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5.3 二元一次方程组的应用
题型一 根据描述列二元一次方程组解决问题
1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶
B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损
耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程
组．
根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶 和2个玩偶 的配套关系，列出方程组．
【详解】解：已知用 米布料做玩偶 ，用 米布料做玩偶 ，布料总长度为128米，所以 ，
每米布料可做2个玩偶 ，则 米布料可做 个玩偶 ；每米布料可做3个玩偶 ，则 米布料可做 个
玩偶 ，
因为一个盲盒搭配1个玩偶 和2个玩偶 ，要恰好配套，则玩偶 的数量是玩偶的 数量的2倍，即
，化简得 ，
所以可列方程组 ，
故选：A．
2．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑
16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意
可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两种追击情况，分别找出小明和小亮路程的等量关系，从而列出方程组．本题主要考查了二
元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及等量关系列方程组是解题的关键．
【详解】解：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上小亮，此时小亮跑了 秒，小明跑的路程 等
于小亮跑的路程 ，即 ；
小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上小亮，此时小明跑的路程 等于小亮跑的路程 加上16米，即．
所以方程组为
故选：A．
3．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修
建过程中，晴天每天修建 ，雨天每天修建 ，他们连续修建了 ，平均每天修建 ，那
么这几天中有几天雨天（ ）
A．4天 B．6天 C．8天 D．10天
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，
有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天，
根据题意得，
解得
∴这几天中有8天雨天．
故选：C．
3．孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若
按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元．则一束康乃馨
和一束百合花的成本价分别是（ ）元．
A．10元，6元 B．6元，10元
C．11元，5元 D．5元，11元
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元，根据“按
康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元”列出方程组即可
求解，读懂题意列出方程或函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元，
由题意可得： ，解得： ，
答：一束康乃馨成本为6元，一束百合花成本为10元．
故选：B．
4．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同
学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子
多3顶，则这个活动小组一共有（ ）
A．17人 B．16人 C．15人 D．14人
【答案】B
【分析】设这个活动小组男生有 人，女生有 人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，
每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要
考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设这个活动小组男生有 人，女生有 人，
由题意得： ，
解得： ，
，
即这个活动小组一共有16人，
故选：B．
5．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作
灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用 张制作灯
身， 张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用 张制作灯身，
张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数 灯座的个数；制作灯身的特殊材料
板张数 制作灯座的特殊材料板张数 ，列方程组求解即可．
【详解】解：用 张制作灯身， 张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意： 即 ．
故答案为： ．
6．根据题意，列出二元一次方程组：
(1)摩托车的速度是货车速度的 ，两车的速度之和为200km/h，求摩托车和货车的速度．
(2)某种裤子的单价是某种皮衣单价的1.4倍，5件皮衣比3条裤子贵700元，求裤子和皮衣的单价．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设摩托车的速度为 ，货车的速度为 ，列方程组即可；
（2）设裤子的单价为 元，皮衣的单价为 元，列方程组即可.
【详解】（1）解：设摩托车的速度为 ，货车的速度为 ．
根据题意，得
（2）解：设裤子的单价为 元，皮衣的单价为 元．
根据题意，得
【点睛】本题考查了列方程组解应用题，其中准确找到等量关系列方程是解题的关键.
题型二 列方程组解年龄问题
7．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在
的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．
由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知 ，由“10年后，小明妈妈的年龄是小
明的2倍”可知 ，进而列方程组即可．
【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得：
故选：B
8．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就
37岁了．”老师的年龄为
【答案】25
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于 的二元一次方程组是
解题的关键．
设老师今年 岁，学生今年 岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于 的二元一次方程组，解之即
可得出结论．
【详解】解：设老师今年 岁，学生今年 岁，
根据题意得： ，
解得： ．
则老师的年龄为25岁，
故答案为：25．
题型三 根据表格列二元一次方程组解决问题
9．美丽服装店按进价购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价
如表所示．
类型价格 A型 B型进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可
获利多少元？
【答案】(1)A种服装购进15件，B种服装购进10件
(2)美丽服装店一共可获利880元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及利润的计算，熟练掌握二元一次方程组的解法和利润
的计算公式是解题的关键．
（1）设A种服装购进件，B种服装购进件，根据数量关系和总价关系列出二元一次方程组求解．
（2）先算出A、B两种服装各自的利润，A按标价出售，利润是标价减进价，B按标价8折出售，利润是
售价减进价，然后将两者利润相加．
【详解】（1）解：设A种服装购进 件，B种服装购进 件，
，
由 可得 ，
将 代入 ，
得 ，
，
，
，
则 ．
答：A种服装购进15件，B种服装购进10件．
（2）解：A种服装每件利润： （元），
共15件，利润为 （元），
B种服装标价160元，8折后的售价： （元），
每件利润： （元），
共10件，利润为 （元），
总利润： （元）．
答：美丽服装店一共可获利880元．题型四 根据图形列二元一次方程组解决问题
10．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（空白部分），则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．55 C．58 D．62
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，
再由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得： ，
解得： ，
∴阴影部分的面积为 ．
故选：A．
11．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成长比宽多75厘米的大长方形，则每个小长方形
的周长是 厘米．
【答案】120
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
设小长方形纸片的长为 厘米，宽为 厘米，由长比宽多75厘米，即可得出 ，观察图形得
出 ，解方程组，再根据长方形的周长公式即可得出结论．【详解】解：设小长方形纸片的长为 厘米，宽为 厘米，
根据题意得： ，
解得 ，
则每个小长方形的周长 （厘米），
故答案为：120．
12．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖
看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为 的小正方形空
白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？
【答案】每个小长方形的长为 ，宽为
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握利用二元一次方程组解决图形面积问题是解题的关键．
设小长方形的长为 ，宽为 ，由图 的长方形的对边相等可得： ，由图 的信息可得： ，
再解方程组，从而可得答案．
【详解】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，
依题意得：
解得
∴每个小长方形的长为 ，宽为 ．
题型五 列方程组解数字问题
13．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，
求这个两位数．若设十位数字为 ，个位数字为 ，则下列说法正确的是（ ）A．根据题意，列方程组得
B．根据题意，列方程组得
C．这个两位数是26
D．这个两位数是62
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之
和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题
得解．
【详解】解：依题意得： ，即 ，
解得： ，
则这个两位数是 ．
故选：A．
14．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后
面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（ ）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
【答案】A
【分析】设原来的两个加数分别为 和 ，小明将 后多写一个0，即x扩大10倍，得到 ；小
亮将 后多写一个0即y扩大10倍，得到 ，解方程组即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设原来的两个加数分别为 和 ，
根据题意，得 ，解得 ．
故选：A．
15．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字
和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（
）
A．27 B．36 C．45 D．63
【答案】B
【分析】根据已知条件，先通过数字关系列出关于 、 的方程组，再求解方程组得到 、 的值，从而
确定原来的两位数．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据两位数的数字关系列出方程组并熟练求解是解题的关键．
【详解】解：∵十位数字为 ，个位数字为 ，且十位数字与个位数字之和为 ，
∴ ．
∵原来的两位数为 ，新的两位数为 ，新的两位数比原来的两位数大 ，
∴ ，化简得 ，即 ．
联立方程组 ，将两式相加， ，得 ，解得 ．
把 代入 ，得 ．
∴原来的两位数是 ，
故选：B ．
题型六 列方程组解“幻方”问题
16．“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之
和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息求 （ ）
A． B． C．0 D．1【答案】A
【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程组解答即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，
根据题意，得
，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
17．幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的 方格内填入了一些数及字母，若图中每
行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ．
y 2
5 7
8 x 6
【答案】 1 9
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得 ， ，再进
一步求解即可．
【详解】解：由题意可得： ， ，
解得： ， ．
故答案为： ，18．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所
示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，
列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵将 个数填入幻方的空格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 个数之和相等，
∴最左下角的数为： ，
则最中间的数为： 或 ，
最右下角的数为： 或 ，
依题意得： ，
解得： ，
∴ 与 的和为 ，
故选：D．
题型七 古代生产生活中方程组的应用
19．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲、乙两人
隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：
“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，
也没算出来．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有 只羊，乙有 只羊，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的
关键．设甲有 只羊，乙有 只羊，由甲对乙：我得到你的九只羊，我的羊就比你的多一倍得到
；由乙对甲：我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多得到 ，联立方程组即可得
到答案．
【详解】解：设甲有 只羊，乙有 只羊，根据题意可列方程组为
，
故选：D．
20．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善
行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走
100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走 步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走
了 步，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据快的人追上时两者的路程关系及时间相等建立方程组，即
可 ．
【详解】解：设走路快的人走 步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了 步．
根据题意得 ，
故选：B．
21．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；
三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有 个客人， 个盘子．
则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程
组即可，找到正确的等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，
根据题意，得 ，
故选：D．
22．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一
百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．
它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有 只，龟有 只，则可列方程组为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设团鱼有x只，龟有y只，根据共有93只脚乱划水
可得方程 ，根据102只眼睛偷看人可得方程 ，据此列出方程组即可．
【详解】解：设团鱼有x只，龟有y只，
由题意得， ，
故答案为： ．23．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺
少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹 尺长的罗布恰好一样贵，只
知道每尺罗布比绫布便宜 文，问两种布每尺各多少钱？
【答案】每尺绫布的价格为 文，每尺罗布的价格为 文
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为 文，每尺罗布的价格为 文，根据
一匹7尺长的绫布和一匹 尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程 ，根据每尺罗布比绫布便宜 文，
可列方程 ，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱．
【详解】解：设每尺绫布的价格为 文，每尺罗布的价格为 文，
根据题意得： ，
解得： ，
答：每尺绫布的价格为 文，每尺罗布的价格为 文.
24．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“令有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，
问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，
则还差4钱，问人数、物品的价格分别是多少？”（要求：用二元一次方程组解决）
【答案】一共有7人，物品的价格为53钱
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设一共有x人，物品的价格为y钱，根据每人出8
钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱建立方程组求解即可．
【详解】解：设一共有x人，物品的价格为y钱，
由题意得， ，
解得 ，
答：一共有7人，物品的价格为53钱．题型一 列方程组解行程问题
1．从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3km的下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小
时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需90min，从乙地到甲地需102min．甲地到乙地的路程
是 km．
【答案】6.1
【分析】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出
方程组．
设从甲地到乙地的上坡路为 km，平路为 km，根据保持上坡每小时走 km，平路每小时走 km，下坡每
小时走 km，那么从甲地到乙地用 分钟，从乙地到甲地用 分钟即可列出方程组然后解方程组，就可
以求出甲地到乙地的全程．
【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路为 km，平路为 km，
由题意得：
解得：
所以： 千米
即甲地到乙地的全程是 千米．
故答案为： .
2．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县
老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵
沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小
时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．
请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度．
【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是 公里/时，小韵驾车行驶的速度
是 公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得 ，即可作答．
【详解】解：设小新驾车行驶的速度是 公里/时，小韵驾车行驶的速度是 公里/时，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时．
3．甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行， 后相遇．
相遇后，拖拉机以其原速度继续前进，汽车在相遇处停留1h后调转车头以其原速度返回，在汽车再次出发
半小时后追上拖拉机．求汽车、拖拉机各自的速度．
【答案】汽车的速度是 ，拖拉机的速度是 ．
【分析】设汽车的速度是 千米每小时，拖拉机的速度 千米每小时，根据甲乙两地相距160千米1小时
20分后相遇和拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖
拉机，列出方程，求出 的值，再根据路程=速度×时间即可得出答案．
【详解】解：设汽车的速度是 ，拖拉机的速度是 ．
根据题意，得 解得
答：汽车的速度是 ，拖拉机的速度是 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用的知识点，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知
甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，
若两车上坡、下坡的速度分别相同．
(1)求坡道的长度；
(2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？
【答案】(1)坡道的长度为1800米(2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，
是解题的关键．
（1）设上坡时的速度为 米／分钟，坡道长度为 米，则下坡时的速度为 米／分钟．根据从坡底
行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答；
（2）利用第（1）问求出的速度，设经过 分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程
解答.
【详解】（1）解：设上坡时的速度为 米／分钟，坡道长度为 米，则下坡时的速度为 米／分钟．
根据题意，得 解得
答：坡道的长度为1800米．
（2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为 （米／分
钟）．
设经过t分钟后两车相距300米，
①相遇之前： ，解得 ；
②相遇之后： ，解得 ．
答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米．
题型二 列方程组解工程问题
5．某地为打造运河风光带，雇用 ， 两个工程队共同完成一段长为 的河道的清理任务．已知A工
程队每天清理 ， 工程队每天清理 ，两个工程队工作天数之和为 天， ， 工程队分别清理了
多长的河道？
【答案】 工程队清理了 河道， 工程队清理了 河道
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组．
先设 工程队清理了 天河道， 工程队清理了 天河道，根据题意列出方程组求解，再求 ， 工程队
分别清理了的河道长度．
【详解】解：设 工程队清理了 天河道， 工程队清理了 天河道，
则 ，解得： ，
∴ 工程队清理了 （ ）河道，工程队清理了 （ ）河道，
答： 工程队清理了 河道， 工程队清理了 河道．
6．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任
务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．
问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．
根据题意，得
②小华：设河道整治任务完成后， 表示_____， 表示_____．
根据题意，可列方程组
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】(1)① ， ；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数
(2)见解析，甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．根据甲、乙两队共
完成 米的整治河道任务且共同时 天，即可得出关于 ， 的二元一次方程组；小华同学：根据小华
同学所列的方程组，找出 ， 表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米，根
据题意，得 ，
故答案为： ， ；
②小华：设河道整治任务完成后， 表示甲工程队工作的天数， 表示乙工程队工作的天数．根据题意，可列方程组
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）解：选择①
解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．则
，
解得 ，
经检验，符合题意．
答：甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．
选择②
设甲工程队工作的天数是 天，乙工程队工作的天数是 天．则
，
解得 ，
经检验，符合题意．
甲整治的河道长度： (米)；乙整治的河道长度： (米)．
答：甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．
题型三 根据几何关系列方程组解决问题
7．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形
的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为 ， ，则 （ ）A．12 B．16 C．20 D．40
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，全等三角形的性质．首先设四个全等的直角三角形的两条直
角边分别为 ，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为 ，
根据图1得： ，
根据图2得： ，
联立解得 ，
∴ ，
则 ．
故选：A．
8．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为 ，正方形B的边长为 ，则此长方形
的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形 的边长分别为 ，根据长方形的对边相
等，列出方程组求出 的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：设正方形 的边长分别为 ，
由图可知： ，解得： ，
∴长方形的长为： ，宽为： ，
∴长方形的面积为： ．
故选：A
9．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ）
A．54 B．50 C．43 D．34
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用
数量关系列出方程组解决问题．
设小长方形的长、宽分别为 ，根据图示可以列出方程组
，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为 ，
依题意得 ，
解得 ，
∴小长方形的长、宽分别为 ，
．
10．如图，在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形（阴影部分），若
，求出图中空白部分的总面积．【答案】
【分析】设小长方形的长为 ，宽为 ，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出 和
的值，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
每个小长方形的面积为 ，
空白部分的总面积 ．
11．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是
的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材，如
图①所示（单位： ）．
(1)列出方程（组），求出图①中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将 张标准板材按裁法一裁剪， 张标准板材按裁法二裁剪，则刚好可以做成如
图②所示的竖式与横式两种无盖礼品盒若干个（竖式无盖礼品盒由4张A型板材和1张B型板材组成，横
式无盖礼品盒由3张A型板材和2张B型板材组成）．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒的个数．【答案】(1)
(2)可以做竖式无盖礼品盒 个，横式无盖礼品盒 个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据已知条件先列出二元一次方程组求出a与b
的值，再根据图示列出关于m、n的二元一次方程组并求解．
（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组并求解；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，根据已知和图示列出关于m、n的二元一次方
程组，然后求解即可．
【详解】（1）依题意，得 ，
解得 ；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，
依题意，得 ，
解得 ，
所以可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．
12．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①所示的长方形和正方形作为侧面与底面，做成
如图②所示的竖式和横式两种无盖纸盒．
已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与1个正方形；方式二：裁成
2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪．
(1)两种方式共裁出_______个长方形，_______个正方形．（用含m，n的代数式表示）
(2)当 时，裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是多少个？【答案】(1) ；
(2)12个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数
量关系．
（1）根据方式一：裁成 个长方形与一个正方形：方式二：裁成 个长方形与 个正方形即可得出结论；
（2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为 求出 ， ， 为正整数，且 ，
得出 ， ，再设做成竖式盒子 个，横式盒子 个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即
可．
【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形 张，正方形 张．
故答案为：
（2）由题意，得 ，解得 ．
因为 为正整数，且 ，所以 ，
所以两种方式共裁出 （个）长方形， （个）正方形．
设做成竖式盒子 个，横式盒子 个，
根据题意，得 解得
所以做成的两种无盖纸盒一共可能是 （个）．
题型四 列二元一次方程组解经济问题
13．一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、
中、小各买1瓶，需9元6角，3种包装的饮料每瓶各多少元（ ）
A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元
B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元
C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元
D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握题目中的等量关系．
设小瓶单价为x角，大瓶为y角，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设小瓶单价为x角，大瓶为y角，根据1个中瓶比2小瓶便宜2角可知中瓶价格为 角，
大、中、小各买1瓶，需9元6角，
可列方程 ，即得 ，
根据1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，
可列方程 ，即 ，
联立后可得 ．
解得
即小瓶单价为1.6元，大瓶为 元，
，
即1个中瓶3元，
即1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元，
故选：C
14．某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要 元 书店推销时甲种图书打八折，乙种
图书打七五折，结果买两种图书共少用 元 则原来甲种图书需要 元
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设原来甲种图书需要 元，乙种图书需要 元，根据“原价买这两种图书共需要 元，打折后买两种图书
共少用 元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设原来甲种图书需要 元，乙种图书需要 元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴原来甲种图书需要 元．
故答案为： ．15．已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天
300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，
一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住
满．
（1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 间，双人客房 间；
（2）若要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 元．
【答案】 12 7 5100
【分析】本题考查一次函数及二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程组及用代数式表示出住宿费用
是解题的关键．
（1）设租住了三人客房 间，双人客房 间，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设租住了三人客房 间，那么租住了双人客房 间，将住宿费用用代数式表示出来，并注明
的取值范围．判断住宿费用随 的增减情况，进而确定当 为何值时住宿费用最少，求出最小值，并检验
此时双人间的数量是否为整数．
【详解】解：（1）设租住了三人客房 间，双人客房 间．
根据题意，得 ，解得 ，
故答案为：12，7．
（2）设租住了三人客房 间，那么租住了双人客房 间．
则住宿费用 为偶数，且 ，
随 的增大而减小，
当 时， 最小， ．
此时，租住双人客房的间数为 （间 ．
故答案为：5100．
16．为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有 克核桃仁， 克巴旦
木仁， 克黑加仑；乙种每袋装有 克核桃仁， 克巴旦木仁， 克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本
价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价 元，甲每袋坚果的售
价为 元，利润率为 ，乙种坚果每袋利润率为 ．若公司销售这种混合装的坚果总利润率为 ，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的应用，解题关键是利用利润、成本价与利润率之间的关系列
出方程，理解题意得出等量关系．
根据题意，先求出 克巴旦木和 克黑加仑的成本之和，然后求出乙种坚果的成本及售价，再设甲种坚果
袋，乙种坚果 袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种坚果数量之比．
【详解】解：设 克巴旦木成本价 元，和 克黑加仑成本价 元，
根据题意得 ，
，
甲种坚果的成本价 （元），
乙种坚果的成本价 （元），
乙种坚果的售价为 （元），
设甲种坚果有 袋，乙种坚果有 袋，
则 ，
解得 ，
即该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
故答案为： ．
17．受高温影响，重庆多地暑假突发山火．“山火无情人有情”，多家企业及学校积极履行社会责任，主
动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们组织捐赠油锯和水基灭火器共 万个，
总价值450万元．已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器的售价为每个250元．请完成下列问题：
(1)本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？
(2)某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售
价降低了 ，水基灭火器的售价降低了 ，最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，请求出m
的值．
【答案】(1)本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为 万个，1万个；
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为 万个， 万个，然后根据油锯和水基灭火器共
万个，总价值 万元列出方程组求解即可；
（2）根据物资总价 油锯的价值 灭火器的价值列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，
由题意得 ，
解得 ，
答：本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为 万个，1万个；
（2）解：由题意得 ，
∴ ，
解得 ．
题型五 根据图表信息列方程组解决问题
18．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要
想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（ ）
组合 A与B B与C A与C B与D
所需时间 7天 9天 11天 14天
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为 、 、 、 ，通过比
较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可．
【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为 、 、 、 （效率指每天完成的工作量）．根据组合时
间可得：
1．
2．3．
4．
解前三个方程：
联立方程1、2、3，得：
， ， ．
比较可知： ．
由方程4得： （负数不合理，说明D效率极低）．
综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B．
故选：B．
19．在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50
之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的
和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是 ；最大值为 ．
【答案】 B 45
【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法．
仿照三元一次方程组的解法求解．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得： ，所以 最大，最大值为45；
故答案为： ，45 ．
题型六 方案问题
20．某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐
220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？
【答案】(1) 种客车可坐 60 人， 种客车可坐 40 人
(2)见详解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设 种客车可坐 人， 种客车可坐 人，根据“3 辆 客车和1辆 客车可以坐 220 人， 2 辆
客车和 3 辆 客车坐的人数一样多”，可列出关于 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用 辆 种客车， 辆 种客车，根据租用的客车恰好坐下300人，可列出关于 的二元一次
方程，结合 均为非负整数，即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设 种客车可坐 人， 种客车可坐 人，
根据题意，得 ，
解得： ．
答： 种客车可坐 60 人， 种客车可坐 40 人；
（2）解：设租用 辆 种客车， 辆 种客车，
根据题意，得 ，
，
又 ∵ 均为非负整数，
或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用1辆 种客车，6辆 种客车；方案2：租用3辆 种客车，3辆 种客车；
方案3：租用5辆 种客车，0辆 种客车．
21．试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗
文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐
曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配
件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹
(2)有三种采购方案方案一： 配件 个， 配件 个；方案二： 配件 个， 配件 个；方案三： 配
件 个，B配件 个
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键．
（1）设大号编钟的频率为 赫兹，小号编钟的频率为 赫兹，根据数量关系列出方程运算即可；
（2）设 配件要买 个， 配件要买 个，根据题意列出二元一次方程 ，求其正整数解即可．
【详解】（1）解：设大号编钟的频率为 赫兹，小号编钟的频率为 赫兹，
根据题意得： ，
解这个方程组得 ，
答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹．
（2）解：设 配件要买 个， 配件要买 个．
根据题意得： ，
整理得： ，即 ，
∵ 和 都为整数，
∴符合条件的解为： ， ， ，
答：有三种采购方案，方案一： 配件 个， 配件 个；方案二： 配件 个，B配件 个；方案三：
配件 个，B配件 个．
题型七 最大利润与最小费用问题22．在学校开展的“劳动创造美好生活”的主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养
护，同学们约定每人养护1盆绿植．计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝的盆数不少于31．已
知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，则购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆．
(2)购买两种绿植总费用的最小值为369元，
【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一次函数的性
质是解题的关键；
（1）设绿萝x盆，吊兰y盆，根据总盆数和绿植的价格与预算经费可以得到方程组，即可得到绿植分别为
几盆；
（2）根据题干得出两种绿植的盆数关系，设购买两种绿植的费用为w，则可根据题干信息得到费用与绿植
盆数的关系式，分析w随m的变化情况即可得到费用最小值.
【详解】（1）解：设购买绿萝x盆，吊兰y盆．
依题意，得
解得
，
符合题意．
故购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰 盆，
购买两种绿植的总费用为w元．
依题意，得 ．
因为 ，所以 随 的增大而增大．
因为 ，且为整数，所以当 时，取得最小值，最小值 （元）．
故购买两种绿植总费用的最小值为369元，
23．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在
此契机下购进了“歼35”和“歼 ”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2
件“歼 ”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼 ”模型共需560元．
(1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？
(2)设购进“歼 ”模型 件（ ），购买这两种模型80件共花费 元，求 与 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼 ”模型的售价为150元/件．该商家计
划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商
家设计购进方案，并求出最大利润．
【答案】(1)购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元
(2)
(3)购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元
【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键．
（1）设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼 ”模型的单价b元，根据题意列出二元一次方程组，
解方程组，即可求解．
（2）设购进“歼 ”模型 件（ ），则购进“歼35”模型 件，根据数量乘以单价，列出一
次函数关系式，即可求解．
（3）根据题意先求得 ，设商家获得的利润是W元，列出一次函数关系式，进而根据一次函数
的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设购进“歼35”模型的单价是a元，购进“歼20S”模型的单价b元.
根据题意，得 ，
解得 .
答：购进“歼35”模型的单价是100元，购进“歼20S”模型的单价120元.
（2）设购进“歼20s”模型 年（ ），则购进“歼35”模型 件
根据题意，得 .答：y与x之间的函数关系式为 .
（3）根据题意，得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
设商家获得的利润是W元，则 ，
∵ ，
∴W随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，W值最大，
， （套）.
答：购进“歼35”模型35件，购进“歼20S”模型45件可使商家获得最大利润，最大利润是2050元.
题型八 动点问题
24．如图（1）， ．点 在线段AB上以 的速度由点
向点 运动，同时，点 在线段BD上由点 向点 运动．它们运动的时间为 ．
(1)若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，并判断此时线段PC
和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“ ”改为“ ”，其他条件不变．设点 的
运动速度为 ，是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存
在，请说明理由．【答案】(1) 与 全等； ；理由如下；
(2)存在； 或 使得 与 全等．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、方程组的应用等知识点，熟练掌握全等三角形的判定
与性质以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
（1）利用“ ”证得 得出 ，进一步得出
进而证明结论；
（2） 与 全等，分 和 两种情况，分别根据全等三角形的性质
建立方程组求解即可．
【详解】（1）解： 与 全等， ，理由如下：
当 时， ，
，
，
∴ ,
，
，
在 和 中，
，
，
，
,
.
（2）解:由题意可知， ，①若 ，则 ，
∴ ，解得： ；
②若 ，则 ，
∴ ，解得： 。
综上可得，存在 或 使得 与 全等．
题型一 列多元方程组解决问题
1．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最
大年龄与最小年龄的差是 ．
【答案】
【分析】本题考查方程解应用题，读懂题意，准确用方程表示出题中相关数量关系是解决问题的关键．
设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为 ，将题中数量关系表示为 ，变形得到
，从而确定这四人中最大年龄与最小年龄，作差变形即可得到答案．
【详解】解：设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为 ，则由题意可得，
，
比较上述四个式子可知， ，
，
即 ，
解得 ，
这四人中最大年龄与最小年龄的差是 ，
故答案为： ．
题型二 综合实践问题
2.青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例
设计一个健康饮食餐盒．
材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表．
食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果
占比
材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜．
方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料
1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知 ， ，
．设 ， ．问题解决：请根据题意完成下列解答，
(1)填空： _________ ， _________．
(2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“
”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含 ， 的式子表示）．
第二个“故
“量” 第一个“故事” 用“ ”连接
事”
________ ______
的面积 （ ） _____
．．．．．．
(3)请求出 ， 的值．
【答案】(1)10，
(2)见解析
(3)15，6.25．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出二元一次方程组是解题的关键：
（1）根据表格中的比例关系，得到长方形中线段的比例关系进行求解即可；
（2）根据线段的和差关系和图形的面积的计算方法，列出代数式即可；
（3）列出方程组，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可表格可知， ， ，
∴ ，
故答案为：10， ；（2）由（1）知： ，
∴ ，
由表格可知： 的面积 （长方形 的面积 餐具格的面积 汤格的面积）
；
填表如下：
第一个“故
“量” 第二个“故事” 用“ ”连接
事”
的面积
．．．．．．
（3）列方程组
解得
答： ， 的值分别为15，6.25．
题型三 坐标与图形中的方程组的应用
3．平面直角坐标系中，若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 为常数，则称点 是
点 的 阶关联点．例如：若点 的坐标为 ，则点 的3阶关联点是 ，即点 坐标
为 ．(1)若点 的坐标为 ，求点 的4阶关联点 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，点 的 阶关联点 的坐标是 ，求 的值；
(3)如图，点 坐标为 是点 的 阶关联点，点 在 轴上，若 的面积是2，求点 的
坐标；
(4)已知点 ，点 为线段 上的动点，点 的1阶关联点为点 ，点 的 阶关联点为点
；当点 在线段 上运动时，若 的面积是四边形 面积的一半，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ，
(4)点 坐标为 或
【分析】本题考查了新定义运算，坐标与图形， 二元一次方程组的应用，算术平方根；
（1）根据新定义即可求解；
（2）根据新定义得出关于 的二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（3）根据新定义得出 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（4）根据新定义可得 ， ，根据 的面积是四边形面积的一半，分点
在 的左侧和右侧两种情况分别求解，即可．
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ，∴ ，
即 ．
（2）解：依题意，点 的坐标为 ，点 的 阶关联点 的坐标是 ，
∴ ，
解得： ．．
（3）解：由题意得 ，
解得：
设 ，
，
，
解得： 或 ，
或 ，
（4）解：∵点 ，点 为线段 上的动点，
∴设 ，
∵点 的1阶关联点为点 ，点 的 阶关联点为点 ；
∴ ， ，
∵ ，
∴ 在 的右侧， 在 上方， 在 下方如图所示，过点 作 轴，过点 作 交 的延长线与点 ，垂足为 ，连接 ，
∴四边形 的面积为
∵ 的面积是四边形面积的一半，
∴
又∵
∴
解得： （负值舍去）
如图所示，当 在 的右侧时，同理可得
∴
解得： （负值舍去）∴点 坐标为 或
