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专题 03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题
类型一、面积问题
例．如图，在四边形 中， ， ， ， ．点 从点 出发，
以每秒 的速度沿折线 方向运动，点 从点 出发，以每秒 的速度沿线段 方向向点 运动．
已知动点 ， 同时发，当点 运动到点 时， ， 运动停止，设运动时间为 ．
(1)直接写出 的长（cm）；
(2)当四边形 为平行四边形时，直接写出四边形 的周长（cm）；
(3)在点 、点 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积为 ？若存在，请求出所有满
足条件的 的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在四边形 中， ，
点P自点A沿折线 以 的速度运动，点Q自点C沿向 以 的速度运动．点P，Q
同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为 ．
(1)当P在 边上，点Q在 边上时，如图1．
①用含t的代数式表示： ___________， ___________；
②若四边形 是平行四边形，求t的值？(2)求 的面积S与运动时间t之间的数量关系式，并写出t的取值范围．
【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=18，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿
AD边做往返运动，在点P出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC边向终点(运
动，当点Q到达点C时，两点间时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(秒)．
(1)当t= 4时，PD的长度为
(2)当四边形ABQP为矩形时，t的值为
(3)设四边形ABQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)当PQ所在的直线将矩形ABCD分成的两部分的面积比为1∶2时，直接写出t的值．
【变式训练3】如图，在 中， ， 平分 ，过点 作 的平行线交 的延长线于
点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)如果 ， 的长 单位：米）是 的两根，求 的长以及菱形 的面积；
(3)在（2）的条件下，若动点 从 出发，，沿 以 米 秒的速度匀速直线运动到点C，动点 从 出
发，沿 以 米 秒的速度匀速直线运动到点 ，当 运动到 点时，运动停止．若 、 同时出发，问出发几秒钟后， 的面积为 米2
类型二、几何图形存在性问题
例1．如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发沿 方向以每秒 个单位
长的速度向点A匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒 个单位长的速度向点 匀速运动，当其
中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 运动的时间是 秒 ．过点 作
于点 ，连接DE，EF．
(1)求 的长；
(2)求证： ；
(3)当 为何值时， 为直角三角形？请说明理由．
例2．如图，已知正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向
点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向点 运动，若 、 两点同时出发运动时
间为 ．
(1)连接 、 、 ，求当 为何值时， 的面积为 ？(2)当点P在 上运动时，是否存在这样的t使得 是以 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出
符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
例3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出
发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，
点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．
(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明
理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明
理由．
例4．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，且 ， ，现有两动点 ， 分别
从 ， 同时出发，点 沿线段 向终点 运动，点 沿折线 向终点 运动，当其中一点到达
终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 （秒）．
(1)填空： ；菱形 的面积 ；菱形的高 ．(2)若点 的速度为每秒 个单位，点 的速度为每秒 个单位（其中 ），当 时在平面内存在点
使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的 的值．
类型三、直线位置关系问题
例1．如图，在 中， ， ， ，点D是边 的中点，动点P从点A出发
以每秒1个单位的速度沿 向终点C运动，过点P作 交折线 于点Q（点Q不与点D重
合），以 、 为邻边构造平行四边形 ，设点P的运动时间为t秒．
(1)直接写出 的长．
(2)当点Q落在 边上时，用含t的代数式表示 的长．
(3)当平行四边形 为轴对称图形时求t的值．
(4)连接 ，当 与 的某条边平行时，直接写出t的值．
例2．如图，在 中， ， ，连接 ，恰有 ，过点 作 于
点 ．动点 从点 出发沿 以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿
射线 运动，当点 到达终点时，点 也随之停止运动，设点 运动的时间为 ．(1)分别求 和 的长度；
(2)连接 ，当 时，判断 与 是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由；
(4)若点 关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出点 ， 之间的距离．
课后训练
1．如图，在四边形 中， ， ， ， ，动点 从 开始沿 边
向 点以 的速度运动，动点 从点 开始沿 向 点以 的速度运动， ， 分别从点 ，
同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为 秒．
(1) 为何值时，四边形 为矩形？
(2) 为何值时，四边形 为平行四边形？
2．如图，在 中， ， ，点 以每秒 的速度由点 向点 运动 不与点 重合 ，
过点 作直线 ， 的外角平分线 于点 ， 的平分线 于点 设运动时间为 秒．发现：
(1)在点 的运动过程中， 与 的关系是______，请写出理由．
(2)当 时， ______ ．
探究：当 ______时，四边形 是矩形，并证明你的结论．
拓展：若点 在运动过程中，能使四边形 是正方形，试写出线段 的长度． 直接写出结论即可
3．已知正方形 中， ， ．动点 以每秒2个单位速
度从点 出发沿线段 方向运动，动点 同时以每秒8个单位速度从 点出发沿正方形的边
方向顺时针作折线运动，当点 与点 相遇时停止运动，设点 的运动时间为 ．
(1)当运动时间为 秒时，点P与点Q相遇；
(2)当 时，求线段 的长度；
(3)连接 ，当 和 全等时，求 的值．
4．如图，在 中， ．动点P从点A出发沿 以 速度向终点D
运动，同时点Q从点C出发，以 速度沿射线 运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒 ．
(1) 的长为______．
(2)用含t的代数式表示线段 的长．
(3)连接 ，
①是否存在t的值，使得 与 互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t的值，使得 与 互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点P关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出t的值．
5．如图，矩形 中， ， ．一动点P从B点出发沿对角线 方向以每秒2个单位长
度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿 方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速
运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒 ．过点P
作 于点E，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
(3)当t为何值时， 为直角三角形？请说明理由．6．如图，在长方形 中， ， ，点 是 边上的一点， 、 分别长 、
，满足 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 运动，最终到达
点 ．设运动时间为 ．
(1) ______ ， ______ ；
(2) 为何值时， 把四边形 的周长平分？
(3)另有一点 从点 出发，按照 的路径运动，且速度为 ，若 、 两点同时出发，当其
中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求 为何值时， 的面积等于 ．
7．如图，长方形 中， ，现有一动点P从A出发以 的速度，沿长方形的边
返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
(1)当 时， ___________ ；
(2)当t为何值时，连接 是等腰三角形；
(3)Q为 边上的点，且 ，P与Q不重合，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与 全等．
