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培优点 11 阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形．如图．
性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴．
性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直
线，该直线与以C点为中点的弦平行．
性质3 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定
点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C.
性质4 底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为.
性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形
的面积最小，最小值为p2.
例 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B
两点，M为弦AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l ，l ，l ，l 相交于点P.下面关
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于△PAB的描述正确的是( )
A．点P必在抛物线的准线上
B．AP⊥PB
C．设A(x，y)，B(x，y)，则△PAB的面积S的最小值为
1 1 2 2
D．PF⊥AB
思维升华 (1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质．
(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆．
跟踪训练 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋
4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
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(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
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1．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当弦
AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：
①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.
若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐
标为4，则直线AB的方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0
C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0
2．我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的交
点)叫作“阿基米德三角形”．当弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②PA⊥PB；
③PF⊥AB.
已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若AB＝8，则抛物线的“阿基米德
三角形”PAB的面积为( )
A．8 B．4 C．2 D.
3．已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，AB＝8，且抛物线在
A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为( )
A．8 B．16 C．16 D．32
4．(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不
同的点A(x，y)，B(x，y)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.则下列结论
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正确的为( )
A．若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形且∠APB＝90°
B．点P的坐标是
C．弦AB所在直线的方程为(x＋x)x－2py－xx＝0
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D．△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
5．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德
最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成
的阿基米德三角形面积的.已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛
物线C的切线的斜率为________；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．6.如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动
点Q为抛物线C上在A，B之间上的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于
点M，N.
(1)若PA⊥PB，证明：直线AB经过点；
(2)若△PMN，△ABQ的面积分别为S，S，求的值．
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