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微重点 1 离心率的范围
[考情分析] 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此
类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
x2 y2
例1 (1)已知F是椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且
a2 b2
∠AFB=120°，则椭圆离心率的取值范围是( )
[√3 ) ( √3]
A. ，1 B. 0，
2 2
[1 ) ( 1]
C. ，1 D. 0，
2 2
π
(2)已知F ，F 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F PF = ，设∠PF F =θ，当双
1 2 1 2 3 1 2
(√6 )
曲线C的离心率取值范围为 ，√3 时，θ的取值范围为( )
2
( π ) ( π π)
A. 0， B. ，
12 12 6
(π π) ( π π)
C. ， D. ，
6 3 12 3
[规律方法] 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c
的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
跟踪演练1 (2024·荆州模拟)已知F ，F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且
1 2
π
∠F PF = ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
1 2 3
√3 √2
A. B.
2 2
√6 √3
C. D.
2 3
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
x2 y2
例2 (1)椭圆 + =1(a>b>0)上存在一点P满足F P⊥F P，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆
a2 b2 1 2 1 2
的离心率的取值范围是( )
( 1] ( √2]
A. 0， B. 0，
2 2[1 ) [√2 )
C. ，1 D. ，1
2 2
x2 y2
(2)已知P为椭圆 + =1(a>b>0)上一点，F ，F 为椭圆焦点，且|PF |=3|PF |，则椭圆离心率的取值范
a2 b2 1 2 1 2
围是( )
( 1] [1 )
A. 0， B. ，1
3 3
( 1] [1 )
C. 0， D. ，1
2 2
[规律方法] 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点
距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
x2 y2
跟踪演练2 已知双曲线 - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，若双曲线上存在点P，使
a2 b2 1 2
sin∠PF F a
1 2
= ，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
sin∠PF F c
2 1
A.(1，1+√2) B.(1，1+√3)
C.(1，1+√2] D.(1，1+√3]
考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围
x2
例3 (1)(2024·成都模拟)已知直线l：y=x+2，若椭圆C： +y2=1(a>1)上的点到直线l的距离的最大值
a2
与最小值之和为2√2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
( √6] (√6 )
A. 0， B. ，1
3 3
( √2] [√2 )
C. 0， D. ，1
2 2
x2 y2
(2)(2024·浙江五校联考)已知双曲线 - =1(a，b>0)上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲
a2 b2
线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A.(√2，+∞) B.(√3，+∞)
(2√3 )
C.(2，+∞) D. ，+∞
3
[规律方法] 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.
y2
跟踪演练3 椭圆x2+ =1(00，椭圆离心率的取值范围为( )( √2) ( 1)
A. 0， B. 0，
2 2
(1 ) (√2 )
C. ，1 D. ，1
2 2答案精析
例1 (1)C [设椭圆左、右焦点分别为F ，F，连接F A，F B，
1 1 1
由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF 为平行四边形，
1
且∠AFB=120°，∠FAF =60°，
1
在△AFF 中，
1
|FF |2=|AF|2+|AF |2-2|AF|·|AF |cos∠FAF
1 1 1 1
=(|AF|+|AF |)2-3|AF|·|AF |，
1 1
∴(|AF|+|AF |)2-|FF |2
1 1
=3|AF|·|AF |
1
( |AF|+|A F | ) 2
≤3 1 ，
2
当且仅当|AF|=|AF |时等号成立，
1
1
可得 (|AF|+|AF |)2≤|FF |2，
4 1 1
c 1
即a2≤4c2，则e= ≥ ，
a 2
又∵椭圆的离心率e∈(0，1)，
[1 )
∴椭圆的离心率e∈ ，1 .]
2
(2)B [在△F PF 中，
1 2
c 2c |F F |
1 2
由e= = =
a 2a |PF |-|PF |
1 2
sin∠F PF
1 2
=
sin∠PF F -sin∠PF F
2 1 1 2
√3
2
=
(π )
sin +θ -sinθ
3
1
√3
= · (π ).
2 cos +θ
6(√6 )
因为e∈ ，√3 ，
2
(π ) (1 √2)
所以cos +θ ∈ ， ，
6 2 2
π (π π)
所以 +θ∈ ， ，
6 4 3
( π π)
所以θ的取值范围为 ， .]
12 6
跟踪演练1 A
例2 (1)D [当点P位于短轴的端点时，∠F PF 最大，
1 2
x2 y2
要使椭圆 + =1(a>b>0)上存在一点P满足F P⊥F P，
a2 b2 1 2
π π
只要∠F PF 最大时大于等于 即可，即当点P位于短轴的端点时，∠OPF ≥ ，
1 2 2 1 4
c π √2
所以sin∠OPF = ≥sin = ，
1 a 4 2
[√2 )
又椭圆的离心率e∈(0，1)，所以椭圆的离心率的取值范围是 ，1 .]
2
x2 y2
(2)D [由P为椭圆 + =1(a>b>0)上一点，|PF |+|PF |=2a.
a2 b2 1 2
又|PF |=3|PF |，
1 2
a
所以|PF |= ，
2 2
又a-c≤|PF |≤a+c，
2
a
即a-c≤ ≤a+c.
2
a
{a-c≤ ,
2
即
a
≤a+c,
2
a 1
得 ≤c，即 ≤e<1.]
2 2
跟踪演练2 A
x2
例3 (1)A [将l：y=x+2代入椭圆C： +y2=1(a>1)，消去y，
a2可得(1+a2)x2+4a2x+3a2=0，
由已知直线与椭圆相离或相切，
即Δ=16a4-4(1+a2)·3a2≤0，
解得a2≤3，即1a2，即c2-a2>a2，c2 c √c2
可得 >2，则e= = >√2，
a2 a a2
所以该双曲线离心率的取值范围是(√2，+∞).]
跟踪演练3 A
