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微拓展 2 蒙日圆与阿基米德三角形
[考情分析] 在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些
问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
考点一 蒙日圆
x2 y2
在椭圆 + =1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半
a2 b2
径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.
x2
例1 (1)已知椭圆M的方程为 +y2=1，过平面内椭圆M外的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，
4
则点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
5
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
2
1
(2)(多选)已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4，离心率为e= ，P为蒙日圆上任一点，则以下说法
2
正确的是( )
A.过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，则有PA⊥PB
4
B.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，则k ·k =-
OP AB 3
[9 16]
C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则S 的取值范围为 ，
△APB 7 7
D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则S 的最大值为√3
△AOB
[规律方法] (1)设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.
性质1 PA⊥PB.
b2
性质2 k ·k =- .
OP AB a2
b2 b2
性质3 k ·k =- ，k ·k =- (垂径定理的推广).
OA PA a2 OB PB a2
性质4 PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB分别交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.ab a2b2
性质6 S 的最大值为 ，S 的最小值为 .
△AOB 2 △AOB a2+b2
a4 b4
性质7 S 的最大值为 ，S 的最小值为 .
△APB a2+b2 △APB a2+b2
(2)蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
x2 y2
双曲线 - =1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2-b2(只有当a>b时
a2 b2
才有蒙日圆).
p
(3)抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x=- (可以看作半
2
径无穷大的圆).
x2 y2
跟踪演练1 (多选)已知椭圆C： + =1，O为原点，则下列说法中正确的是( )
5 4
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9
B.过直线l：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线
4
OP的斜率为-
3
C.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦
MN
D.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，且O，P到MN的距离分别
20
为d ，d ，则d d =
1 2 1 2 9
考点二 阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.
例2 (1)过抛物线x2=2py(p>0)上一点M(x ，y )的切线方程为 .
0 0
(2)(多选)已知A(x ，y )，B(x ，y )是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列
1 1 2 2
说法中正确的是( )
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
[规律方法] (1)阿基米德三角形的常见性质性质1 阿基米德三角形底边上的中线MQ平行(或重合)于抛物线的对称轴.
性质2 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
性质3 抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
a3
性质5 底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为 .
8p
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2.
(2)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.
(3)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.
跟踪演练2 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点，若直
线l方程为ax+by+c=0，则定点的坐标为 .
1.已知☉O：x2+y2=1，若在直线y=√kx+2上总存在点P，使得过点P的☉O的两条切线互相垂直，则实数k
的取值范围为( )
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)
x2 y2
2.已知双曲线 - =1(a>1)上存在一点M，过点M向圆x2+y2=1作两条切线MA，MB，若⃗MA·⃗MB=0，则
a2 4
实数a的取值范围是( )
A.(1，√2) B.(1，√2]
C.[√2，+∞) D.(√2，+∞)
3.若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线
AB的方程为( )
A.x-2y-1=0 B.2x+y-2=0
C.x+2y-1=0 D.2x-y-2=0
y2
4.(2024·六安模拟)在圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上存在点P，使得过点P能作椭圆x2+ =1的两条相互垂直的切
3
线，则r的取值范围是( )
A.[1，7] B.[1，9]
C.[3，7] D.[3，9]x2 y2 3
5.(多选)若椭圆Γ： + =1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2+y2= a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与
a2 b2 2
C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则( )
√2
A.椭圆Γ的离心率为
2
3
B.△MPQ面积的最大值为 a2
2
C.M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2-√2)a
1
D.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k ，k ，则k k =-
1 2 1 2 2
6.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为( )
2 2
A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB=90°
(x +x x x )
B.点P的坐标是 1 2， 1 2
2 2
C.△PAB的边AB所在的直线方程为(x +x )x-2py-x x =0
1 2 1 2
D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
x2 y2 √6
7.已知双曲线C： - =1(a>b>0)的离心率为 ，若过点E(-1，0)的双曲线C的两条切线互相垂直，则双
a2 b2 2
曲线C的标准方程为 .
8.过抛物线y2=8x(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切
线l ，l 相交于点P，则△PAB的面积的最小值为 .
1 2
9.如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2=2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C
上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
( p)
(1)若AP⊥PB，证明：直线AB经过点 0， ；
2
S
(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S ，S ，求 1的值.
1 2 S
2x2 y2
10.已知圆O：x2+y2=5，椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 且垂直于x轴的直线
a2 b2 1 2 1
被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2√2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆的两条切线与椭圆相切于A，B两点.
①若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；
②作PQ⊥AB于点Q，求证：|QF |+|QF |是定值.
1 2答案精析
例1 (1)A
x2 y2 1 c 1
(2)ACD [由题意知椭圆C： + =1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为e= ，故a=2， = ，
a2 b2 2 a 2
所以c=1，b2=a2-c2=3，
x2 y2
则椭圆方程为 + =1，“蒙日圆”的方程为x2+y2=7.
4 3
对于A，由蒙日圆的定义知PA⊥PB，A正确；
对于B，设A(x ，y )，B(x ，y )，则PA的方程为
2 2 3 3
x x y y
2 + 2 =1，
4 3
x x y y
PB的方程为 3 + 3 =1，
4 3
x x y y x x y y
两切线过点P(x ，y )，故 2 1+ 2 1=1， 3 1+ 3 1=1，
1 1 4 3 4 3
xx y y
即点A，B在直线 1+ 1=1上，因为两点确定一条直线，
4 3
xx y y 3x y
故直线AB的方程为 1+ 1=1，则k =- 1 ，而k = 1 ，
4 3 AB 4 y OP x
1 1
3
故k ·k =- ，B错误；
OP AB 4
对于C，由于直线AB的方程为
xx y y x2 y2
1+ 1=1，联立 + =1，
4 3 4 3
得(3x2 +4y2 )x2-24x x+48-16y2 =0，
1 1 1 1
Δ=(24x )2-4(3x2+4y2)(48-16y2)=64y2(3x2+4y2-12)>0，
1 1 1 1 1 1 1
24x
1
则x +x = ，
2 3 3x2+4 y2
1 1
48-16 y2
1
x x = ，
2 3 3x2+4 y2
1 1故|AB|=√1+k2 ·√(x +x ) 2-4x x
AB 2 3 2 3
√ 9x2 8|y |√3x2+4 y2-12
= 1+ 1 × 1 1 1
16 y2 3x2+4 y2
1 1 1
2√9x2+16 y2√3x2+4 y2-12
= 1 1 1 1 ，
3x2+4 y2
1 1
又点P到直线AB的距离
|3x2+4 y2-12|
1 1
d = ，
1 √9x2+16 y2
1 1
1
故S = |AB|d
△APB 2 1
√9x2+16 y2√3x2+4 y2-12 |3x2+4 y2-12|
= 1 1 1 1 · 1 1
3x2+4 y2 √9x2+16 y2
1 1 1 1
(3x2+4 y2-12)√3x2+4 y2-12
= 1 1 1 1 ，
3x2+4 y2
1 1
又x2 +y2
=7，
1 1
故令t=√3x2+4 y2-12
1 1
=√y2+9，t∈[3，4]，
1
1
t3
则S = =1 12，
△APB t2+12 +
t t3
1 12
令f(t)= + ，显然f(t)在[3，4]上单调递减，
t t3
1
故y=1 12在[3，4]上单调递增，
+
t t3
1 27 9
则(S ) = = = ，
△APB min f(3) 21 7
1 64 16
(S ) = = = ，
△APB max f(4) 28 7
[9 16]
即S 的取值范围为 ， ，
△APB 7 7
C正确；
2√9x2+16 y2√3x2+4 y2-12
1 1 1 1
对于D，由C的分析可知|AB|= ，
3x2+4 y2
1 1
而点O到直线AB的距离|-12|
d = ，
2 √9x2+16 y2
1 1
1
故S = |AB|d
△AOB 2 2
√9x2+16 y2√3x2+4 y2-12 |-12|
= 1 1 1 1 ·
3x2+4 y2 √9x2+16 y2
1 1 1 1
12√3x2+4 y2-12
= 1 1 ，
3x2+4 y2
1 1
又x2 +y2
=7，
1 1
故令t=√3x2+4 y2-12
1 1
=√y2+9，t∈[3，4]，
1
12
12t
则S = = 12，
△AOB t2+12 t+
t
12
而t+ ≥2√12=4√3，
t
12
当且仅当t= ，即t=2√3∈[3，4]时，等号成立，
t
12
12
故S = 12≤ =√3，
△AOB t+ 4√3
t
即S 的最大值为√3，D正确.]
△AOB
跟踪演练1 ACD
例2 (1)x x=p(y+y )
0 0
(2)ABC [对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过A的切线方程为
y y=p(x+x )，
1 1
过B的切线方程为y y=p(x+x )，
2 2
{y2=2px ,
1 1 ( y y y + y )
联立方程， y2=2px ,解得两切线交点Q 1 2， 1 2 ，
2 2 2p 2
(x +x y + y )
又M
1 2， 1 2
，
2 2
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x ，y )，则直线AB的方程为y y=p(x+x )，
0 0 0 0(p )
又直线AB经过焦点F ，0 ，
2
(p )
∴0=p +x ，
2 0
p
∴x =- ，C正确；
0 2
p
对于D，若底边AB过焦点，则Q点的轨迹方程是x=- ，
2
易验证k ·k =-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，
QA QB
x +x p y2+ y2 p 2|y y | p
∴|QM|= 1 2+ = 1 2+ ≥ 1 2 + =p，由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
2 2 4 p 2 4 p 2
1
∴S = |QM||y -y |≥|QM|·√|y y |≥p2，当且仅当y =-y 时，等号成立，
△QAB 2 1 2 1 2 1 2
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.]
(c bp)
跟踪演练2 ，-
a a
思维提升 拓展练习
1.A 2.B 3.A 4.C
5.ABD [由蒙日圆的定义可知
3
a2+b2= a2，得a2=2b2，
2
所以椭圆Γ的离心率
c √ b2 √2
e= = 1- = ，故A正确；
a a2 2
因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ=90°，
所以PQ为圆C的直径，
√3
所以|PQ|=2× a2=√6a，
2
所以△MPQ面积的最大值为
1 √3 √6a √3
|PQ|× a2= × a2
2 2 2 2
3
= a2，故B正确；
2
设M(x ，y )，Γ的左焦点为F(-c，0)，
0 0
1
因为c2=a2-b2= a2，
23 √2 1
所以|MF|2=(x +c)2+y2 =x2 +y2 +2x c+c2= a2+2x × a+ a2=2a2+√2ax ，
0 0 0 0 0 2 0 2 2 0
√6 √6
又- a≤x ≤ a，
2 0 2
所以(2-√3)a2≤|MF|2≤(2+√3)a2，
(√6-√2)a
则M到Γ的左焦点的距离的最小值为 ，故C不正确；
2
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设A(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2
y - y
1 2
则B(-x ，-y )，k = ，
1 1 1 x -x
1 2
y + y
1 2
k = ，
2 x +x
1 2
{
x2 y2
1 + 1=1,
2b2 b2
又
x2 y2
2 + 2=1,
2b2 b2
x2-x2 y2- y2
所以
1 2+ 1 2=0，
2b2 b2
y2- y2 y - y y + y
1 2 1 2 1 2
所以 = ·
x2-x2 x -x x +x
1 2 1 2 1 2
1
=- ，
2
1
所以k k =- ，故D正确.]
1 2 2
(
x2
)
6.ACD [由题意设A x ， 1 ，
1 2p
(
x2
)
B x ， 2 ，x
