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5.3 二元一次方程组的应用
题型一 根据描述列二元一次方程组解决问题
1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶
B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损
耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）．A． B． C． D．
2．小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮；如果小明让小亮先跑
16米，那么小明跑8秒就追上小亮．设小明每秒跑的路程为x米，小亮每秒跑的路程为y米，则根据题意
可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．“天无三日晴，地无三里平”是一句形容贵州中部地区自然环境的谚语．某工程队在一次高速公路修
建过程中，晴天每天修建 ，雨天每天修建 ，他们连续修建了 ，平均每天修建 ，那
么这几天中有几天雨天（ ）
A．4天 B．6天 C．8天 D．10天
3．孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若
按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元．则一束康乃馨
和一束百合花的成本价分别是（ ）元．
A．10元，6元 B．6元，10元
C．11元，5元 D．5元，11元
4．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同
学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子
多3顶，则这个活动小组一共有（ ）
A．17人 B．16人 C．15人 D．14人
5．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作
灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用 张制作灯
身， 张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ．
6．根据题意，列出二元一次方程组：
(1)摩托车的速度是货车速度的 ，两车的速度之和为200km/h，求摩托车和货车的速度．
(2)某种裤子的单价是某种皮衣单价的1.4倍，5件皮衣比3条裤子贵700元，求裤子和皮衣的单价．
题型二 列方程组解年龄问题
7．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就
37岁了．”老师的年龄为
题型三 根据表格列二元一次方程组解决问题
9．美丽服装店按进价购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价
如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可
获利多少元？
题型四 根据图形列二元一次方程组解决问题
10．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（空白部分），则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．55 C．58 D．62
11．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成长比宽多75厘米的大长方形，则每个小长方形
的周长是 厘米．
12．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖
看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为 的小正方形空
白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？题型五 列方程组解数字问题
13．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，
求这个两位数．若设十位数字为 ，个位数字为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．根据题意，列方程组得
B．根据题意，列方程组得
C．这个两位数是26
D．这个两位数是62
14．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后
面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（ ）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
15．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字
和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（
）
A．27 B．36 C．45 D．63
题型六 列方程组解“幻方”问题
16．“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之
和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息求 （ ）
A． B． C．0 D．117．幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的 方格内填入了一些数及字母，若图中每
行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则 ， ．
y 2
5 7
8 x 6
18．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所
示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
题型七 古代生产生活中方程组的应用
19．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲、乙两人
隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：
“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，
也没算出来．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有 只羊，乙有 只羊，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
20．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善
行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走
100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走 步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走
了 步，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．21．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；
三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个
盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有 个客人， 个盘子．
则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
22．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一
百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．
它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有 只，龟有 只，则可列方程组为 ．
23．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺
少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹 尺长的罗布恰好一样贵，只
知道每尺罗布比绫布便宜 文，问两种布每尺各多少钱？
24．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“令有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，
问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，
则还差4钱，问人数、物品的价格分别是多少？”（要求：用二元一次方程组解决）
题型一 列方程组解行程问题
1．从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3km的下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小
时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需90min，从乙地到甲地需102min．甲地到乙地的路程
是 km．
2．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县
老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵
沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小
时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度．
3．甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行， 后相遇．
相遇后，拖拉机以其原速度继续前进，汽车在相遇处停留1h后调转车头以其原速度返回，在汽车再次出发
半小时后追上拖拉机．求汽车、拖拉机各自的速度．
4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知
甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，
若两车上坡、下坡的速度分别相同．
(1)求坡道的长度；
(2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？
题型二 列方程组解工程问题
5．某地为打造运河风光带，雇用 ， 两个工程队共同完成一段长为 的河道的清理任务．已知A工
程队每天清理 ， 工程队每天清理 ，两个工程队工作天数之和为 天， ， 工程队分别清理了
多长的河道？
6．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任
务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．
问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道 米，乙工程队整治河道 米．根据题意，得
②小华：设河道整治任务完成后， 表示_____， 表示_____．
根据题意，可列方程组
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
题型三 根据几何关系列方程组解决问题
7．将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形
的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为 ， ，则 （ ）
A．12 B．16 C．20 D．40
8．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为 ，正方形B的边长为 ，则此长方形
的面积为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ）A．54 B．50 C．43 D．34
10．如图，在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形（阴影部分），若
，求出图中空白部分的总面积．
11．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是
的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材，如
图①所示（单位： ）．
(1)列出方程（组），求出图①中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将 张标准板材按裁法一裁剪， 张标准板材按裁法二裁剪，则刚好可以做成如
图②所示的竖式与横式两种无盖礼品盒若干个（竖式无盖礼品盒由4张A型板材和1张B型板材组成，横
式无盖礼品盒由3张A型板材和2张B型板材组成）．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒的个数．12．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①所示的长方形和正方形作为侧面与底面，做成
如图②所示的竖式和横式两种无盖纸盒．
已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与1个正方形；方式二：裁成
2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪．
(1)两种方式共裁出_______个长方形，_______个正方形．（用含m，n的代数式表示）
(2)当 时，裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是多少个？
题型四 列二元一次方程组解经济问题
13．一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、
中、小各买1瓶，需9元6角，3种包装的饮料每瓶各多少元（ ）
A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元
B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元
C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元
D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元
14．某书店销售甲、乙两种图书，如果原价买这两种图书共需要 元 书店推销时甲种图书打八折，乙种
图书打七五折，结果买两种图书共少用 元 则原来甲种图书需要 元
15．已知某景点民宿的三人客房和双人客房标价为：三人客房为每人每天200元，双人客房为每人每天
300元．为吸引客源，促进旅游，在“十一”黄金周期间民宿进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，
一个50人的旅游团在十月二号到该民宿住宿，租住了一些三人客房、双人客房，且租住的每个客房正好住
满．
（1）若旅游团一天一共花去住宿费5700元．则租住了三人客房 间，双人客房 间；
（2）若要求租住的房间正好被住满，并使住宿费用最低，则最低的费用为 元．
16．为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有 克核桃仁， 克巴旦
木仁， 克黑加仑；乙种每袋装有 克核桃仁， 克巴旦木仁， 克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价 元，甲每袋坚果的售
价为 元，利润率为 ，乙种坚果每袋利润率为 ．若公司销售这种混合装的坚果总利润率为 ，
则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数量之比是 ．
17．受高温影响，重庆多地暑假突发山火．“山火无情人有情”，多家企业及学校积极履行社会责任，主
动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们组织捐赠油锯和水基灭火器共 万个，
总价值450万元．已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器的售价为每个250元．请完成下列问题：
(1)本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？
(2)某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售
价降低了 ，水基灭火器的售价降低了 ，最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，请求出m
的值．
题型五 根据图表信息列方程组解决问题
18．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要
想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（ ）
组合 A与B B与C A与C B与D
所需时间 7天 9天 11天 14天
A．A B．B C．C D．D
19．在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50
之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的
和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是 ；最大值为 ．
题型六 方案问题
20．某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和1辆B客车可以坐
220人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该公司共有300名员工．请问如何安排租车方案，可以使得所有人恰好坐下？
21．试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗
文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐
曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配
件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
题型七 最大利润与最小费用问题
22．在学校开展的“劳动创造美好生活”的主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养
护，同学们约定每人养护1盆绿植．计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝的盆数不少于31．已
知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，则购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
23．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，于2025年9月3日在天安门广场举行
“九三阅兵”．在本次阅兵中首次展示了多种新型武器，展现了我们国家捍卫和平的能力与力量.某商家在
此契机下购进了“歼35”和“歼 ”两种隐形战机模型共80件进行销售，已知购进3件“歼35”模型和2
件“歼 ”模型共需540元，购进2件“歼35”模型和3件“歼 ”模型共需560元．
(1)求购进这两种模型的单价分别为多少元？
(2)设购进“歼 ”模型 件（ ），购买这两种模型80件共花费 元，求 与 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若“歼35”模型的售价为120元/件，“歼 ”模型的售价为150元/件．该商家计
划购进这批模型所花的总费用不超过8900元，要使这批模型全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商
家设计购进方案，并求出最大利润．题型八 动点问题
24．如图（1）， ．点 在线段AB上以 的速度由点
向点 运动，同时，点 在线段BD上由点 向点 运动．它们运动的时间为 ．
(1)若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，并判断此时线段PC
和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“ ”改为“ ”，其他条件不变．设点 的
运动速度为 ，是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存
在，请说明理由．
题型一 列多元方程组解决问题
1．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最
大年龄与最小年龄的差是 ．
题型二 综合实践问题
2.青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例
设计一个健康饮食餐盒．材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表．
食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果
占比
材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜．
方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料
1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知 ， ，．设 ， ．
问题解决：请根据题意完成下列解答，
(1)填空： _________ ， _________．
(2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“
”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含 ， 的式子表示）．
第二个“故
“量” 第一个“故事” 用“ ”连接
事”
________ ______
的面积 （ ） _____
．．．．．．
(3)请求出 ， 的值．
题型三 坐标与图形中的方程组的应用
3．平面直角坐标系中，若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 为常数，则称点 是
点 的 阶关联点．例如：若点 的坐标为 ，则点 的3阶关联点是 ，即点 坐标
为 ．
(1)若点 的坐标为 ，求点 的4阶关联点 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，点 的 阶关联点 的坐标是 ，求 的值；(3)如图，点 坐标为 是点 的 阶关联点，点 在 轴上，若 的面积是2，求点 的
坐标；
(4)已知点 ，点 为线段 上的动点，点 的1阶关联点为点 ，点 的 阶关联点为点
；当点 在线段 上运动时，若 的面积是四边形 面积的一半，请直接写出点 的坐标．
