文档内容
专题 04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题
类型一、菱形问题
例1．（1个动点）如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，
与y轴交于点A， ．
(1)如图1，请直接写出点A的坐标，并求出直线 的解析式．
(2)如图2，直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，且交y轴于点C，连接 ，若点P是直
线 上的一动点，当点P使得 时，请求出符合条件的点P坐标．
(3)在（2）的条件下，若点P在直线 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点A、
C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．（两个动点）在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，点 在 轴负半
轴上，且 ．
(1)求 两点坐标；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若点 是直线 上一点，且 ，求点 坐标；
(3)点 是 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点 坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】将一个矩形纸片 放置于平面直角坐标系中，点O ，点B ，点A在x轴，点
C在y轴．在 边上取一点D，将 沿 翻折，点B恰好落在边 上的点E处．
(1)如图1，求点E坐标和直线 的解析式；
(2)点P为x轴正半轴上的动点，设 ．
①如图2，当点P在线段 （不包含端点A，O）上运动时，过点P作直线l y轴，直线l被 截得
的线段长为d．求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
类型二、矩形存在性问题
例．（两个动点）如图，四边形 是矩形，点A、C在坐标轴上， 是由 绕点O顺时针旋
转 得到的，点D在x轴上，直线 交y轴于点F，交 于点H，线段 的长是2和4；
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学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的表达式；
(2)求 的面积；
(3)点 在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直
接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图， ， 是直线 与两坐标轴的交点，直线 过点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 ， ， 三点的坐标；
(2)点 是折线 上一动点．
①如图（1），当点 是线段 的中点时，在 轴上找一点 ，使 最小；用直尺和圆规画出点
的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点 的坐标；
②是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、正方形存在性问题
例1．已知，一次函数的图象 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，与直线 交于点 ，过
点 作 轴的平行线 ，点 是直线 上的一个动点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求点 ，点 的坐标；
(2)若 ，求点 的坐标；
(3)若点 是直线 上的一个动点，在平面内是否存在点 ，使四边形 是正方形?若存在，请求
出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线
（ ）交于点P， ．
(1)求直线 的解析式；
(2)连接 、 ，若直线 上存在一点Q，使得 ，求点Q的坐标；
(3)将直线 向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直
角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ： 与 轴、 轴的正半轴分
别相交于点A、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ，
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学科网（北京）股份有限公司(1)求直线 的解析式；
(2)求证： 是等腰直角三角形；
(3)将直线 沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ，在直线 上
存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴于点 ，过点 的直线
平行于y轴，交直线 于点D，点P是直线 上一动点（异于点D），连接 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)设 ，求 的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当 的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角 ，请直接写出点C的坐标．
2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB
上一动点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)点A的坐标为 ；
(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
(3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线
AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点 的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，直线 与 轴交于点
，与直线 交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点 是射线 上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 ．若以O、C、E、F为顶点的四边形
是平行四边形，请求出点 的坐标；
(3)设 是射线 上一点，在平面内是否存在点 ，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司4．（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l过点C，过点A作
，过点B作 ，垂足分别为D、E．求证： ， ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第二象限内，已知点G的坐标为 ，求点F的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 ： 与x轴交于点N，与y轴交于
点M，以线段 为直角边作等腰直角 ，请直接写出点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过 ， ，D三点，点D在
x轴上方，点C在x轴正半轴上，且 ，连接 ，已知 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得 轴，在x轴上取一点P，连接 是否存
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学科网（北京）股份有限公司在点M，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 交于点 ，与y轴交于点
，与x轴交于点C．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点 ，使得 ，请求出点P的坐标；
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