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2023-2024 学年芙蓉区八年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题（共10小题）
1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（
）
A. 诚 B. 信 C. 友 D. 善
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形 的概念逐一进行分析即可得.
【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；
B.不 是轴对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键.
2. 要使分式 有意义，则 的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0可得关于x的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：要使分式 有意义，则 ，所以 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，属于应知应会题型，熟知分式的分母不为0是解题的关键．
3. 点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
.
A B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可完成解答．
【详解】解：点 关于y轴对称的点的坐标是 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的问题，熟悉点关于坐标轴对称的特点是关键．
4. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项
式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. a8 ÷ a2=a4 B. a3·a4=a7 C. （2a2）3=6a6 D. （ ）-2=
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及负整数指数幂的运算法则逐
一判断即可．
【详解】解：A．a8÷a2=a6，故本选项不合题意；
B．a3·a4=a7，正确；
C．（2a2）3=8a6，故本选项不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D，（ ）-2=4，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则
是解答本题的关键．
6. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、等号右边 分子分母同时乘以 ，得 左边，故A错误，不合题意；
B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意；
C、 ，故C错误，不合题意；
D、分子分母同时乘以 ，即 ，故D正确，符合题意．
故选：D
7. 与 的 边重合， ．添加下一个条件后，仍无法判定 的是（
）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、 、 、 ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出
，故本选项不符合题意；
B 、 、 、 ， 符 合 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 ， 能 推 出
，故本选项不符合题意；
C、 、 、 ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，
故本选项不符合题意；
D 、 、 、 ， 不 符 合 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 ， 不 能 推 出
，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若
，则 的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得∠B=∠C=∠BAF，设∠B=x，则 ABC的三
△
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学科网（北京）股份有限公司个内角都可用含x的代数式表示，然后根据三角形的内角和定理可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】解：∵ ，∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分AB，∴FA=FB，∴∠B=∠BAF，
设∠B=x，则∠BAF =∠C=x， ，
根据三角形的内角和定理，得： ，解得： ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，
熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
9. 如图，在 中， 平分 ， ， ，则 的长为（ ）
A. 3 B. 11 C. 15 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形
的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可．
【详解】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，正确作出辅助线、
构造全等三角形是解题的关键．
10. 关于 的方程 的两个解为 ； 的两个解为 ；
的两个解为 ，则关于 的方程 的两个解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得： 的两个解为 ，然后把所求的方程变形为：
的形式，再根据上述规律求解即可．
【详解】解：根据题意，得： 的两个解为 ，
∵方程 即为： ，
∴ 的解为： 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ， ．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题时要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用例子
中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．
二、填空题（共6小题）
11. 计算： ＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据零指数幂公式可得答案．
【详解】解： ＝1；
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
12. 数0.0000046用科学记数法表示为：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：0.0000046= ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 已知 ，则 的值为__________．
【答案】﹣5
【解析】
【分析】等式左边根据多项式的乘法法则计算，合并后对比两边系数即得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴m=﹣5．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题
关键．
14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿
多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6
竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________．
【答案】6x+14=8x
【解析】
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，
即可．
【详解】解：设有牧童x人，
根据题意得：6x+14=8x，
故答案是：6x+14=8x．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
15. 已知a+b＝5，ab＝3， ＝_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】将a+b=5、ab=3代入原式= ，计算可得．
【详解】当a+b=5、ab=3时，
原式=
=
=
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学科网（北京）股份有限公司= .
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
16. 如图，在 中， ，点 和点 在直线 的同侧，
，连接 ，则 的度数为__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出 的度数，然后作点D
关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可
得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根
据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，
∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA= ，
∴∠ADB=30°．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判
定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，
作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．
三、解答题（共9小题）
17. 计算
【答案】
【解析】
【分析】先按照负整数指数幂、零次幂、绝对值的概念计算，再进一步合并即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算，解答本题的关键是明确它们各自的运算法
则．
18. 分解因式：
（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式 分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1） ；
（2） ．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】先用平方差公式、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项进行化简，最后代入求值．
【详解】
当 时
原式
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式、整式的化简求值，熟练进行整式的化简是解题的关键．
20. 解分式方程
（1）
（2） ．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法．
（1）方程两边同乘 化为整式方程 ，解得 ，经检验 是原方程 解的；
（2）方程两边同乘 ，得 ，解得 ，经检验 不是原分
式方程 的解，即可得到原分式方程无解．
【小问1详解】
解：方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解；
【小问2详解】
解：方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（-1，5）．
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学科网（北京）股份有限公司（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ=45°．
①在图中取点E，使得BE=BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为___________；
②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．
【答案】（1）见解析 （2）①图见解析，E（4，3）；②见解析
【解析】
【分析】（1）由轴对称的性质可作出线段CD，连结AC交y轴于点P；
（2）①由垂直的定义可作出线段BE，可写出点E的坐标；
②连接AE交CD于点Q，由等腰直角三角形的性质可知∠BAQ=45°，点Q即为所求．
【小问1详解】
解：①如图所示，线段CD即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司②如图所示，点P就是所求的点；
【小问2详解】
解：①由垂直的定义可作出线段BE，点E坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）；
②如图所示，点Q即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等，解题关键是灵活运用等腰直角三角形的性
质．
22. 已知，在 中， ， ， ， ，垂足分别为点 ， ．
（1）如图 ，求证： ；
（2）如图 ，点 为 的中点，连接 ， 请判断 的形状？并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2） 是等腰直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】(1)根据垂直的定义及直角三角形中两个锐角互余得出角相等，再由全等三角形的判定和性质即
可证明；
(2)连接 ，根据等腰直角三角形的性质及斜边上的中线的性质得出 ，
， ， 再 由 全 等 三 角 形 的 判 定 得 出 ，
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学科网（北京）股份有限公司，最后结合图形证明即可．
【小问1详解】
解：证明： ， ，
，
．
，
，
．
在 和 中，
，
， ，
，
即 ；
【小问2详解】
是等腰直角三角形．
理由：如图2，连接 ．
，
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学科网（北京）股份有限公司，
点 是 中点，
，
，
，
．
，
，
且 ，
．
在 和 中，
， ．
在 和 中，
．
，
，
，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司是等腰直角三角形．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的
性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23. “军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又
用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．
（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？
（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出 时，出现了滞销，于是决定降价促销，
若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？
【答案】（1）10元；（2）至少要12元．
【解析】
【分析】（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，则第二次每个进价是（x+2）元，再根据等量关系：第
二次进的个数＝第一次进的个数即可列出方程，解方程即得结果；
（2）设剩余的纪念品每个售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于900元即可列出
关于y的不等式，解不等式即得结果．
【详解】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，由题意得：
，解得：x＝10，
经检验x＝10是分式方程的解，
答：该纪念品第一次每个进价是10元；
（2）设剩余的纪念品每个售价y元，由（1）知，第二批购进 ＝500（个），
根据题意，得：15×500× +y×500× ﹣6000≥900，解得：y≥12．
答：剩余的纪念品每个售价至少要12元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解
题关键．
24. 如图，在四边形 中， 所在的直线垂直平分线段 ，过点 作 交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司延长 、 交于点 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ， 的面积为 求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到 ，进而得到 ，根据 ，得
到 ，即可得到 ，问题得证；
（2）根据线段垂直平分线段性质得到 ，进而得到 ，即可得到
，根据 即可证明 ；
（3）先证明 ，过点 作 ，垂足为 ，根据 的面积为 求出 ，根
据 平分 ， ， ，即可求出 ．
【小问1详解】
证明：∵ 所在的直线垂直平分线段 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ；
【小问2详解】
证明：∵ 所在的直线垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
过点 作 ，垂足为 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐
角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键．
25. 阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ，所以 ，即 ，并且当 时， ；
对于两个非负实数 ， ，由于 所以 ，即 ，
所以 ，并且当 时， ；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把
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学科网（北京）股份有限公司分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称
为 假 分 式 ． 对 于 任 何 一 个 假 分 式 都 可 以 化 成 整 式 与 真 分 式 的 和 的 形 式 ， 如 ：
；
（1）在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
（2）已知： ，求代数式 的值；
（3）当 为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
【答案】（1）①②④ （2）
（3） 时， 有最小值，最小值为3
【解析】
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，
理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
（2）先根据 ，得到 ，进而得到 ，即可得到
，利用倒数的定义即可求出 ；
（3）先求出 ，再将 变形为 根据（一）结论得到
，即可求出当且仅当
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学科网（北京）股份有限公司，即 时， 有最小值，最小值为3．
【小问1详解】
解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由题意， ，
∴ ．
原式
．
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立．
∴原式的最小值为3．
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
