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专题 04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题
类型一、菱形问题
例1．（1个动点）如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线 与x轴交于点B，
与y轴交于点A， ．
(1)如图1，请直接写出点A的坐标，并求出直线 的解析式．
(2)如图2，直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，且交y轴于点C，连接 ，若点P是直
线 上的一动点，当点P使得 时，请求出符合条件的点P坐标．
(3)在（2）的条件下，若点P在直线 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点A、
C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或者
(3)存在，
【分析】（1）当 时， ，即 ，进而可求出 ，由图可知 ，问题随之得
解；
（2）根据直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，可得点D为线段 的中点，根据， ，可得 ，进而可得直线 的解析式 ，则 ，利用勾股定理可得
， ， ，根据 ，即可得 ；根
据点P是直线 上的一动点，直线 的解析式 ，可得设 ，即有 ，
，问题随之得解；
（3）在（2）中已得：直线 的解析式 ，设 ，根据点P在直线 上且在第三象限
内，可得 ， 为钝角，即点A、C、P、Q为顶点构成的菱形为菱形 ，根据 ，
可得 ，解得： （正值舍去），进而可得 ，在菱
形 中，利用平移可得 ．
【详解】（1）当 时， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴由图可知 ，
将 代入 中，有 ，
解得： ，
则直线 的解析式 ；
（2）∵直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，
∴点D为线段 的中点，
∵ ， ，∴ ，
将 代入 中，有 ，
解得： ，
∴直线 的解析式 ，
当 时， ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，同理： ， ，
∵直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P是直线 上的一动点，直线 的解析式 ，
∴设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 或者 ；
（3）在（2）中已得：直线 的解析式 ，
设 ，
∵点P在直线 上且在第三象限内，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点P在直线 上且在第三象限内，
∴ 为钝角，
∴点A、C、P、Q为顶点构成的菱形为菱形 ，
∴ ，
∴ ，
解得： （正值舍去），∴ ，
∵在菱形 中，将 向上平移线段 长的距离即可得到线段 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，菱形的性质，平移，中点坐标公式，勾股定理等知识，
熟练运用勾股定理求出两点间的距离和中点坐标公式是解答本题的关键．
例2．（两个动点）在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，点 在 轴负半
轴上，且 ．
(1)求 两点坐标；
(2)若点 是直线 上一点，且 ，求点 坐标；
(3)点 是 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1) ，
(2)点 坐标为 或
(3)存在，点 坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据直线与坐标的交点，可求出点 的坐标，再根据含 角的直角三角形的性质可求出
点 的坐标；
（3）运用待定系数求出直线 的解析式，设 ，可以用含 的式子表示 ，分类讨
论：点 在第三象限；点 在第一象限；图形结合即可求解；
（3）根据菱形的性质，分类讨论：如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形，可得点 在点 上
方和点 在点 下方两种情况；以 为对角线，四边形 为菱形；以 为对角线，四边形 为
菱形；图形结合即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 分别交 轴、 轴于点 ，
∴令 ， ，令 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵点 在 轴的负半轴上，
∴ ．
（2）解：由（1）可知， ， ，设直线 的解析式为 ，∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵点 是直线 上一点，
∴①当点 在第三象限，设 ，如图所示，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得， ，则 ，
∴ ；
②当点 在第一象限，设 ，如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作
于点 ，且 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ；
综上所述，点 坐标为 或 ．
（3）解：点 是 轴上的点，由（1）可知 ， ， ， ， ，
①如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形，
∴ ， ，且点 在第一象限，
∴ ；
②如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形，同理， ， ，且点 在第四象限，
∴ ；
③如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形，
在 中， ， ， ，
∴根据菱形的性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，设 ，则 ，
∴ ，即 ，解得， ， （不符合题意，舍去），
∵ ，
∴ ；
④如图所示，以 为对角线，四边形 为菱形，∴ ， 是对角线， ， ，
∴ ；
综上所述，点 是 轴上的点，坐标平面内存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形，点 坐
标为 或 或 或 ，
∴存在，点 坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图
形的特点，勾股定理等知识解题的关键．
【变式训练】将一个矩形纸片 放置于平面直角坐标系中，点O ，点B ，点A在x轴，点
C在y轴．在 边上取一点D，将 沿 翻折，点B恰好落在边 上的点E处．
(1)如图1，求点E坐标和直线 的解析式；
(2)点P为x轴正半轴上的动点，设 ．
①如图2，当点P在线段 （不包含端点A，O）上运动时，过点P作直线l y轴，直线l被 截得
的线段长为d．求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1) ，直线 的解析式为 ；
(2)① ；② 或
【分析】（1）根据翻折的性质、矩形的性质和勾股定理求出 ，可得点E的坐标，再根据待定系数
法求解直线 的解析式；
（2）①先根据折叠的性质和勾股定理求出点D的坐标，然后分别求出直线 的解析式，分两种情况：
当 和 时，利用d等于两点的纵坐标之差求解即可；
②分 为对角线和 为边两种情况，分别画出图形，结合菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）∵四边形 是矩形，点O ，点B ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，点B恰好落在边 上的点E处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
由折叠的性质知： ，设 ，则 ，
则在直角三角形 中，根据勾股定理可得 ，
即 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
则 ， ，
解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
当 时，如图，设l分别与 交于点H、G，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，设l分别与 交于点H、K，
∵ ，
∴ ，∴ ；
综上，d关于t的函数关系式为 ；
②当 为对角线时，如图，
∵四边形 是菱形，
∴设 ，则 ，
在直角三角形 中，根据勾股定理可得 ，解得 ，
即 ，
∵ ，∴ ；
当 为边时，如图，
∵四边形 是菱形，∴ ，
∵ ，∴ ，即为点B；
综上，点G的坐标是 或 ．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式
等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、灵活
应用数形结合思想是解题的关键．
类型二、矩形存在性问题
例．（两个动点）如图，四边形 是矩形，点A、C在坐标轴上， 是由 绕点O顺时针旋
转 得到的，点D在x轴上，直线 交y轴于点F，交 于点H，线段 的长是2和4；
(1)求直线 的表达式；
(2)求 的面积；
(3)点 在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直
接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，N点坐标为 或 或
【分析】（1）根据旋转的性质求出D点坐标，根据矩形的性质求出B点坐标，再用待定系数法求函数的
解析式即可；（2）分别求出 ，先确定直线 的解析式，从而求出H点坐标，再求 的面积即可；
（3）分三种情况讨论：当M点在x轴负半轴上时， ，再由F点平移到M点，D点平移到N点，
求出 ；当M点在y轴负半轴上时， ，再由D点平移到M点，F点平移到N点，求出
；当M点与原点重合时，此时 为矩形的对角线， ．
【详解】（1）∵四边形 是矩形，
∴
∵ 是由 绕点O顺时针旋转 得到的，
∴
∴
设直线 的解析式为
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）∵直线 的解析式为
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴
∴ ，
由旋转可知， ，
∴ ，∴
∴
∴直线 的解析式为
当 时， ∴
∴ ；
（3）存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，理由如下：
当M点在x轴负半轴上时，
∵
∴ ，
∴
∴ ∴ ,∴
∴ 即 解得 ∴ ，
∵F点平移到M点，D点平移到N点，∴ ；
当M点在y轴负半轴上时， 即 解得 ∴
∵D点平移到M点，F点平移到N点，∴
当M点与原点重合时，此时 为矩形的对角线，∴ ；综上所述：N点坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，平移的性质，
三角形全等的判定及性质，三角形旋转的性质是解题的关键．
【变式训练1】如图， ， 是直线 与两坐标轴的交点，直线 过点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 ， ， 三点的坐标；
(2)点 是折线 上一动点．
①如图（1），当点 是线段 的中点时，在 轴上找一点 ，使 最小；用直尺和圆规画出点
的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点 的坐标；
②是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)①作图见解析， ；②点 的坐标为 或
【分析】（1）根据直线与坐标轴交点，解方程即可得到结论；
（2）①如图1，根据中点坐标公式得到 ，点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，设直线 的
解析式为 ，求得 ，于是得到结论；
②当点 在 上时，由 得到 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ；当点
在 上时，如图，设 交 轴于点 ，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ；令 ，得 ，
， ，把 代入 ，得 ，
直线 为 ，
在 中，令 ，得 ，
点的坐标为 ；
（2）解：①如图所示：
点 是 的中点， ， ，
，
点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入，得 ，解得 ， ，
故 直线解析式为 ，
点 在 轴上，
令 ，得 点的坐标为 ；
②存在，
理由如下：当点 在 上时，设 交 轴于点 ，过 作 轴，如图1所示：，
为等腰直角三角形，即 ，
，
为等腰直角三角形，
， ，
，
， ， 点的坐标为 ；
当点 在 上时，设 交 轴于点 ，如图2所示：
在 与 中，，
，
点 的坐标为 ，
，设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
由图可知，点 是直线 与直线 交点，
联立方程组 ，解得 ，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最
短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，联立方程组求
解即可解决问题．
类型三、正方形存在性问题
例1．已知，一次函数的图象 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，与直线 交于点 ，过
点 作 轴的平行线 ，点 是直线 上的一个动点．
(1)求点 ，点 的坐标；
(2)若 ，求点 的坐标；(3)若点 是直线 上的一个动点，在平面内是否存在点 ，使四边形 是正方形?若存在，请求
出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点 ，点
(2) 或
(3)存在， 或
【分析】（1）分别令 ，求得点 ，点 ；
（2）联立 得出 的坐标，进而根据已知条件得出 ，即可求得点 的坐标；
（3）设点 、点 ，当为正方形 时， ，①点 在点 的左侧时，过 作
轴于 ，过 作 于 ，证明 ，则 ， ，解方
程组，即可求解；②当点 在点 的右侧时，同理可得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：令 ，解得 ，
令 则，解得 ，
点 ，点
（2）联立 解得：
为解得：
为 或
（3）存在 点的坐标为 或
理由如下：设点 、点
当为正方形 时，
①点 在点 的左侧时，如图 ，
过 作 轴于 ，过 作 于 ，
，
， ．
，
则 ， ，
即
解得： ， ．
为②当点 在点 的右侧时，如图 ，
同理可得 ，
∴ ， ，
即
解得： ， ，
为
综上， 或
【点睛】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴交点问题，正方形的性质，三角形面积问题，
坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
例2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线
（ ）交于点P， ．(1)求直线 的解析式；
(2)连接 、 ，若直线 上存在一点Q，使得 ，求点Q的坐标；
(3)将直线 向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直
角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ；
【分析】（1）先求出 ，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形 的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；
当点Q在点P的上方时；分别求出三角形 的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线 为 ，然后得到 ，然后分情况进行分析：当 作为矩形 的边时；
当 作为矩形 的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令 ，则 ，
∴点A为 ，
∴ ，
∵ ，
∴点C为 ，点D为 ，∴直线 的解析式为 ；
（2）解：在 中，令 ，则 ，
∴点B为 ，
∵ ，解得 ，
∴点P的坐标为 ；
∴ ；
∵点Q在直线 上，则设点Q为 ，则
当点Q在点B的下方时，如下图：
∵ ，点P的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∴点 的坐标为 ；
当点Q在点P的上方时，如上图：
，
∴ ，
∴
解得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
综合上述，点 的坐标为 或 ；
（3）解：∵直线 向下平移1个单位长度得到直线 ，
∴直线 为 ，
令 ，则 ，
∴点E的坐标为 ，
即 ；
当 作为矩形 的边时，如图：
∴点N的坐标为 ，∴点M的坐标为 ；
当 作为矩形 的对角线时，如图：
∴点F的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ；
综合上述，则点M的坐标为 或 ；
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ： 与 轴、 轴的正半轴分
别相交于点A、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ，(1)求直线 的解析式；
(2)求证： 是等腰直角三角形；
(3)将直线 沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ，在直线 上
存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或 或 或 或
【分析】（1）根据题意可得 ，再由 ，求出m的值，即可；
（2）先求出 ，再由两点坐标公式分别求出 的三边长，即可；
（3）分若以点P为直角顶点时；若以点 为直角顶点时；若以点 为直角顶点时，即可求解．
【详解】（1）解：∵过点 作平行于 轴的直线交 于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：对于直线 ： ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，∵点 ，
∴ ，
，
，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）解：设直线 交x轴于点F，则点 ，
∴ ，
设平移后直线的解析式为 ，
当 时， ，当 时， ，
∴点 ，
如图，若以点P为直角顶点时，过点P作 轴于点E，此时 ， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
此时点P的坐标为 ；如图，若以点P为直角顶点时，过点P作 轴于点E，此时 ， ， ，
，
同理此时点P的坐标为 ；
如图，若以点 为直角顶点时，过点P作 轴于点G，则 ，
同理 ，
∴ ， ，
∴ 或0（舍去），
∴ ，
∴ ，
∴此时点P的坐标为 ；
如图，若以点 为直角顶点时，过点 作 轴于点M，则 ， ，同理 ，
∴ ， ，
∴ （舍去）；
如图，若以点 为直角顶点时，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
此时点P的坐标为 ；
如图，若以点 为直角顶点时，
同理 ，∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴此时点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，利
用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴于点 ，过点 的直线
平行于y轴，交直线 于点D，点P是直线 上一动点（异于点D），连接 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)设 ，求 的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当 的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角 ，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时，
(3) 或 或 或【分析】（1）将 代入 得到 ；
（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段 的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结
论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得 ，于是得到点 ，推出 ．第1种情
况，如图2，过点C作 轴于点F根据全等三角形的性质得到 ，于是得到
；第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到，于是得到 ；第3种情况，当点P在点
D下方时，得到 或 ．
【详解】（1）∵直线 交x轴于点 ，
∴ ．
∴ ．
∴直线 ；
（2）由 得： ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴
当 时， ；
当 时， ；
（3）当 时， ，
解得 ，
∴点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图2， ，
过点C作 轴于点F，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
如图3， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴以点B为直角顶点作等腰直角 ，点C的坐标是 或 ．
当 时， ，可得 ，
同法可得 或 ．
综上所述，满足条件的点C坐标为 或 或 或 ．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB
上一动点．
(1)点A的坐标为 ；
(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
(3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线
AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为 或
(3)点 的坐标 或 或 或
【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解；
（2）分两种情况讨论，S OCD=2S AOC时，2S OCD=S AOC时，由三角形的面积关系可求点D坐标，利
△ △ △ △
用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求解；（3）分两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，根据含30度角的直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，
∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA= ，
∴A ．
（2）根据题意分两种情况讨论：①S OCD=2S AOC时，
△ △
∴ ×OC×OD=2× ×OC×AB，
∴OD=2AB=2 ，
∴点D（0，-2 ），
设直线AD的解析式为y=kx-2 ，
∴ =3k-2 ，
∴k= ，
∴直线AD的解析式为y= x-2 ，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S OCD=S AOC时，
△ △
∴2× ×OC×OD= ×OC×AB，
∴OD= AB= ，
∴点D（0，- ），设直线AD的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AD的解析式为y= x- ，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴当∠AOP=90°时，如图，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点 的坐标 或 ，综上所述：点 的坐标 或 或 或
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性
质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，直线 与 轴交于点
，与直线 交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点 是射线 上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 ．若以O、C、E、F为顶点的四边形
是平行四边形，请求出点 的坐标；
(3)设 是射线 上一点，在平面内是否存在点 ，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2) ，
(3)存在，点 的坐标为： 或 或
【分析】（1）把点A代入 ，求出m，从而得出A点坐标，利用待定系数法求直线 的解析式；
（2）设点 的坐标为 ，分点E在线段 上和在射线 上两种情况讨论，利用 列方
程求出a的值，即可得解；
（3）分① 是对角线，② 是对角线，③ 是对角线三种情况讨论，利用菱形的性质求出点P的坐标，
从而得到点Q的坐标．
【详解】（1）把点 代入函数 得： ，则点 ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入 得：
解得：
直线 的解析式为 ．
（2） 直线 与 轴交于点 ，
点 的坐标为 则有
轴，
当 时，以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
①当点 在线段 上时， ，
解得： ，点 的坐标为 ；
②当点 在线段 的延长线上时， ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 ， ．
（3）点 的坐标为： 或 或
补充理由如下：
设点Q的坐标是
①当 是对角线时， 是 的垂直平分线，且 与 的中点相同，菱形对角线的交点设为M，画图
如下：
∵ ，
∴直线 的解析式是直线 ， ， ，
令 ，解得 ，
∴点P的坐标是 ，
∵点M是 的中点，∴ ，
解得： ，
∴点Q的坐标是 ，
②当 是对角线时， ，且 ，画图如下，
设点P的坐标是 ，
∵ ，即 ，
解得： 或 (此时点P即为点C，舍去)
∴点P的坐标是
∴ ，
∴点Q的坐标是
③当 是对角线时，则有 ，作图如下：设点P的坐标是 ，∵ ，即
解得： 或 (此时点P在第二象限，舍去)，∴点P的坐标是
又∵ ，∴点Q的坐标是
综上所述：点 的坐标为： 或 或
【点睛】本题考查待定系数法求直线的解析式，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，
本题综合程度大，根据题意正确作图和分类讨论是解题的关键．
4．（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l过点C，过点A作
，过点B作 ，垂足分别为D、E．求证： ， ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第二象限内，已知点G的坐标为 ，求点F的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 ： 与x轴交于点N，与y轴交于
点M，以线段 为直角边作等腰直角 ，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）点F的坐标为 ；（3）点P的坐标为 或 或 或（
）
【分析】（1）根据 证明 即可得出结论；
（2）过点F作 轴，垂足为M，过点G作轴 于点N，交 的延长线于J，证明四边形
是矩形，得出 ， ，根据 证明 ，得出 ，
，证明 ， ，即可得出答案；
（3）分三种情况：点P为直角顶点，点M为直角顶点，点N为直角顶点，分别画出图形，求出点的坐标
即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ；
（2）解：如图2，过点F作 轴，垂足为M，过点G作 轴于点N，交 的延长线于J，
∵ ，
∴ ， ，
由已知可得 ，且 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点F的坐标为 ；
（3）解：对于直线 ，
令 ，可得 ，∴ ，
令 ，可得 ，
∴ ，
当点M为直角顶点时，如图所示，
过点 作 轴于点E，
由（1）知， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
同理可得 ．
当点N为直角顶点时，如图所示：过点 作 轴于点E，
由（1）知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ．
综上所述点P的坐标为 或 或 或（ ）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定
和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过 ， ，D三点，点D在
x轴上方，点C在x轴正半轴上，且 ，连接 ，已知 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得 轴，在x轴上取一点P，连接 是否存
在点M，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)线段 的表达式(2)点D的坐标为
(3)存在，点M的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求直线 的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到D到 的距离等于B点到 的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后
利用直线 的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．
（3）先求出直线 的表达式,再求出点N的坐标为 ，分情况讨论即可.
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 解得
线段 的表达式
（2）已知 ，且点C在x轴正半轴上，
∴点 ，
设点D的坐标为 ，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则
即 ，解得 ，
∴点D的坐标为
（3）存在，点M的坐标为 或 ，设直线 的表达式为
将点 代入 ，得 ，解得
直线 的表达式 ．
已知点M在线段 上，设点M的坐标为 ，则 ，
轴，且点N在 上∴将 代入 ，得， ，解得 ．
点N的坐标为
分三种情况讨论：
①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为
，
解得： ，
点M的坐标为
②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；
③如解图④，当P为直角顶点时， ，过点P作 轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且 ，点Q的坐标为 ，
，
，
解得 ，
∴点M的坐标为
综上所述，点M的坐标为 或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数 ,则需要两组x,y的值．也考查了
一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ： 交于点 ，与y轴交于点
，与x轴交于点C．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点 ，使得 ，请求出点P的坐标；(3)点M为直线 上的动点，过点M作y轴的平行线，交 于点N，点Q为y轴上一动点，且 为等腰
直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．
【答案】(1) ；
(2)点P坐标为 或 ；
(3)点M的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式．
（2）观察面积相等两个三角形，有公共边 ，故可看作是以 为底，高相等．所以点P在与 平行的
直线上，且到直线 距离等于点C到 距离．其中一条即为过点C的直线，根据平移，另一条经过点C
关于A的对称点．求出直线后，把 代入即求出点P坐标．
（3）由于直角不确定，需分类讨论，得到 与M的横坐标的关系．列得方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点 在直线 ： 上，
∴ ，即 ，
∵直线 ： 过点 ，点 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为： ；
（2）解：∵ ，
∴当以 为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线 平行的直线 为： ，
①直线 过点 ，得 为： ，当 时， ，
∴点 ，
②点 关于点 的对称点为 ，
直线 过点 ，得 为： ，
当 时， ，
∴点 ，
综上所述，点P坐标为 或 ；
（3）解：设 ，则 ，
∴ ，
①如图1，若 ， ，
则有 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
②如图2，图3，若 或 ，则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
综上所述，点M的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程（组）的解法，三角形面积，等腰直角三角形，
考查了分类讨论思想．第（3）题中三角形面积相等底相等即高相等是解题关键，第（4）题要注意分类讨
论的目的性，通过数形结合找等量关系．
