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八年级数学
（满分 100 分，考试时间 90 分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的
被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此先化简二次根式，再根据同类二次根式的定
义判断即可．
【详解】解：A、 与 是同类二次根式，符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选A．
2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A、方程 中的 不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程 可整理为 ，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程 满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当 时，方程 不是一元二次方程，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键．
3. 在实数范围内因式分解 ，下列四个答案中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，
之后再代入因式分解的形式中即可．
【详解】解：令 ，解得 ， ，
所以 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
4. 下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有（ ）个
①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等；
③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查真假命题、逆命题及等腰三角形的性质、实数的性质．本题考查了首先写出各个命
题的逆命题，再进一步判断真假即可．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，原命题是真命题；
逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题；
②全等三角形对应角相等，原命题是真命题；
逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，逆命题不是真命题；
③等腰三角形两条腰上的高相等，原命题是真命题；
逆命题为：有两条高相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等，原命题是真命题；
逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等的平方相等，逆命题不是真命题；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，原命题是真命题；
逆命题为：两条直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，则这两条直线平行，逆命
题是真命题．
原命题与其逆命题均为真命题的有③⑤，共2个．
故选：A．
5. 如图， 中， ，如果要使用尺规作图的方法在 上确定一点P，使
，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 和 可得，点P在线段 的垂直平分线上，因此这道题就转化
成了作线段 的垂直平分线，与 的交点即为点P．
【详解】∵ ，而 ，
∴ ，
∴点P在线段 的垂直平分线上，
即点P为线段 的垂直平分线与 的交点．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．解决此类题目
的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6. 如图， 两点分别在射线 上，点 在 的内部，且 ，
垂足分别为点 ，且 ，若 ，则 的长为（ ）
A. 10 B. 13 C. 15 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明 得到
，则 ，进一步证明 得到
，则 ．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x−5≥0，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题
的关键．
8. 方程 的解是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先移项，再根据因式分解法，可得答案．
【详解】解：移项，得：
，
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学科网（北京）股份有限公司因式分解，得：
，
∴ 或 ，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程的关键是分解因式．
9. 若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
___________________．
【答案】 且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根是解答本题的关键．
10. 已知函数 ，那么 _______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数值，分母有理化，根据题意把 代入 进行求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 在正比例函数 中，当 时， 那么 _______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，二次根式的除法计算，根据当 时， 得到
，由此可得 ．
【详解】解：∵在正比例函数 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
12. 如果反比例函数 的图像，在 的范围内， 随 们增大而减小，那么 的取值范围是
_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数 ，当 时，其函数图
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学科网（北京）股份有限公司象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当 时，其函数图象经过第二、四象限，在每
个象限内y随x增大而增大，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图像，在 的范围内， 随 们增大而减小，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 经过定点 的圆的圆心的轨迹是_______．
【答案】直线
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两
端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点 的圆的圆心的轨迹是直线．
【详解】解：∵一个圆经过定点 ，
∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，
∴该圆圆心在线段 的垂直平分线上，
的
∴经过定点 圆的圆心的轨迹是直线，
故答案为：直线．
14. 如果一个直角三角形的一个内角等于 ，其中一条较长的直角边长为 ，那么斜边的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据较长的直角边长为 ，直角三角形的一个内角等于 ，可设 所对的边长为x，然后根据
勾股定理可得斜边的长
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵直角三角形的一个内角等于 ，其中一条较长的直角边长为 ，
∴较长的直角边对应的角度是 ，
∴设 所对的边长为x，则斜边长为： ，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
∴斜边长为： ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键
15. 已知正比例函数 和反比例函数 的比例系数 和 互为倒数，且正比例函数的图象经过
点 ．如果 ，那么当 时， 的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求反比例函数值和求正比例函数值，利用待定系数法求出
，进而求出 ，则 ，再把 代入 中求出y的值即可．
【详解】解：∵正比例函数 图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵正比例函数 和反比例函数 的比例系数 和 互为倒数，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知在 中， ，点 们坐标分别是 、
，则点 的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形．过点 作 于点 ， 与
轴交于点 ，根据等腰三角形的性质得出 ，再根据勾股定理可以得出 ，从而即可
得到答案．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， 与 轴交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
点 的坐标分别是 ， ，
， ，
， ，
，
，
， ，
点 的坐标为： ，
故答案为： ．
17. 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三
边，并且等于第三边的一半.如图1， 中， 分别是 的中点，则 ，且
.试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，函数 的图像经过 的顶
点和边的 中点 ，分别过 作 轴， 轴，垂足分别为 是 的中位线.
如果点 的横坐标为 ，则点 的坐标为_________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先求出点B的坐标，根据三角形的中位线得到CE=2即点C的纵坐标为2，再代入 中求出
点E的横坐标.
【详解】∵点 的横坐标为 ，且点B在 上，
∴将x=3代入，得y=4，
,
∴B(3，4)
∴BD=4，
∵CE是 的中位线,
∴ =2，
∴点C的纵坐标为2，
将y=2代入 中，得x=6，
∴C(6，2).
故答案为： .
【点睛】此题考查反比例函数的性质，点在反比例图象上时，点的坐标符合函数关系式，代入解析式即可
确定点的横坐标或是纵坐标，解题中三角形的中位线的利用是解题的关键.
18. 已知等腰 中， 边的垂直平分线交直线 于点 ，若 ，则
的度数为_______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 或 或
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，
分当 是锐角三角形时，当 是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分
线的性质得到 ，再根据等边对等角得到 ，再根据角度之间的关系进行求解即
可．
【详解】解：如图所示，当 是锐角三角形时，且点D在线段 上，
∵点D在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图所示，当 是锐角三角形时，且点D在线段 的延长线上，
∵点D在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司如图所示，当 是钝角三角形时，点D在线段 的延长线上，
∵点D在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ．
故答案为； 或 或 ．
三、简答题（本大题5题，每题6分，满分30分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
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学科网（北京）股份有限公司．
20. 解方程：（3x﹣1）2＝4x2．
【答案】x＝1，
1
【解析】
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：由题意可知：
3x﹣1＝2x或3x﹣1＝﹣2x，
解得x＝1， ．
1
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店采取
了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天
可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？
【答案】每件商品降价10元时，该商品每天 的销售利润为1200元．
【解析】
【分析】设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平
均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈
利不少于25元的答案即可．
【详解】解：设每件商品降价 元，根据题意，得
解这个方程得 ，
由 ，得
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学科网（北京）股份有限公司的值
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
22. 据医学研究,使用某种抗生素治疗心肌炎,人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时,治疗有效.如果
一患者按规定剂量服用这种抗生素,服用后每毫升血液中的含药量 (微克)与服用后的时间 (小时)之间的函
数关系如图所示:
(1)如果上午8时服用该药物,到 时该药物的浓度达到最大值 微克/毫升;
(2)根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时y与t之间的函数解析式;
(3)如果上午8时服用该药物,到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时．
【答案】（1）12，8；（2） ；（3）10，5.
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可知，当 时， 取得最大值，且最大值为8，即可求得本问；
（2）根据图象可得，从服用药物起到药物浓度最高时， 与 之间的函数解析式为图象中的正比例函数那
段，将图象上 代入即可得；
（3）由题意，求出 时，在正比例函数上 的值，即可解；又因 时， ，所以药物有效时间
总共为 小时.
【详解】（1）由函数图象可知，当 时， 取得最大值，且最大值为8
则如果上午8时服用该药物，到 时该药物的浓度达到最大值8微克/毫升
故答案为：12，8；
（2）根据图象可得，需要求的是 时，正比例函数那段，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，将 代入得：
解得：
则所求的 与 之间的函数解析式为 ；
的
（3）把 ，代入题（2）所求 函数解析式得 ，解得
从图象中可得， 时，
由题意得 治疗有效
则如果上午8时服用该药物，到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时
故答案为：10，5.
【点睛】本题考查了一元一次函数的实际应用，看懂图象、理解题意是解题关键.
23. 已知点 在反比例函数 的图象上，正比例函数的图象经过点 和点 ．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求 两点之间的距离；
（3）若点 在 轴上，且 ，则点 的坐标为_______（直接写出答案）
【答案】23. 正比例函数的解析式为 ；
24. 、 两点之间的距离为 ；
25. 或
【解析】
【分析】（1）设正比例函数解析式为 ，把点 的坐标代入反比例函数解析式求出 的值，
从而得到点 的坐标，然后代入正比例函数解析式求解即可；
（2）把点 的坐标代入正比例函数解析式求出 ，根据两点间的距离公式即可得到结论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，根据题意得到 ，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：设正比例函数解析式为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
解得 ，
的坐标为 ，
正比例函数图象经过点 ，
，
解得 ，
正比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解： 正比例函数图象经过点 ，
，
点 ，
、 两点之间的距离为 ；
【小问3详解】
解：设 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，
解得 或8，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图
象上点的坐标特征，待定系数法求自变量函数的解析式，反比例函数的对称性，两点间的距离，图象上点
的坐标适合解析式是解题的关键．
四、解答题（本大题3题，第24题5分，第25题7分，第26题8分，满分20分）
24. 如图，已知在 中， ， 是 的中点．
求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明 ，推
出 ，再利用“三线合一”的性质即可求解．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ．
25. 如图，已知在 中， ，苦点 从点 出发，以每秒 的
速度沿折线 运动，设运动时间为 秒 ．
（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 ）
（1）若点 在 上，且满足 时，在图（1）中求作符合要求的点 ，此时 _______；
（2）若点 恰好在 的角平分线上（点 除外），在图（2）中求作符合要求的点 ，此时
_______．
【答案】（1）作图见详解，
（2）作图见详解，
【解析】
【分析】（1）根据中垂线性质可知，作 的垂直平分线，与 交于点 ，则满足 ，在
中，用勾股定理计算出 ，再用 表示出 ，则 ，在
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学科网（北京）股份有限公司中，利用勾股定理建立方程求 ；
（2）过 作 于 点，作出 的角平分线，由角平分线性质可得 ，由题意
，则 ，在 中，利用勾股定理建立方程求 .
【小问1详解】
作 的垂直平分线 ，与 交于点 ，与 交于点 ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
由题意 ， ，
，
．
【小问2详解】
作 的平分线 ，过 作 于 点，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， ， ，
在 和 中，
，
，
由题意 ，则 ，
在Rt△ABD中， ，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理,垂直平分线的性质和角平分线的性质，熟练运用垂直平分线的性质和角平
分线的性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是解本题的关键．
26. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）DF的长为5．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
【小问2详解】
解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF= AB=5．
∴DF的长为5．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理
是解答本题的关键．
五、综合题（本大题第（1）小题2分，第（2）小题2分，第（3）小题4分，满分8分）
27. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 是矩形，且 ， ， ．反
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学科网（北京）股份有限公司比例函数 （ ）的图象分别交 、 于点E、点F ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接 、 、 ，求 的面积；
（3）是否存在x轴上的一点P，使得 是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合
题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据题意得到点 的坐标为 ，根据待定系数法可得 的值，即可；
（2）求出点 与点 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点 坐标为 ，求出点 与点 的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
， ，
所以点 的坐标为 ，
点 在反比例函数上，代入 ，得到 ，
故反比例函数解析式为 ；
【小问2详解】
如图，
，
，
时， ，
，
即， ， ，
，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司；
【小问3详解】
如图，
，
设所求点 坐标为 ，
， ，
，
，
，
当 时，
，
即， ，
解得， ，
故 ；
当 时，
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，
即， ，
解得， ，
故 ，
综上所述；存在点 ，坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析
式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键．
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
