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2024-2025 学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的值( )
A.s小in于2cos3 B.大于 C.等于 D.不存在
2.如图所0示，在正方体 0 中， ， 分别0是 ， 的中点，则异面直线 与 所成的角的
大小为( ) − 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
∘ ∘ ∘ ∘
3.设30复数 ， 在复平面内的45对应点关于实轴对称60， ，则 90 ( )
A. 1 2 B. C. 1 =1+ D 1 . 2 =
4.设1+向 量 ， 满足 −2 ， ，2则 等于( ) 1−
A. | + |B=. 10 | − |= C6. · D.
5.已1知 ， 是球 的球面上的2两点， 3，点 为该球面上的动5点，若三棱锥 体积的最大值
∠ =90° −
为 ，则球 的表面积为( )
4
A.3 B. C. D.
16 36 64 144
6.若 ，则 等于( )
1+cos2 1
sin2 =2 2
A. B. C. D.
5 5 4 4
7.设4 ， ， ， 是平面上四 − 个4不同的点，其中任3意三点不共线，若 −3 ，则
是 ( ) ( + −2 )⋅( − )=0
△A. 等 边 三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
8.如图所示，四边形 中， ， ， 将四边形 沿对角线 折成
四面体 ′ ，使 平 面 ′ =平 面 = ，=则1下列 结=论正2确的 是 (⊥ ) .
− ⊥
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1 7A. ′ B. ′
∘
C. ′ 与⊥平 面 ′ 所成的角为 D. ∠四 面 体 ′=90 的体积为
∘ 1
二、 多选题：本 题共 3小题，共1 3 8 0 分。在每小题给出的 选项 − 中 ， 有多项符合3题目要求。
9.已知复数 满足 ，则( )
A.复数 虚部 的最|大 −值1为+ |= 3
B.复数 实部的取值范围是2
C. 的最小值为 [−2,4]
D.|复 +数1在+复 |平面内对应的1 点位于第一、三、四象限
10.下列 四个选项中，计算正确的是( )
A.
∘ 6− 2
B. cos(−15 )= 4
∘ ∘ ∘ ∘
cos15 cos105 +sin15 sin105 =0
C.
∘ ∘ ∘ ∘ 1
cos( −35 )cos(25 + )+sin( −35 )⋅sin(25 + )= 2
D.
∘ ∘ ∘ ∘ 1
11.s已in1知4 c，os16为异+面sin直76线c，os直74线=与2 ， 都垂直，则下列说法正确的是( )
A.若 平 面 ，则 ，
B.存在 ⊥平面 ，使得 // ， // ，
C.有且只有一 对互相 平⊥行 的 平⊂面 和 /，/ 其中 ，
D.至多有一对互相垂直的平面 和 ， 其中 ⊂， ⊂
三、填空题：本题共3小题，每 小 题5分， 共⊂1 5分 。⊂
12.如果用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 ．
13.已知 、 是单 位=向2量，3 若向量 满足 ，则 的最大值是 ．
14.已知 ，则 ⋅ =0. | − − |= 1 | |
∘ 1−tan −tan −tan tan
+ =15 1+tan +tan −tan tan =
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2 7四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
函数( 13 ) 的最大值为 ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ．
求 函 ( 数 )= si 的 n( 解 析 − 式6)+1( >0, >0) 3 2
(1)设 ( )，则 ; ，求 的值．
(
1
2
6
)
. 本
小
∈
题
(0,2)
分
(2)=2
如图(所示，在15四面)体 中， ， ，点 ， 分别是 ， 的中点．
= ⊥
求证： 直线 平面
平面(1) 平 面// ;
(127). 本小 题 ⊥ 分 .
在 ( 中，15 ) ， ， A.
△求 的值 = 5 =3 sin =2sin
(1)求 ; 的值．
(
1
2
8
)
. 本
s
小
in(
题
2 − 分4)
半径(为 的圆17 内)接 ，且
求数1量积 ，△ ，3 +4 +5 =0 .
(1)求 的 面 ⋅积 ． ⋅ ⋅ ;
(129). 本△小 题 分
如图( 所示，1在7 直)角梯形 中， ， ， ， ， ，边 上一点 满足
现将1 沿 折起到 的位 置//， 使平 面⊥ 平=面2 =，3如图 =所示3． =1.
△ △ 1 1 ⊥ 2
求证：
(1)求四棱锥 1 ⊥ ; 的体积
(2)求平面 1−与 平 面 所成; 锐二面角的余弦值．
(3) 1 1
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3 7参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.3
2+1
14.
3
15.解3： 函数 的最大值为 ，所以： ，
(1) ( )= ( −6)+1( >0, >0) 3 =2
由于函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
得到函数的周期为： ，进一步求得： 2 ，
所以： = ； =2
( )=2 (2 −6)+1
由 得： ，
(2) (1) ( )=2 (2 −6)+1
由于： ，
0< < 2
所以： ，
0< 2 < 4
，解得： ．
1 ( 6.2证 ) 明 = ： 2 ( − ，6)+ 分 1 别 = 是 2 ， 的 中 = 点3，
是 (1)∵的 中位 线，
∴ △ ．
∴ //
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4 7平面 ， 平面 ，
∵直 线⊄ 平 面 ．⊂
∴ // ， ，
(2)∵ ⊥． //
∴ ⊥ ， 是 的中点，
∵ = ．
∴又 ⊥ ，且 ， 平面 ，
∵ 平∩面 = ． ⊂
∴ ⊥平面 ，
∵平 面⊂ 平 面 ．
∴ ⊥
17.解： 在 中， ， ， ，
因为 (1) ▵， = 5 =3 sin =2sin
sin =sin
所以 ；
⋅sin 5×2sin
= sin = sin =2 5
由余弦定理可得 ，
2 2 2
+ − 20+9−5 2 5
(2) cos = 2 ⋅ =2×2 5×3= 5
得： ，
2 5
sin = 1− = 5
所以 ，
4
sin2 =2sin cos =5
，
2 2 4 1 3
cos2 = − =5−5=5
所以 ．
4 2 3 2 2
sin 2 −4 =5× 2 −5× 2 = 10
18.解： ．
(1)∵ 3 +4 ， +5 = 0
∴即3 +4 =−5 ．
2 2
(3 +4 ) =(−5 )
可得 ．
2 2 2
9 +24 · +16 =25
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5 7又 ，
∵| |=| |= | |= 1
，
2 2 2
∴ = ．= =1
∴同 理 可· 得 ：=0 ，
等式两边平方4 可 得+：5 =−3
，
2 2 2
16 +25 +40 · =9
，
4
∴ · =−5
同理可求得：
3
· =−5.
(2) △ = △ + △ + △
．
1 1 1
=2| |·| |·sin∠ +2| |·| |sin∠ +2| |·| |·sin∠
又 ，
| |= | |=| |=1
．
1
∴
由
△
知
=2(sin∠ +sin∠ +sin∠ )
(1) · =，|得 |·| |·cos∠ ．
=cos∠ =0 sin∠ =1
，
4
· =| |·| |·cos∠ =cos∠ =−5
，同理 ，
3 4
∴ sin∠ =5 sin∠ =5
．
6
∴ △ =5
19.解： 证明：在图 中，连接 ，易求 ．
四边形(1) 为菱形连1接 交 于 点 ，则 = =． = = =2
∴在图 中 ， . ， ． ⊥
∴又 2 于 1 ⊥ 平 面 ⊥ ．
又 1 ⊥平 面 , ∴， ⊥ 1
由1 ⊂可知 1 ∴ ，1 平⊥面 ; 平面 ，所以 ，所以 平面 ，
(由2)勾股(1定)理可 得1 ⊥ ， 1 ⊥ ． 1 ⊥ 1 ⊥
梯形 的面积 =2 3 ∴ 1 = = 3 ，
( + )× (2+1)× 3 3 3
= 2 = 2 = 2
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6 7所以
1 3 3 3
=3× 2 × 3=2
解：在图 中延长 ， ，设 ，连接 ．
(3) 平面 2 ， 平 面 ． ∩ =
∵又 ∈ 平面 1 ， ∈ 平面 1 ．
1 ∈是平面 1 与 平1 ∈面 1的 交线，
∴平 1面 平1 面 ， 1 ，平面 平面 ，
∵ 平1 面 ⊥ ， ⊥ 1 ⊥ =
∴又 ⊥ 平面 1 ， ，作 ，垂足为 ，连接 ，
又 1 ⊂ 1 ， ∴ 平⊥面 1 ， ⊥ 1
又 ∩平 面= ，∴ 1 ⊥ ．
⊂即为 平 面 ∴ 1与 平⊥面 所成锐二面角的平面角．
∴由∠ 知 ， ，1 为等 1边 三角形， ， ∽ ，
(1) △ 1 ， 解得 △ ． ∴ = 3 ∵ 1
3 3
∴ 1 = =4 =2
在 中， ，
2 2 9 21
= + = 3+4= 2
．
3
2 21
∴ cos∠ = = 21 = 7
平面 与平面 2 所成锐二面角的余弦值 ．
21
∴ 1 1
7
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7 7
