2 4
所以⃗FM=(2k，-2)，
因为直线AB的一个方向向量a=(1，k)，
⃗FM·a=2k-2k=0，
所以⃗FM·⃗AB=0.
(2)解 弦长|AB|=√1+k2|x -x |=√1+k2√(x +x ) 2-4x x =4(1+k2).
1 2 1 2 1 2
由(1)知FM⊥AB，点M到直线AB的距离为|FM|=2√1+k2，
1
所以S= |AB||FM|
2
=4(1+k2)√1+k2.
令t=√1+k2(t≥1)，则S=4t3(t≥1)，因为S=4t3在[1，+∞)上单调递增，所以当t=1，即k=0时，S的最小值
为4.
方法二 (1)证明 显然，点M的极线为AB，故可设点M(x ，-1)，再设A(x ，y )，B(x ，y )，F，A，B三
0 1 1 2 2
点对应的极线方程分别为y=-1，x x=2(y +y)，x x=2(y +y)，
1 1 2 2
由于A，B，F三点共线，故相应的三条极线共点于M(x ，-1)，将y=-1代入后面两个极线方程得
0
{x x =2(y -1),
1 0 1
x x =2(y -1),
2 0 2
两式相减得
(x -x )x =2(y -y ).
1 2 0 1 2
又⃗FM=(x ，-2)，
0
⃗AB=(x -x ，y -y )，
2 1 2 1
故⃗FM·⃗AB=x (x -x )-2(y -y )=0.
0 2 1 2 1
(2)解 设AB的方程为y=kx+1，与点M关于抛物线的极线方程x x=2(y-1)对比可知点M(2k，-1)，
0
|FM|=2√1+k2，把y=kx+1代入x2=4y并由弦长公式得|AB|=4(1+k2)，
由(1)知FM⊥AB，
1
所以S= |AB||FM|
2
=4(1+k2)√1+k2，
显然，当k=0时，S取最小值为4.
10.(1)解 设切点A，B坐标分别为(x ，x2 )和(x ，x2 ) (x ≠x )，
0 0 1 1 1 0
所以切线AP的方程为2x
x-y-x2
=0，切线BP的方程为2x
x-y-x2
=0，
0 0 1 1
由于P既在AP上，又在BP上，
{2x x - y -x2=0,
0 P P 0
所以
2x x - y -x2=0,
1 P P 1
{ x +x
x = 0 1,
解得 P 2
y =x x ,
P 0 1
(x +x )
P 0 1，x x ，
2 0 1
所以△APB的重心G的横坐标
x +x +x
x = 0 1 P=x ，
G P
3
x2+x2+ y x2+x2+x x
y = 0 1 P= 0 1 0 1
G
3 3
(x +x ) 2-x x 4x2- y
= 0 1 0 1= P P，
3 3
所以y =-3y +4x2 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为x-(-3y+4x2)-2=0，
P G G
1
即y= (4x2-x+2).
3
( 1)
(2)证明 方法一 因为F 0， ，
4
⃗FA= ( x ，x2- 1) ，
0 0 4
(x +x 1)
⃗FP= 0 1，x x - ，
2 0 1 4
⃗FB= ( x ，x2- 1) .
1 1 4
由于P点在抛物线外，则|⃗FP|≠0.x 0 +x 1·x + ( x x - 1)( x2- 1)
⃗FP·⃗FA 2 0 0 1 4 0 4
所以cos∠PFA= =
|⃗FP||⃗FA| |⃗FP| √ x2+ ( x2- 1) 2
0 0 4
1
x x +
= 0 1 4，
|⃗FP|
x 0 +x 1·x + ( x x - 1)( x2- 1)
⃗FP·⃗FB 2 1 0 1 4 1 4
同理有cos∠PFB= =
|⃗FP||⃗FB| |⃗FP| √ x2+ ( x2- 1) 2
1 1 4
1
x x +
= 0 1 4，
|⃗FP|
故∠PFA=∠PFB.
方法二 ①当x x =0时，
1 0
由于x ≠x ，不妨设x =0，
1 0 0
则A(0，0)，
(x )
所以P点坐标为
1，0
，
2
则P点到直线AF的距离为
|x |
d = 1 ，
1
2
而直线BF的方程为
1
1
x2-
y- = 1 4x，
4
x
1
即
( x2- 1)
x-x y+
1
x =0.
1 4 1 4 1
所以P点到直线BF的距离为
| ( x2- 1) x 1+ x 1 |
1 4 2 4
d =
2
√ ( x2- 1) 2 +x2
1 4 1
( x2+ 1) |x 1 |
1 4 2 |x |
= = 1 ，
1 2
x2+
1 4所以d =d ，即得∠PFA=∠PFB.
1 2
1
1
x2-
②当x x ≠0时，直线AF的方程为y- = 0 4x，
1 0 4
x
0
即
( x2- 1)
x-x y+
1
x =0，
0 4 0 4 0
1
1
x2-
直线BF的方程为y- = 1 4x，
4
x
1
即
( x2- 1)
x-x y+
1
x =0，
1 4 1 4 1
所以P点到直线AF的距离为
| ( x2- 1) x 0 +x 1-x2x + 1 x |
0 4 2 0 1 4 0
d =
3
√ ( x2- 1) 2 +x2
0 4 0
|x 0 -x 1 | ( x2+ 1)
2 0 4
=
1
x2+
0 4
|x -x |
= 0 1 ，
2
同理可得P点到直线BF的距离
|x -x |
d = 1 0 ，因此由d =d ，
4 3 4
2
可得到∠PFA=∠PFB.
综上，∠PFA=∠PFB.
