文档内容
专题 18 圆锥曲线核心考点压轴小题全面梳理与分类解析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................20
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 20
题型二：蒙日圆 24
题型三：阿基米德三角形 29
题型四：仿射变换问题 34
题型五：圆锥曲线第二定义 38
题型六：焦半径问题 41
题型七：圆锥曲线第三定义 44
题型八：定比点差法与点差法 47
题型九：切线问题 52
题型十：焦点三角形问题 56
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题 61重难点突破：圆锥曲线与四心问题 65
高考数学中，圆锥曲线的定义、方程及其几何性质是核心考点。这主要包括三个方面：一是求解圆锥
曲线的标准方程；二是涉及椭圆或双曲线的离心率计算，以及与双曲线渐近线相关的问题；三是探讨抛物
线的性质及其应用。这些考点通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第10题，6分
2024年I卷第11题，6分
掌握圆锥曲线定
圆锥曲线的定义 2023年北京卷第6题，4分 对于 2025 年高考数
义性质
学的预测，圆锥曲线相关
2022年I卷第11题，5分
知识点可能会以小题形式
2021年I卷第5题，5分 出现，同时也有可能在解
答题中作为独立部分进行
2023年I卷第6题，5分 考查。具体来说：一是圆
掌握圆的方程，
锥曲线相关题目将以选择
圆问题 熟练解决圆的问 2023年乙卷第12题，5分
题或填空题的形式出现，
题
2023年乙卷第11题，5分 重点考查学生的数学抽
象、数学建模、逻辑推理
和数学运算等核心素养；
2024年天津卷第8题，5分
二是圆锥曲线的定义和性
掌握焦点三角形
2023年甲卷第12题，5分 质将成为考查的热点。
焦点三角形 性质，熟练解决
2023年甲卷第7题，5分
相关问题
2021年I卷第5题，5分1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹
曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 或
进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求 ；在双曲线的定
义中，要求 ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、
面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．
不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不
等关系等．
x2 y2
+ =1(a>b>0)
5、椭圆a2 b2
焦点为
F
1，
F
2，P为椭圆上的点，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
sinθ θ
S =b2 ¿ =b2tan
ΔF 1 PF 2 1+cosθ 2
x2 y2
− =1(a>0，b>0)
a2 b2
的焦点为F、F，B为双曲线上的点，
∠F
1
BF
2
=α
，则
1 2
6、双曲线
sinα b2
S =b2 ¿ =
△F 1 BF 2 1−cosa tan α
2．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设 为椭圆上的一点，
①焦点在 轴：焦半径 (左加右减)；② 焦点在 轴：焦半径 (上加下减)．
8、双曲线焦半径
设 为双曲线上的一点，①焦点在 轴： 在左支 ， 在右支 ；
②焦点在 轴： 在下支 ， 在上支 ．
9、设 、 是椭圆 的两个焦点，O 是椭圆的中心，P 是椭圆上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
10、设 、 是双曲线 的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，
∠F PF =θ
1 2 ，则 ．
11、等轴双曲线满足： ；
12、若椭圆（双曲线）与直线 交于 两点，其中 ， ， ，为 中点，
（椭圆）； （双曲线）1．（2024年天津高考数学真题）双曲线 的左、右焦点分别为 点 在双曲线
右支上，直线 的斜率为2．若 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，
则由 得 ，
由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，所以双曲线的方程为 .
故选：A
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P
作 的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离
与到定直线 的距离之积为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点P(x,y)，则 且 ，
因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A正确.
对于B：又曲线方程为 ，而 ，
故 .
当 时， ，
故 在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得 ，取 ，
则 ，而 ，故此时 ，
故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点 在曲线上时，由C的分析可得 ，故 ，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
5．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．故选：B.
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点
P在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
8．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向
一条渐近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 （舍去），
故选：C.
10．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
抛物线 的准线l经过 ，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，则双曲线的方程
为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：D.
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别
为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，故椭圆的方程为 .
故选：B.
12．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦
点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
3p √6p
代入抛物线可得 ，则A( , )，则直线 的斜率为 ，A正确；
4 2
1 p
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得 ，
2 √6 2
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
p √6p
B( ,− )，
3 3
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；3p √6p p √6p 3p p √6p ( √6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,− )= ⋅ + ⋅ − =− <0，则 为钝
4 2 3 3 4 3 2 3 4
角，
p √6p 2p √6p p ( 2p) √6p ( √6p) 5p2
又⃑MA⋅⃑MB=(− , )⋅(− ,− )=− ⋅ − + ⋅ − =− <0，则
4 2 3 3 4 3 2 3 6
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典例1-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆.已知点 分别是抛物线 和 上的动点，若抛物线 的焦
点为 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【答案】B
【解析】易知抛物线 的焦点 ， 不在圆E上，
将圆 变形为：
即 ，
，当且仅当 三点共线时取等号；
设 ，则 ，当且仅当 时取等号；
所以 ，故
所以 的最小值为 ，
故选：B．【典例1-2】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的点的轨
迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 ， ，动点 满足 ，
记动点 的轨迹为曲线 ，给出下列四个结论：
①曲线 的方程为
②曲线 上存在点 ，使得 到点 距离为6；
③曲线 上存在点 ，使得 到直线 的距离为 ；
④曲线 上存在点 ，使得 到点 与点 距离之和为8．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设 ，因为M满足 ，所以 ，
整理可得： ，即 ，所以①正确；
对于②，由①可知，点 在圆 的外部，
因为 到圆心 的距离 ，半径为2，
所以圆上的点D到 的距离的范围为 ，
而 ，所以②不正确；
对于③，圆心 到直线 的距离为 ，
即直线和圆相交，
所以圆上的点E到直线 的距离的范围为 ，又 ，
即 ，故③正确；
对于④，假设存在这样的点F，使得F到点B与点 的距离之和为8，
则F在以点B与点 为焦点，实轴长为8的椭圆上，
即F在椭圆 上，
易知椭圆 与曲线W： 有交点 ，
故曲线W上存在点F，使得F到点B与点 的距离之和为8，所以④正确．
故正确结论的个数为3，
故选：C
【变式1-1】已知平面上两定点 ，则所有满足 且 的点 的轨迹是一个圆心在直线
上，半径为 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为
6的正方体 表面上的动点 满足 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在图1中，以 为原点建立平面直角坐标系 如图2所示，设阿氏圆圆心为 ，半径为 .
因为 ，所以 ，所以 .设圆 与 交于点 .由阿氏圆性质，知 .
又 ，所以 .又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以点 在空间内的轨迹为以 为球心，半径为4的球.
①当点 在面 内部时，如图2所示，截面圆与 分别交于点 ，所以点 在面 内的
轨迹为 .因为在Rt 中， ，所以 ，所以 ，所以点 在
面 内部的轨迹长为 .
②同理，点 在面 内部的轨迹长为 .
③当点 在面 内部时，如图3所示，因为 平面 ，所以平面 截球所得小圆是以
为圆心，以 长为半径的圆，截面圆与 分别交于点 ，且 ，
所以点 在面 内的轨迹为 ，且 .
综上，点 的轨迹长度为 .
故选：C【变式1-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的
距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，
点Q为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
化简整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .故选：D.
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点 与两定点
A， 的距离之比为 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若 ， ，点 满足
，则直线 与点 的轨迹的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
化简得点 的轨迹方程为 ，表示的是以 为圆心，2为半径的圆，
而直线 恒经过圆上的点 ，故直线 与点 的轨迹的交点个数是1或2.
故选：D.
题型二：蒙日圆
【典例2-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆 的焦点在 轴上， 为椭圆上任意两点，动点 在直线
上.若 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 椭圆 的焦点在 轴上， ，
直线 ， 与椭圆 都相切，
， 所围成矩形的外接圆 即为椭圆 的蒙日圆，
为椭圆 上任意两个动点，动点 满足 为锐角，
点 在圆 外，又动点 在直线 上， 直线 与圆
相离， ，解得： ，
又 ， ；
椭圆 离心率 ， ， .
故选：B.
【典例2-2】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切
的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆
的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分别与 交于
， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆 的离心率为② 到 的左焦点的距离的最小值为
③ 面积的最大值为
④若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】对于①，直线 ， 与椭圆 都相切，且这两条直线垂直，因此其交点 在圆 上，
即有 ，则 ，椭圆 的离心率 ，①正确；
对于③，依题意，点 均在圆 上，且 ，因此线段 是圆 的直径，
即有 ，显然圆 上的点到直线 距离最大值为圆 的半径 ，即点 到直线 距离最大
值为 ，
因此 面积的最大值为 ，③正确；
对于②，令 ，有 ，令椭圆 的左焦点 ，有 ，
则 ，而 ，因此 ，即 ，
所以 到 的左焦点的距离的最小值为 ，②正确；
对于④，依题意，直线 过原点O，即点A，B关于原点O对称，设 ，有 ，
于是得 ，
又由①知， ，得 ，
所以 ，④正确，
所以说法正确的有①②③④.
故选：D.
【变式2-1】法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，
我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设 为椭圆 的一个外切长方形（ 的
四条边所在直线均与椭圆 相切），若 在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则 的面积为（ ）
A． B．26 C． D．
【答案】C
【解析】依题意，直线 ， 都与椭圆 ，且它们围成四边形是矩形，
于是该矩形是椭圆 的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为 ，半径 ，
因此该椭圆 的蒙日圆方程为 ，
M为椭圆 的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、 、 ，其中P在第一象限，显然P与 关于原点 对称，Q与 关于原点对称，
而 P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即 ，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0，
设过P且与椭圆C相切的直线为 ，由 消去y并整理，
得 ，由 ，
化简得 ，解得 或 ，不妨取直线PQ方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
O点到直线PQ的距离为 ，O点到直线 的距离为 ，
所以M的面积为 .
故选：C
【变式2-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心
为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 的蒙日圆方程为
，现有椭圆 的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与
该蒙日圆分别交于P、Q两点，若 面积的最大值为34，则a的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知椭圆 的蒙日圆的半径为 ，因为 ，
所以 为蒙日圆的直径，所以 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 ，
由 面积的最大值为34，所以 ，则 ，
故选：A.
1．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是
以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆是
，若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】由已知条件可知， 且 ，
蒙日圆方程为 ，蒙日圆的圆心为原点 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则 或 ，
又因为 ，所以， 或 ，解得 或 ，
故选：B.
题型三：阿基米德三角形
【典例3-1】抛物线上任意两点 ， 处的切线交于点 ，称 为“阿基米德三角形”，当线段 经
过抛物线的焦点 时， 具有以下特征：
① 点必在抛物线的准线上；② ．
若经过抛物线 的焦点的一条弦为 ，“阿基米德三角形”为 ，且点 的纵坐标为4，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为 ，
由题意可知，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
因为 为“阿基米德三角形”，且线段 经过抛物线 的焦点，
所以点 必在抛物线的准线上，
所以点 ，
直线 的斜率为 ．
又因为 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
故选：A．
【典例3-2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形 （P为两切线
的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的
焦点F时， 具有以下性质：
P点必在抛物线的准线上；
①② ；
③ ．
已知直线 与抛物线 交于A，B点，若 ，则抛物线的“阿基米德三角形”
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，直线 经过抛物线的焦点，
依题意， ，设 ， ，
由 消去y并整理得 ，则 ， ，
，解得 ，即 ，
当 时，因 为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率 ，直线PF方程为： ，
点P必在抛物线的准线 上，点 ， ，
又 ，于是得 ，
由对称性可知，当 时，同理有 ，
所以 的面积是 .
故选：A
【变式3-1】阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他
研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有
两个不同的点 ，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于P.给出如下结论，其中正
确的为（ ）
（1）若弦 过焦点，则 为直角三角形且 ；
（2）点P的坐标是 ；
（3） 的边 所在的直线方程为 ；
（4） 的边 上的中线与y轴平行（或重合）.
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）
（3）（4）
【答案】D
【解析】由题意设 ， ， ，由 ，得 ，则 ，所以 ，
，若弦 过焦点，∴ ，∴ ，∴ ，故（1）正确；
以点 为切点的切线方程为 ，以点 为切点的切线方程为 ，联立消
去 得 ，将 代入 ，得 ，所以 ，故（2）错
误；设 为抛物线弦 的中点， 的横坐标为 ，因此则直线 平行于 轴，即平行于抛物线的
对称轴，故（4）正确；设直线 的斜率为 ，故直线 的方程为
，化简得 ，故（3）正确，
故选：D.．
1．过抛物线 的焦点 作抛物线的弦与抛物线交于 、 两点， 为 的中点，分别过 、
两点作抛物线的切线 、 相交于点 . 又常被称作阿基米德三角形.下面关于 的描述：
① 点必在抛物线的准线上；
② ；
③设 、 ，则 的面积 的最小值为 ；
④ ；
⑤ 平行于 轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，设点 、 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物
线方程联立，列出韦达定理，求出直线 、 的方程，求出点 的坐标，可判断①的正误；利用直线 、
斜率的关系可判断②的正误；计算出 的面积 的表达式，可判断③的正误；利用直线 、 的
斜率关系可判断④的正误；求出直线 的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.先证明出抛物线在其上一点 处的切线方程为 .
证明如下：
由于点 在抛物线 上，则 ，
联立 ，可得 ，即 ， ，
所以，抛物线 在其上一点 处的切线方程为 .
如下图所示：
设 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由韦达定理可得 ， ，
对于命题①，抛物线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，联立 ，解得 ，所以点 的横坐标为 ，
即点 在抛物线的准线上，①正确；
对于命题②，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， ，
所以， ，②正确；
对于命题④，当 垂直于 轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与 轴的交点，此时
；
当 不与 轴垂直时，直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ， ，则 .
综上， ，④正确；
对于命题③， ，
，
所以，
，
当且仅当 时，等号成立，③错误；
对于命题⑤，当 垂直于 轴时，由抛物线的对称性可知，点 为抛物线的准线与 轴的交点，此时直线
与 轴重合，⑤错误.
故选：B.题型四：仿射变换问题
【典例4-1】MN是椭圆 上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则
，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则
．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则 ．
【答案】
【解析】作变换 ，那么椭圆变为圆，方程为： ，
是 中点，那么 ，
∴ ，
是圆的左右顶点即直径，那么 ，∴
，
是过圆心O的一条弦即直径，那么 ，
∴ ．
【典例4-2】如图，作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，且 在直线 的上方，
则△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．【答案】
【解析】如图，作仿射变换： ，椭圆变为 ，直线 的斜率 变为直线 的斜率 ，
变为
，
由垂径定理 平分 ，其方程为 ，
平分 ，
△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
故答案为：
【变式4-1】Р是椭圆 上任意一点，O为坐标原点， ，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且 ，则 面积为 ．
【答案】
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
是 的重心，又O是 的外心
′是等边三角形，
∴ ．
故答案为：
【变式4-2】已知椭圆 ， 分别为椭圆左右焦点，过 作两条互相平行的弦，
分别与椭圆交于 四点，若当两条弦垂直于 轴时，点 所形成的平行四边形面积
最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】作仿射变换，令 ，可得仿射坐标系 ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆
，点 坐标分别为 ，过 作两条平行的弦分别与圆交于
四点.
由平行四边形性质易知，三角形 的面积为 四点所形成的平行四边形面积的 ，故只需令三角形 面积的最大值在弦 与 轴垂直时取到即可.当 时，三角形 面积的
最大值在弦 与 轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为 .
故答案为： .
1．已知直线l与椭圆 交于M，N两点，当 ， 面积最大，并且最大值为
.记 ，当 面积最大时， ﹐ .Р是椭圆上一点，
，当 面积最大时， .
【答案】 4 2 1
【解析】作变换 此时椭圆变为圆，方程为 ，
当 时， 最大，并且最大为 ，
此时 ， .
由于 ， ，
∴ ，，
因为 ，所以
.
故答案为： ； ；4；2；1.
题型五：圆锥曲线第二定义
【典例5-1】已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，线段 的中垂线与椭圆 交于 两
点，则 的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【解析】如图：
由椭圆方程可知 ， ， .
所以 ，
所以 为等边三角形，
因此 的中垂线过 ，结合椭圆的定义，可得 周长 .
故选：C
【典例5-2】已知双曲线 的离心率为2，其左右焦点分别为 ， ，过点 的直
线与双曲线左支交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意有 . ，
而 ， ， ，
， ，又 等腰 ，
， .
故选:A.
【变式5-1】如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线分别交于点 、
，若 为等边三角形，则 的面积为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在双曲线中： ，所以 ，
根据双曲线的定义，可得 ，
是等边三角形，即
又 ，
，
的面积为 ．
故选：C．
【变式5-2】已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线倾斜角为 ，由 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当点 在 轴上，又 ，
所以 ， ，
所以由对称性知直线 的斜率 .
故选：B.
1．已知抛物线 的弦 的中点横坐标为5，则 的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【解析】设抛物线 的焦点为 ， ， 的横坐标分别为 ， ，则 ，
抛物线 的准线为 ，则 ， ，
，
（当且仅当 ， ， 共线时取等号）如图所示，
即 的最大值为12.
故选：A.题型六：焦半径问题
【典例6-1】设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线l经过点 ，且与Γ交于P、Q
两点．若 ，且 ，则Γ的长轴长的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ，根据椭圆的性质，则 ，
，则 ， ，
即 ， ，
整理得： ，
当且仅当： ，即 时，取等号，
为最小值，故长轴长 的最小值 ，
故答案为： ．
【典例6-2】已知椭圆 的焦点为 ， ，若点 在椭圆上，则满足
（其中 为坐标原点）的点 的个数为 ．
【答案】4
【解析】设点 ，则 ．由焦半径公式得 ，
故 ．
∵ ，∴ ，即 ．
又∵ ，解得 ，∴满足条件的点 有4个．
故答案为：
【变式6-1】已知椭圆 的离心率为 ．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，
N两点，且l的倾斜角为 ．则 ．
【答案】 或
【解析】
因为 ， ，所以 ， ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2所以椭圆 方程可化为 ，即 ，
所以直线 方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，
则 ，
所以 ，
令 ，则 ，化简可得 ，
解得 ，所以 ，或 .
故答案为： 或 .
1.已知双曲线 的左、右焦点分别为 双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得
，且 与 交于P点，则 ， 的最小值为 .
【答案】
【解析】延长 交双曲线 于点 ，由 可知，点 与点 关于原点对称，即 ，设直线 的倾斜角为 ，由焦半径公式可知：
，
所以 .
又因为 ，所以 ，设 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以点 的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为 ，
所以 ，
故答案为： ， .题型七：圆锥曲线第三定义
【典例7-1】椭圆C： 的左右顶点分别为 ，点P在C上且直线 斜率的取值范围是
，那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设P点坐标为 ，则 ， ， ，
于是 ，故 .
.故选B.
∵ ∴
【典例7-2】双曲线C： 的左、右顶点分别为 ， ，点P在C上且直线 斜率的取值范围是
[-4，-2]，那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据双曲线的方程可知 ， 的坐标分别为 ， ，
设点 的坐标为 ，则 ， ，
且因为点 在双曲线上，所以 ，不难发现 ，再结合 ，解得 ，故选C．
【变式7-1】已知A，B是双曲线Γ： ＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象
限．若PA，PB的斜率分别为k，k，则以下总为定值的是（ ）
1 2
A．k＋k B．|k－k|
1 2 1 2
C．kk D．
1 2
【答案】C
【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，
设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得 即
又k＝ ，
1
所以kk＝ ，
1 2
所以kk 为定值
1 2
，不为定值；
，不为定值；
，不为定值
故选：C
【变式7-2】设椭圆 的左,右顶点为 是椭圆上不同于 的一点,设直线
的斜率分别为 ,则当 取得最小值时,椭圆 的离心率为A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆方程可得 ，
设 ，则 ,
则 ，
，
，
令 ，则 ，
，
在 上递减，在 上递增，
可知当 时，函数 取得最小值 ，
，
，故选D.
1.已知平行四边形 内接于椭圆 ，且 ， 斜率之积的范围为 ，则椭圆 离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， 关于原点对称，设 ，
，
，故选A.
题型八：定比点差法与点差法
【典例8-1】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m= 时，
点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设 ，由 得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即 ，与
相减得： ，所以，
，当且仅当 时取最等号，即 时，点B横坐标的绝对值
最大.
故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线 的斜率存在，设A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的方程为 ，联立
1 1 2 2
得 ，根据韦达定理得 ，由 知 ，
代入上式解得 ，所以 ．此时 ，又
，解得 ．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线 的参数方程为 其中t为参数， 为直线 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得
，设点A，B对应的参数分别为 ，则 ．由韦达定理知
，解得 ，所以
，此时
，即 ，代入 ，解得 ．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设A(x ,y ),B(x ,y )，因为 ，所以 ．
1 1 2 2即 ①， ②，
又因为 ，所以 ．
不妨设 ，因此 ，代入②式可得 ．化简整理得
．
由此可知，当 时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以 ．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换 ，则 为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点 的横坐标的绝对值最大，则
．
当 时等号成立，根据 易得 ，此时 ．
［方法六］：中点弦性质的应用
设B(x ,y )，由 可知 ，则 中点 ．因为 ，所以
2 2
，整理得 ，由于 ，则 时， ，所以 ．【整体点评】方法一：由题意中点 的坐标关系，以及点差法可求出点 的横、纵坐标，从而可以根据
二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点 的横坐标，然后利用基本不等式求出
最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点 的横坐标，再利用基本不
等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，
从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点 的横坐标的绝对
值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．
【典例8-2】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 （
），那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． ，或
【答案】A
【解析】先设 ， ，再由点差法求出 ，再由点 ， 在椭圆内，求出 的
范围即可得解.设 ， ，
又点 ， 在椭圆 上，
则 ， ，
两式相减可得： ，
又 ，则 ，
又点 ， 在椭圆内，
则 ，
则 ，
所以 ，
故选：A.
【变式8-1】已知椭圆 内有一定点 ，过点P的两条直线 ， 分别与椭圆 交于
A、C和B、D两点，且满足 ， ，若 变化时，直线CD的斜率总为 ，则椭圆 的
离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 因为 ，且 ，所以 ，同
理 .将 两点坐标代入椭圆方程并化简得 ，即
，同理 ，由于 ， ，所以
，即 ，即 ，两式相加得 ，即 ，所以 ，所以
，故选A.
【变式8-2】过点 的直线 与椭圆 交于点 和 ，且 .点 满足 ，若
为坐标原点，则 的最小值为 ．
【答案】 .
【解析】设A(x ,y )， B(x ,y )， 则
1 1 2 2
于是 ，同理 ，
于是我们可以得到
.
即 ，所以Q点的轨迹是直线， 即为原点到直线的距离，
所以
1.已知椭圆 ，点 为椭圆外一点，斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，过点
作直线 ， 分别交椭圆于 ， 两点．当直线 的斜率为 时，此椭圆的离心率为 ．【答案】
【解析】如图所示：
设直线AB过原点O，由题意得 ，
设 ，CD的中点为 ，则 ，
因为C，D在椭圆上，
所以 ，两式相减得 ，
所以 ，
因为O，M，P三点共线，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：题型九：切线问题
【典例9-1】已知 为坐标原点，抛物线 的焦点 到准线 的距离为1，过点 的直线
与 交于 两点，过点 作 的切线 与 轴分别交于 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 到准线 的距离为1，所以 ，
即抛物线方程为 ，焦点为 ，
设直线 方程为 ，设 ，
由 得 ，
所以 ， ，
抛物线方程为 ， ，所以 ，
切线 方程为 ，又 ，所以切线方程为 ，
令 得 ，令 得 ， ， ，
， ，
∴ ，
故选：D.【典例9-2】已知圆 ，圆 ，过动点P分别作圆 圆 的切线PA，PB
（A，B为切点），使得 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由 ，得 ．易知 ，
因为两圆的半径均为1，则 ．
设P(x,y)，且 ，
则 ，即 ．
所以点 的轨迹方程为 ．
故选：D.
【变式9-1】已知椭圆 的上，下焦点分别为 ， ，抛物线 的焦点与椭圆
的上焦点重合，过 的倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，点 是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，直线AB的斜率k为 ，
设 ，则椭圆的离心率 ，
所以 ， ，即焦点坐标为 ，
所以抛物线方程为 ，
故 在点 处的切线方程为 ，
令 ， ，
因为 ，
所以 是首项2，公比 的等比数列，
即
故选：A.
【变式9-2】已知 为椭圆 上一动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
设圆 的圆心为 ，半径为 ，则 ，半径 ， ，
因为 ，所以只需 最大，
设点P(x ,y )是椭圆上任意一点，则 ，即 ，
0 0
所以 ，
当 时， 有最大值 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 .
故选：B.
1.已知圆 与双曲线 ，若在双曲线 上存在一点 ，使得过点 能
作圆 的两条切线，切点为 ，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图， ，又 ，所以 ，
而 是圆切线，则 ，
在 中， ，因此有 ，
从而 ，而 ，所以 ，
在双曲线 上，因此 ，所以 ，
∴ ，从而 ，
∴双曲线 的离心率 .
故选：B．
题型十：焦点三角形问题
【典例10-1】已知 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦点， 是 上一点且
，若 的面积为 ，则 ．【答案】2
【解析】解法一：由题得 ，所以 ， ，设 ， ，
则 ，由题知 ，
将 代入 ，得 ，解得 ，故 ，
所以 是等边三角形，故 ，得 ，得 ．
解法二：由题得 ，所以 ， ，设 ， ， ，
则 ， ，
由余弦定理得 ，
故 ，得 ．
故答案为：2
【典例10-2】已知椭圆 过点 ，焦点 ， ， 为坐标原点，圆 的直径为 ．
若斜率为 的直线 与圆 相切于第一象限内的点 ，交 于 两点，则 的面积为 ．
【答案】 /
【解析】设椭圆 的方程为 ， ，由条件可知 ，又 ，解得 ， ，
所以 的方程为 ，
圆 的方程为 ，设斜率为 的直线 与圆 相切，
所以 ，
因为直线 与圆 相切于第一象限内的点 ，所以直线 的方程为 ，
当 时， ，
联立方程组 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
故答案为： .
【变式10-1】已知椭圆 ，点 和 分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则
内切圆半径的最大值为
【答案】
【解析】
如图所示，由椭圆定义， ， ，则 ，故 ，
要使 最大，则 ，
故
故答案为：
【变式10-2】已知 分别是双曲线 的左，右焦点， 是双曲线 上第一象限内的点，点
是 的内心，则点 的横坐标是 ； 的面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知， ，故 ，
设点 ，且 在 上垂足为H，
根据双曲线定义及切线长定理得 ，
又 ，解得 ，
所以点H坐标为 ，则横坐标为 ，
设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
记 ，则 ，所以 ，即 ，
又 ，解得 或 (舍)，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： ，
1.设 为双曲线 上一点， 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若 ，
则 的面积为 .
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线为 ，由题设可设 ，
而 ，故 为 的中点，故 ，而 在双曲线上，故 即 ，
又 到渐近线 的距离为 ，
到渐近线 的距离为 ，
故 的面积为
，
故答案为：2
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题
【典例11-1】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光
线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，从 发出的光线经过图中的 ， 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， ，
则 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C【解析】连接 ， ，根据题意， ， ， 三点共线， ， ， 三点共线.
，且由 知 ，故 .
所以 .
可设 ， ， .
由于
，故 .
从而 ， ，故 ， .
在 中，由余弦定理得，
，解得 ，
所以 .
故选：C.
【典例11-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，
一条平行于 轴的光线从点 射出，经过拋物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则
的周长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，由点 在抛物线上，则 ，
直线 方程为： ，即 ，
由 ，消去 得 ，解得 或 ，由 ，得 ，
于是 ， ，
而 ，
所以 的周长为 .
故选：D
【变式11-1】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆
的另一个焦点（如图）.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线与 交
于点 ， ，过点 作 的切线 ，点 关于 的对称点为 ，若 ， ，则
（ ）注： 表示面积.
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】如图，由椭圆的光学性质可得 三点共线.设 ，
则 .
故 ，解得 .
又 ，所以 ，所以 .
故选：C.
【变式11-2】班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭
圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆 的方程为
，其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点Q，则 （注；若 的角平分线 交 于点 ，则 ）
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题设 ，则 平分 ，故 ，
而 ，由椭圆定义可知 ，
则 ，所以 .
故选：B.
1.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面
（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的
平面截抛物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，
若抛物线 的方程为 ，平行于 轴的光线从点 射出，经过 上的点 反射后，再从 上的
另一点 射出，则 （ ）A．6 B．8 C． D．29
【答案】C
【解析】由 ，可得 的纵坐标为 ，设 ，则 ，解得 ，
由题意反射光线经过抛物线 的焦点 ，
所以直线 的方程为 ，整理可得 ，
由 消去 整理得 ，解得 ， ，
则 ，所以 ，所以 .
故选：C
重难点突破：圆锥曲线与四心问题
【典例12-1】抛物线 的焦点恰好也是椭圆 的一个焦点， ， 分别
是椭圆 的上、下焦点， 是椭圆上的任一点， 是 的内心，PI交 轴于 ，且 ，点
是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与 轴的交点为 ，若 ，
则 .【答案】
【解析】由椭圆 的焦点在 轴上得 .
如图，连接 ，因为 是 的内心，所以 平分 .在 中，
由正弦定理得 ，在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
同理可得 ，所以 .
由椭圆定义可知 ， ，
所以 ， ，即椭圆的焦点坐标为 ，
所以抛物线方程为 ，即 ，则 ，
故抛物线 在 处的切线方程为 ，
又 ，可得 ，即 .
令 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 是首项为2，公比为 的等比数列，所以 .故答案为：
【典例12-2】定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 是“黄金椭
圆”，则 .若“黄金椭圆” 的两个焦点分别为 ， ，
为椭圆 上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接 并延长交 于点 ，则
.
【答案】
【解析】由椭圆 为“黄金椭圆”，
则离心率 ，
可得 ，
所以 ；
如图所示，连接 ，
设 的内切圆半径为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ；
【变式12-1】已知点 ， ， ， 是 轴上的动点，且满足 ， 的外心 在
轴上的射影为 ，则点 的轨迹方程为 ， 的最小值为 ．
【答案】
【解析】不妨设点 ， ，
根据点 是 的外心，设 ，
而 ，则 ，所以从而得到点 的轨迹为 ，焦点为F(1,0)
由抛物线的定义可知 ，
因为 ，即 ，当点 在线段 上时等号成立．
故答案为： ， .
【变式12-2】双曲线C： ，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点， ，
， 重心分别为P，Q， 外心为M，若 ，则双曲线的离心率为
．
【答案】
【解析】在 中，取 中点 ，由P为 的重心，则P在 上，
设 ，则 ，
则有 ，
两式作差得， ，
可得 ，
则则 ，即 ，
同理可得， ，
又 ，所以 ，又 ，
可得 ，
所以 ，进而 ．
故答案为： .
1.在 中， ， ， 于 ，若 为 的垂心，且 .则 到直线
距离的最小值是 .
【答案】
【解析】设 ，由 可知， ，又 ， ，
则 ，
因为点 为 的垂心，所以 ，即 ，即 ( )，
联立 ，得 ，得 ，
则直线 与椭圆 相离，如图，
设直线 与椭圆 相切，
联立 ，得 ，
令 ，得 ，
由图可知， 与椭圆相切的切点到直线 的距离最近，
此时最近距离为平行线 和 间的距离，即 .
故答案为：
