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专题 08 点与圆、直线与圆、求弧长、求扇形面积
点与圆的位置关系
1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知 的半径为 ，点 到圆心的距离为 ，那么点 在
（选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）．
2．（23-24九年级上·吉林·期末）若 的面积为 ，在同一平面内有一点 ，若 ，则点 在
（填内或上或外）．
3．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）在 中， ， ， ．以点A为圆心，
以 长为半径画圆，点B与 的位置关系是 ．
4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知 的半径为5，线段 的长为d，若点A在 外，则d的取
值范围为 ．
求弧长
1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知圆的半径为 ，则 的圆心角所对的弧长为 ．（结果保
留 ）
2．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，四边形 是 的内接四边形， ，．若 的半径为5，则 的长为 ．
3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用
功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知 ， ， 的长为 ，则 的
长为 ．
4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点 在 上， ，把劣弧 沿着直线CB折
叠交弦AB于点 ． ， ，则 的长为 ．
求扇形的面积
1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的面积为 ．
（结果保留 ）2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则该扇形的面积为
．
3．（23-24九年级上·吉林·期末）中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审
美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得 ，则由线段
，弧 ，线段 ，弧 围成扇面的面积是 （结果保留 ）．
4．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ， ．
若 的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
与圆锥有关的计算问题
1．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为 ，高为 ，则它侧面展开图的面积是
．
2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为 ，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆的半径为 ．
3．（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为 ，底面半径为 ，将该帽子沿
母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ．
4．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为 、底面半径为 的圆锥
形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用 表示）．正多边形和圆
1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在正六边形 中，连接 、 相交于点 ，则
的值为 ．
2．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，有一个亭子，它的地基是边长为 的正六边形，则地基的面
积为 m2．
3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形 ，经过C，D两点的 与 分别
相切于点M，N，连接 ，则 °.
4．（23-24九年级上·陕西西安·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形
面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 （结果保留根号）
求某点的弧形运动路径长度
1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在 中， ， ， ，将
绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边 上，则点A的运动路径的
长为 ．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，边长为1的正方形 的顶点 ， 在半径为1的圆上，顶
点 ， 在圆内，将正方形 沿圆的内壁按逆时针方向作无滑动的滚动，当点 再一次落在圆上时，
点 运动的路径长为 ．3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，四边形 为正方形，在等腰 中，
，若 绕点A顺时针旋转 ，D、B的对应点分别为F、H，直线 与直线 相
交于点P，则点P运动的路径长度是 ．
4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形 中， ， ， 是弧 上一动点，
过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ， 分别平分 、 ，当点 从 运动到
的过程中，点 的运动路径长为 ．
求图形旋转后扫过的面积
1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形 中， ，将 绕点A按逆时针方向旋
转到 （点A、B、E在同一直线上），则 在运动过程中所扫过的面积为 ．2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知 是 的直径，且 ，点 为半圆上的一个动点
（不与点 重合）， 在 延长线上，作 ， 的平分线，相交于点 ，则 ；
在点 移动的过程中，线段 扫过的面积 ．
3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在矩形 中，已知 ，将矩形绕点 旋转 ，到达
的位置，则在转动过程中，边 扫过的图形的面积 ．
4．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在 ，将
绕点O逆时针旋转至 ，点 在 的延长线上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积
为 ．（结果保留π）
求其他不规则图形的面积1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 是 的内切圆，若
，则图中阴影部分的面积为 ．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点B逆时
针旋转 得到 ，则 ， ， ， 围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形 中， ，点C为 的中点，
交弧 于点E，以点O为圆心， 的长为半径作弧 交 于点D，若 ，则阴影部分
的面积为 ．
4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形 中， ， ，点 为 的中点，
连接 ， ，交点为 ，点 为 的中点，连接 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．直线与圆的位置关系
1．（24-25九年级上·全国·期末）已知 是 的直径，点 是 延长线上一点， ， 是
的弦， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，垂足为 ， 的半径为 ，求 的长．
2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形 中， ， ，点P从A开始
沿折线 以 的速度移动，点Q从C开始沿 边以 的速度移动，如果点P、Q分别
从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)t为何值时，四边形 为矩形？
(2)当P在 上运动时，t为何值时，直线 与以 为直径的圆相切？
(3)如图2，如果 和 的半径都是 ，那么t为何值时， 和 外切？
3．（23-24九年级上·广东汕尾·期末）综合探究如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，交 于点F，在 下方作
，过点C作 ，垂足为点E．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ， ，求 的长．
4．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、
于点D、G，过点D作 于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： 与 相切；
(2)当 时，求阴影部分的面积．
5．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图， 为 的直径，弦 于点E，连接 ， ， ，
F为 中点，且 ．
(1)求 的长；
(2)当 时，① ；
②求阴影部分的周长和面积．
6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图， 平分 ， 与 相切于点A，延长 交 于点
C，过点O作 ，垂足为B．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
与圆有关的新定义型问题
1．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】
定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】
（1）如图1，四边形 是圆美四边形， 是美角．
① 的度数为________ ；
②连接 ，若 的半径为5，求线段 的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ，若 平分 ，判断 、
与 之间的数量关系，并说明理由．2．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一
组“勾股弦”．
(1)如图①，矩形 是 的内接四边形， 与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）；
(2)如图②， 是 的一组“勾股弦”， ，求证： ；
(3)如图③，已知 是 的一组“勾股弦”， 分别为 的中点，连接 并延长交
于点 ，连接 并延长交 于点 ，且 ，求 的值．
3．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】
如图1， ， 是 上两点，且在直径 的上方，若直径 上存在一点 ，连接 ， ，满足
，则称 是 的“幸运角”．
【问题探究】
（1）如图2， 是 的直径，弦 ， 是 上的一点，连接 交 于点 ，连接 ．
① 是 的“幸运角”吗？请说明理由；
②设 所对的圆心角为 ，请用含 的式子表示 的“幸运角”的度数；
【拓展延伸】
（2）如图3，在（1）的条件下，若直径 ， 的“幸运角”为 ， ，求 的长．4．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于线段 和x轴上
的点P，给出如下定义：若将线段 绕点P旋转180°可以得到 的弦 （ ， 分别为A，B的对应
点），则称线段 为 以点P为中心的“关联线段”．
(1)如图，已知点 ， ， ， ，在线段 ， ， 中， 以点P为中心
的“关联线段”是______；
(2)已知点 ，线段 是 以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标 的取值范围；
(3)已知点 ，若直线 上存在点F，使得线段 是 以点P为中心的“关联线段”，直接
写出m的取值范围．
