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专题六 微重点 1 离心率的范围
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
[√3 ) ( √3]
A. ，1 B. 0，
3 3
[1 ) ( 1]
C. ，1 D. 0，
3 3
x2 y2
2.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，以线段F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭
a2 b2 1 2 1 2
圆离心率的取值范围为( )
(√2 ) [√2 )
A. ，1 B. ，1
2 2
(1 ) [1 )
C. ，1 D. ，1
2 2
x2 y2 a2
3.已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，其渐近线与圆(x-c)2+y2= 有公共点，则双曲线
a2 b2 2
C的离心率的取值范围为( )
A.(1，√3] B.[√3，+∞)
( √6] [√6 )
C. 1， D. ，+∞
2 2
x2 y2
4.已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω： + =1(a>b>0)，且AB，AD斜率之积的取值范围为
a2 b2
( 3 2)
- ，- ，则椭圆Ω离心率的取值范围是( )
4 3
(1 √3) (√3 √2)
A. ， B. ，
2 3 3 2
(1 √3) (1 1)
C. ， D. ，
4 3 4 3[7 9 ]
5.(2024·长沙模拟)焦点在x轴的椭圆中截得的最大矩形的面积的取值范围是
b2， b2
，则椭圆离心率
2 2
的取值范围是( )
[√29 √65] [√31 √67]
A. ， B. ，
7 9 7 9
[√33 √65] [√34 √69]
C. ， D. ，
7 9 7 9
x2 y2
6.双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶点分别为A ，A ，B为虚轴的上端
a2 b2 1 2 1 2
点，若直线BF 上存在两点P(i=1，2)使得A P⊥A P(i=1，2)，且过双曲线的右焦点F 作斜率为1的直线
2 i 1 i 2 i 2
与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.√3b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，将Γ 上所有点
1 a2 b2 1 2 1
的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的k(k>0，k≠1)倍得到椭圆Γ ，则下列说法正确的是( )
2
b b+t
A.若t>0，则 <
a a+t
B.若Γ ，Γ 的离心率分别为e ，e ，则e =e
1 2 1 2 1 2
C
C.若Γ ，Γ 的周长分别为C ，C ，则C = 1
1 2 1 2 2 k|F F |2
D.若Γ 的四个顶点构成的四边形面积为 1 2 ，则Γ 的离心率为2(√2-1)
1 1
4
三、填空题(每小题5分，共10分)
x2 y2 a2
9.已知F ，F 分别为椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x= 上存在点P，使△PF F 为等腰三角
1 2 a2 b2 c 1 2
形，则椭圆离心率的取值范围是 .
x2 y2
10.(2024·聊城模拟)已知双曲线C： - =1(b>a>0)的一个焦点为F，O为坐标原点，点A，B在双曲线上
a2 b2
运动，以AB为直径的圆过点O，且|⃗OA+⃗OB|·|⃗OF|≤|⃗OA|·|⃗OB|恒成立，则C的离心率的取值范围为
.答案精析
1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.D
7.AC 8.AB
(√3 )
9. ，1
3
解析 △PF F 为等腰三角形，只可能|PF |=|F F |，
1 2 2 1 2
即|PF |=2c，
2
a2
又因为点P在直线x= 上，
c
a2
即|PF |=2c> -c 3c2>a2
2 c
⇒
1 √3
e2> e> ，
3 3
⇒ ⇒
又因为椭圆的离心率e∈(0，1)，
(√3 )
所以e的取值范围为 ，1 .
3
( 1+√5]
10. √2，
2
解析 当直线AB的斜率存在时，
设A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，直线AB：y=kx+m，
2 2
因为以AB为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，
即⃗OA·⃗OB=x x +y y =0，
1 2 1 2
{y=kx+m,
联立
x2 y2
- =1,
a2 b2
整理得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0，且Δ=4k2m2a4+
4(b2-a2k2)(a2m2+a2b2)>0，
2kma2
x +x = ，
1 2 b2-a2k2-a2 (m2+b2
)
x x = ，
1 2 b2-a2k2
则y y =(kx +m)(kx +m)
1 2 1 2
=k2x x +km(x +x )+m2
1 1 1 2
m2b2-a2b2k2
= ，
b2-a2k2
-a2 (m2+b2 ) m2b2-a2b2k2
所以x x +y y = + =0，
1 2 1 2 b2-a2k2 b2-a2k2
m2 a2b2
整理得 = ，
k2+1 b2-a2
|m| ab
即由O(0，0)到直线AB：y=kx+m的距离d= = ；
√1+k2 √b2-a2
当直线AB的斜率不存在时，设AB：x=n，AB与x轴交于点D，因为以AB为直径的圆过点O，则
n2 n2
OA⊥OB，即△OAB为等腰直角三角形，且∠AOD=45°，则可设A(n，n)，又点A在双曲线C上，则 -
a2 b2
ab ab
=1，解得|n|= ，即点O到直线AB的距离为 ；
√b2-a2 √b2-a2
ab
综上，点O到直线AB的距离为 .
√b2-a2
1
又S = |⃗OA|·|⃗OB|
△ABC 2
1
= |⃗AB|·d，
2
即|⃗OA|·|⃗OB|=|⃗AB|·d，
而|⃗OA+⃗OB|·|⃗OF|=|⃗AB|·c，
因为|⃗OA+⃗OB|·|⃗OF|≤|⃗OA|·|⃗OB|，
ab
即c≤ ，
√b2-a2
1+√5
所以e4-3e2+1≤0 1a √2
