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培优点 11 阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形．如图．
性质1 阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴．
性质2 若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直
线，该直线与以C点为中点的弦平行．
性质3 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边 AB过
定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C.
性质4 底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为.
性质5 若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形
的面积最小，最小值为p2.
例 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B
两点，M为弦AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l ，l ，l ，l 相交于点P.下面
1 2 1 2
关于△PAB的描述正确的是( )
A．点P必在抛物线的准线上
B．AP⊥PB
C．设A(x，y)，B(x，y)，则△PAB的面积S的最小值为
1 1 2 2
D．PF⊥AB
答案 ABD
解析 先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x，y)处的切线方程为yy＝px＋px.
0 0 0 0
证明如下：
由于点(x，y)在抛物线y2＝2px上，则y＝2px，
0 0 0
联立可得2yy＝y2＋2px，
0 0
即y2－2yy＋y＝0，Δ＝0，
0
所以抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x，y)处的切线方程为yy＝px＋px.
0 0 0 0
如图所示．设A(x，y)，B(x，y)，直线AB的方程为x＝my＋，
1 1 2 2联立
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系可得yy＝－p2，
1 2
y＋y＝2mp，
1 2
对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为yy＝px＋px，
1 1
即yy＝px＋，
1
同理可知，抛物线y2＝2px在点B处的切线方程为yy＝px＋，
2
联立解得
所以点P的横坐标为－，
即点P在抛物线的准线上，A正确；
对于B，直线l 的斜率为k＝，
1 1
直线l 的斜率为k＝，
2 2
所以kk＝＝－1，
1 2
所以AP⊥PB，B正确；
对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，
此时PF⊥AB；
当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为k ＝，直线PF的斜率为k ＝＝－m，
AB PF
所以k ·k ＝－1，则PF⊥AB.
AB PF
综上，PF⊥AB，D正确；
对于C，|AB|＝·|y－y|，
1 2
|PF|＝＝＝p，
所以S ＝|AB|·|PF|
△PAB
＝·|y－y|·p
1 2
＝(m2＋1)·
＝·(m2＋1)·
≥·2＝p2，
当且仅当时，等号成立，C错误．
思维升华 (1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质．(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆．
跟踪训练 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋
4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
解 (1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得
p＝2.
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x＋x＝4k，xx＝－4b，
1 2 1 2
所以|AB|＝|x－x|＝·＝4·.
1 2
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程
为y－＝(x－x)，即y＝x－，
1
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－，
联立则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
即－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S ＝|AB|·d＝4.
△PAB
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5.
因为t＝在[3,5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，t ＝5，此时k＝0，所以△PAB
max
面积的最大值为20.
1．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当
弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：
①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.
若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐
标为4，则直线AB的方程为( )
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0
C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0答案 A
解析 设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程
为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点
P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，
所以直线PF的斜率为＝－2.
又因为PF⊥AB，
所以直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为y－0＝(x－1)，
即x－2y－1＝0.
2．我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的
交点)叫作“阿基米德三角形”．当弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②PA⊥PB；
③PF⊥AB.
已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的“阿基米
德三角形”PAB的面积为( )
A．8 B．4 C．2 D.
答案 A
解析 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝k(x－1)经过抛物线的焦点，
依题意，k≠0，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去y并整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则x＋x＝，xx＝1，
1 2 1 2
|AB|＝x＋x＋2＝＋2＝8，
1 2
解得k2＝1，即k＝±1，
当k＝1时，因为△PAB为“阿基米德三角形”，
则直线PF的斜率k ＝－1，直线PF的方程为y＝－x＋1，
PF
点P必在抛物线的准线x＝－1上，
所以点P的坐标为P(－1,2)，|PF|＝2，
又PF⊥AB，于是得S ＝|AB|·|PF|＝×8×2＝8，
△PAB
由对称性可知，当k＝－1时，同理有S ＝8，
△PAB
所以△PAB的面积是8.
3．已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在
A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为( )A．8 B．16 C．16 D．32
答案 D
解析 方法一 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立得x2－4kx－4b＝0，
由根与系数的关系得x＋x＝4k，xx＝－4b，
1 2 1 2
又|AB|＝|x－x|＝·＝8，故k2＋b＝，
1 2
又x2＝4y，∴y＝x2，∴y′＝x，
故直线PA的方程为y－y＝x(x－x)，
1 1 1
即y＝xx－x，
1
同理，直线PB的方程为y＝xx－x，
2
联立直线PA，PB方程可得x＝，y＝，
即x＝＝2k，y＝＝－b，即P(2k，－b)，
∴点P到直线AB的距离d＝，
∴S ＝|AB|·d＝×8×＝4×·＝ ，
△PAB
当k＝0时，(S ) ＝32.
△PAB max
方法二 由阿基米德三角形的性质知(S ) ＝＝＝32.
△PAB max
4．(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2＝2py(p>0)上有两个
不同的点A(x ，y)，B(x ，y)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.则下列
1 1 2 2
结论正确的为( )
A．若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形且∠APB＝90°
B．点P的坐标是
C．弦AB所在直线的方程为(x＋x)x－2py－xx＝0
1 2 1 2
D．△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
答案 ACD
解析 由题意设A，B，x0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，
动点Q为抛物线C上在A，B之间上的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB
于点M，N.
(1)若PA⊥PB，证明：直线AB经过点；
(2)若△PMN，△ABQ的面积分别为S，S，求的值．
1 2(1)证明 设A(x，y)，B(x，y)，直线AB的方程为y＝kx＋b，
1 1 2 2
由消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，
由根与系数的关系得xx＝－2pb，
1 2
设抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y＝t(x－x)，
1 1
由消去y并整理得
x2－2ptx＋2ptx －2py＝0，
1 1
则有Δ＝4p2t2－4(2ptx －2py)＝4p2t2－4(2ptx －x)＝0，解得t＝，
1 1 1
同理，抛物线C：x2＝2py在点B处切线斜率为，
因为PA⊥PB，则有·＝＝－1，
解得b＝，
所以直线AB：y＝kx＋恒过定点.
(2)解 由(1)知，切线PA的方程为y－y＝(x－x)，整理得y＝x－y，
1 1 1
同理，切线PB的方程为y＝x－y，
2
设点Q(x，y)，
0 0
则切线MN的方程为y＝x－y，
0
由点P(m，n)，则n＝m－y，n＝m－y，
1 2
因此直线AB的方程为y＝x－n，
则|AB|＝|x－x|，点Q(x，y)到直线AB的距离d＝，
1 2 0 0 2
则S＝|x－x|，
2 1 2
由解得点M的横坐标x ＝，
M
同理，点N的横坐标x ＝，
N
则|MN|＝|x －x |＝，
M N
点P(m，n)到直线MN的距离d＝，
1
则S＝|x－x|，
1 1 2
所以＝.
