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微拓展 4 等角定理与蝴蝶定理
[考情分析] 在近几年高考试题中，以“角相等”为背景的圆锥曲线试题频繁出现，综合性强，是考查学
生能力的重要载体.本节课主要说明圆锥曲线中以“角相等”为命题背景的题型及求解策略.
考点一 等角定理
x2 y2
例1 求证：过椭圆 + =1(a>b>0)长轴上任意一点N(t，0)(0<|t|<a)的一条弦(非长轴)的端点A，B与
a2 b2
(a2
)
点G ，0 的连线所成的角，被焦点所在的直线平分，即∠OGA=∠OGB.
t
证明 如图所示，
只需证明k =-k ，
GA GB
即k +k =0，
GA GB
y y
A B
也即 + =0，
x -x x -x
A G B G
x -x x -x
B G A G
故只需证 + =0，
y y
B A
a2
其中x = ，
G t
设AB所在直线的方程为x=my+t，
则x =my +t，x =my +t.
A A B B
m y +t-x m y +t-x
B G A G
故只需证明 + =0.
y y
B A
( 1 1 )
即只需证2m+(t-x ) + =0. ①
G y y
A B
{x=my+t,
联立
x2 y2
+ =1,
a2 b2
(m2 1 ) 2mt t2
得 + y2+ y+ -1=0，
a2 b2 a2 a22mt
a2
由根与系数的关系得y +y =- ，
A B m2 1
+
a2 b2
t2
-1
a2
y y = ，
A B m2 1
+
a2 b2
( a2 ) y + y
代入①式，等式左边=2m+ t- A B
t y y
A B
2mt
( )
(
a2
)
a2
=2m+ t- -
t t2
-1
a2
( a2 )( 2mt )
=2m+ t- -
t t2-a2
=2m-2m=0=右边.故命题得证.
[规律方法] (1)双曲线中的等角定理
x2 y2 (a2
)
过双曲线 - =1(a>0，b>0)的实轴所在直线上任意一点N(t，0)(t≠±a)的一条弦的端点A，B与G ，0
a2 b2 t
的连线所成的角，被焦点所在的直线平分，即∠NGA=∠NGB，如图1所示.
(2)抛物线中的等角定理
过抛物线 y2=2px(p>0)对称轴上任意一点N(a，0)(a>0)的一条弦的端点A，B与对应点G(-a，0)的连线所成
的角，被对称轴平分，即∠OGA=∠OGB，如图2所示.
图1 图2
x2
跟踪演练1 在平面直角坐标系Oxy中，曲线C：y= 与直线y=kx+a(a>0)交于M，N两点.
4
(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？并说明理由.
解 (1)由题设可得M(2√a，a)，N(-2√a，a)，或M(-2√a，a)，N(2√a，a).
1 x2
∵y'= x，故y= 在x=2√a处的导数值为√a，C在(2√a，a)处的切线方程为y-a=√a(x-2√a)，即√ax-y-a=0.
2 4x2
故y= 在x=-2√a处的导数值为-√a，C在(-2√a，a)处的切线方程为y-a=-√a(x+2√a)，
4
即√ax+y+a=0.
故所求切线方程为√ax-y-a=0或√ax+y+a=0.
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
直线PM，PN的斜率分别为k ，k ，
1 2
将y=kx+a代入C的方程，得x2-4kx-4a=0.
故x +x =4k，x x =-4a，
1 2 1 2
y -b y -b
1 2
则k +k = +
1 2 x x
1 2
2kx x +(a-b)(x +x )
1 2 1 2
=
x x
1 2
k(a+b)
= ，
a
当b=-a时，k +k =0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
1 2
故∠OPM=∠OPN，∴点P(0，-a)符合题意.
考点二 蝴蝶定理
设Q为圆内弦XY的中点，过Q作弦AB和CD，设AD和BC交XY于点P和R，则Q是PR的中点.
进一步，去掉Q为中点的条件，可得“坎迪定理”：
1 1 1 1
当Q不为中点时，满足 - = - .
|XQ| |YQ| |PQ| |RQ|
定理原本只是圆的背景，通过射影几何，我们可以非常容易地将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括
椭圆、双曲线、抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况).
圆锥曲线上弦XY的中点为Q，过Q作弦AB和CD，设AD和BC交XY于点P和R，则Q是PR的中点.
进一步，去掉Q为中点的条件，可得“坎迪定理”：
1 1 1 1
当Q不为中点时，满足 - = - .
|XQ| |YQ| |PQ| |RQ|x2
例2 已知A，B分别为椭圆E： +y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，⃗AG·⃗GB=8，P为直线
a2
x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
(1)解 依据题意作出图象，
x2
由椭圆方程E： +y2=1(a>1)可得A(-a，0)， B(a，0)，G(0，1)，
a2
所以⃗AG=(a，1)，⃗GB=(a，-1)，
所以⃗AG·⃗GB=a2-1=8，则 a2=9，
x2
故椭圆E的方程为 +y2=1.
9
(2)证明 方法一 设P(6，y )，
0
由(1)得A(-3，0)，B(3，0)，
y -0
0
则直线AP的方程为y= (x+3)，
6-(-3)
y
即y= 0(x+3).
9
{
x2
+ y2=1,
9
联立直线AP的方程与椭圆方程可得
y
y= 0 (x+3),
9
整理得(y2 +9)x2+6y2 x+9y2
-81=0，
0 0 0
-3 y2+27
0
解得x=-3或x= ，
y2+9
0
-3 y2+27 y
将x= 0 代入直线y= 0(x+3)，
y2+9 9
0
6 y
0
可得y= ，
y2+9
0
(-3 y2+27 6 y )
所以点C的坐标为 0 ， 0 .
y2+9 y2+9
0 0(3 y2-3 -2y )
同理可得，点D的坐标为 0 ， 0 .
y2+1 y2+1
0 0
当y2≠3时，
0
-2y
0
直线CD的方程为y-
y2+1
0
6 y -2y
0 - 0
y2+9 y2+1 ( 3 y2-3)
=
0 0 x- 0
，
-3 y2+27 3 y2-3 y2+1
0 - 0 0
y2+9 y2+1
0 0
2y 8 y (y2+3)( 3 y2-3)
整理可得y+ 0 = 0 0 x- 0
y2+1 6(9- y4 ) y2+1
0 0 0
4 y ( 3 y2-3)
= 0 x- 0 ，
3(3- y2 ) y2+1
0 0
整理得y=
4 y 0
x+
2y 0
=
4 y 0 ( x- 3)
3(3- y2 ) y2-3 3(3- y2 ) 2
0 0 0
(3 )
所以直线CD过定点 ，0 .
2
3
当y2
=3时，直线CD的方程为x= ，
0 2
(3 )
直线CD过点 ，0 .
2
(3 )
故直线CD过定点 ，0 .
2
方法二 由(1)得A(-3，0)，B(3，0)，
当点P不为直线x=6与x轴的交点时，
设直线CD与x轴相交于点Q， 过点Q作x轴的垂线，交椭圆于E，F，交AC，BD于点I，J.
显然Q是EF的中点，由蝴蝶定理得Q也是IJ的中点，即|IQ|=|JQ|.
y
P
k 6+3 1
AC
因为P为AC，BD的交点，故 = = ， ①
k y 3
BD P
6-3
|IQ|
k |AQ| |BQ| 3-x
AC Q
又 = = = ， ②
k |JQ| |AQ| 3+x
BD Q
|BQ|3-x 1
Q
由①②得 = ，
3+x 3
Q
3 (3 )
解得x = ，故直线CD过定点 ，0 .
Q 2 2
(3 )
当点P为直线x=6与x轴的交点时，直线CD与x轴重合，也过点 ，0 ，
2
(3 )
故直线CD过定点 ，0 .
2
[规律方法] (1)蝴蝶定理的方法可以作为了解问题的相关背景，预判结果，但不能作为相关解答.
(2)从蝴蝶定理的方法，我们实际上得到了定点和斜率之比的有关结论：
x2 y2 k a-n
AC
对于椭圆 + =1(a>b>0)，过Q(n，0)(0<n<a)作x轴的垂线，所得图象如图所示，有 = .
a2 b2 k a+n
BD
x2 y2
跟踪演练2 已知椭圆Γ： + =1，过椭圆左焦点F任作一条弦PQ(不与长轴重合)，点A，B是椭圆
9 5
1
的左、右顶点，设直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，则k k + 的最小值为 .
1 2 1 2 k2
2
答案 2√5
解析 如图所示，过点F作x轴的垂线，交椭圆于E，G两点，交直线AP，BQ于X，Y两点，
由蝴蝶定理可知，当|FE|=|FG|时，|FX|=|FY|，
|FX| |FY|
所以k = ，k = ，
1 |AF| 2 |BF|
k |BF|
1
即 = =5，
k |AF|
2
1 1
所以k k + =5k2 + ≥2√5.
1 2 k2 2 k2
2 2
(a2
)
x2 y2
1.已知点P(t，0)(t≠0)，直线AB过点E ，0 ，且与椭圆 + =1(a>b>0)交于不同的两点A，B，求证：
t a2 b2
直线PA，PB与x轴所成的较小的角相等.证明 由题意，t≠±a，当直线AB斜率不存在时，易知直线PA，PB与x轴所成的较小角相等；
当直线AB斜率存在时，如图，设点A和点B的坐标分别为(x ，y )和(x ，y ).
1 1 2 2
(a2
)
因为直线AB过点E ，0 ，
t
(
a2
)
所以设直线AB的方程为y=k x- ，
t
代入椭圆方程可得
2a4k2
2a4k2 a6k2
(b2+a2k2)x2- x+ -a2b2=0，所以x +x = t ，
t t2 1 2
b2+a2k2
a6k2
-a2b2
x x = t2 .
1 2
b2+a2k2
y y
1 2
因为k +k = +
PA PB x -t x -t
1 2
y (x -t)+ y (x -t)
1 2 2 1
=
(x -t)(x -t)
1 2
(
a2
) (
a2
)
k x - (x -t)+k x - (x -t)
= 1 t 2 2 t 1
(x -t)(x -t)
1 2
[
(
a2
)
]
k 2x x - t+ (x +x )+2a2
= 1 2 t 1 2
(x -t)(x -t)
1 2
[
2
(a6k2
-a2b2
) 2a4k2 ]
t2 ( a2 ) t
=k - t+ +2a2
b2+a2k2 t b2+a2k2
(x -t)(x -t)
1 2
(2a6k2 2a6k2
)
k -2a2b2- -2a4k2+2a2b2+2a4k2
= t2 t2 =0，
(x -t)(x -t)(b2+a2k2 )
1 2
所以直线PA，PB的斜率互为相反数，倾斜角互补.
所以直线PA，PB与x轴所成的较小的角相等.
综上，直线PA，PB与x轴所成的较小的角相等.x2 y2 ( √3) ( √3)
2.已知椭圆T： + =1(a>b>0)，四点P (1，1)，P (0，1)，P -1， ，P 1， 中恰有三点在椭
a2 b2 1 2 3 2 4 2
圆T上.
(1)求椭圆T的方程；
(2)蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF.若CF，ED
分别与直线AB交于点P，Q，则|MP|=|MQ|.
( 1)
该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆T中，弦AB的中点M的坐标为 0， ，且两条弦CD，
2
EF所在直线斜率存在，证明：|MP|=|MQ|.
(1)解 由于P ，P 两点关于y轴对称，
3 4
故由题设知T经过P ，P 两点，
3 4
1 1 1 3
又由 + > + 知，T不过点P ，所以点P 在T上，
a2 b2 a2 4b2 1 2
1
{ =1,
b2 {a2=4,
因此 解得
1 3 b2=1,
+ =1,
a2 4b2
x2
故椭圆T的方程为 +y2=1.
4
( 1)
(2)证明 因为点M的坐标 0， 在y轴上，且M为AB的中点，
2
所以直线AB平行于x轴，
设C(x ，y )，D(x ，y )，E(x ，y )，F(x ，y )，
1 1 2 2 3 3 4 4
1
设直线CD的方程为y=k x+ ，
1 2
x2
代入椭圆T： +y2=1，
4
得
( k2+ 1)
x2+k x-
3
=0，
1 4 1 4
根据根与系数的关系得
4k 3
1
x +x =- ，x x =- ， ①
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
1 11
同理，设直线EF的方程为y=k x+ ，
2 2
x2
代入椭圆T： +y2=1，
4
得
( k2+ 1)
x2+k x-
3
=0，根据根与系数的关系得x +x =-
4k 2
，x x =-
3
， ②
2 4 2 4 3 4 4k2+1 3 4 4k2+1
2 2
由于C，P，F三点共线，
1 1
y - y -
得 4 2 = 1 2 ，
x -x x -x
4 P 1 P
1
y -
x -x 1 2 k x
1 P 1 1
即 = = ，
x -x 1 k x
4 P y - 2 4
4 2
(k -k )x x
1 2 1 4
x = ，同理，由于E，Q，D三点共线，
P k x -k x
1 1 2 4
(k -k )x x
得x = 1 2 2 3 ，结合①和②可得
Q k x -k x
1 2 2 3
(k -k )x x (k -k )x x
1 2 1 4 1 2 2 3
x +x = +
P Q k x -k x k x -k x
1 1 2 4 1 2 2 3
(k -k )x x (k x -k x )+(k -k )x x (k x -k x )
1 2 1 4 1 2 2 3 1 2 2 3 1 1 2 4
=
(k x -k x )(k x -k x )
1 1 2 4 1 2 2 3
(k -k )(k x x x -k x x x +k x x x -k x x x )
1 2 1 1 2 4 2 1 3 4 1 1 2 3 2 2 3 4
=
(k x -k x )(k x -k x )
1 1 2 4 1 2 2 3
-3k -4k -3k -4k
( )
(k -k )[k x x (x +x )-k x x (x +x )] (k -k ) 1 · 2 - 2 · 1
= 1 2 1 1 2 3 4 2 3 4 1 2 = 1 2 4k2+1 4k2+1 4k2+1 4k2+1
(k x -k x )(k x -k x ) 1 2 2 1
1 1 2 4 1 2 2 3
(k x -k x )(k x -k x )
1 1 2 4 1 2 2 3
[ 12k k 12k k ]
(k -k ) 1 2 - 1 2
=
1 2 (4k2+1)(4k2+1) (4k2+1)(4k2+1)
1 2 1 2
(k x -k x )(k x -k x )
1 1 2 4 1 2 2 3
=0，
即x =-x ，所以|x |=|x |，即|MP|=|MQ|.
P Q P Q
