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2023 学年度第一学期期末八年级自适应练习
数学学科
（时间90分钟，满分100分）
一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1. 下列二次根式中，如果与 是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，故A错误；
B、 与 不是同类二次根式，故B错误；
C、 与 不是同类二次根式，故C错误；
D、 与 是同类二次根式，故D正确；
故选：D．
2. 的有理化因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键．
根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ．
故选：B．
3. 下列函数中， 的值随 的值增大而减小的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的性质．
由正比例函数与反比例函数的图像和性质知， ， 时， 随 的增大而增大，反之 随
的增大而减小； 中应在每个象限内讨论增减性．
【详解】解：A、 中， ， 随 的增大而增大；
C、 ， ， 随 增大而减小；
B、 和D、 ，应在每个象限内讨论，在整个实数范围内无法判断其增减性．
故选：C．
4. 在下列关于 的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的关系是解题的关键．用根的判
别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需 ．
【详解】解：A、 ，∵ ，∴方程有两个不相等的实数根；
B、 ，∵ ，∴方程无实数根；
C、 ，∵ ，∴方程无实数根；
D、 ，∵ ，∴方程实有两个相等的实数根；
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形
B. 如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等
C. 如果一个三角形的两个锐角的和为 ，那么这个三角形是直角三角形
D. 如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识
是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解．
【详解】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题；
B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题；
C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为 ，正确，为真命题；
D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题．
故选：B．
6. 如图，在 中， 是钝角，以点C为圆心、 的长为半径画弧，再以点A为圆心、 的
长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接 ，延长 交 于点E．下列结论中一定正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的
关键．
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学科网（北京）股份有限公司根据作图过程可得 ，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断 垂直平
分 ，进而即可得到答案
【详解】解：由作法得 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7. 化简： ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意知 ，然后根据平方根的 性质化简．
本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键．
【详解】由 知， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
8. 方程2x2-x=0的根是______.
【答案】x= , x=0
1 2
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】2x2-x=0，
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学科网（北京）股份有限公司x（2x-1）=0，
x=0或2x-1=0，
∴x= ， x=0.
1 2
故答案为x= ， x=0.
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，熟练运用因式分解法将方程化为x（2x-1）=0是解
决问题的关键.
9. 函数 的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式
时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式
时，被开方数为非负；根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得出 ，求解即可，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
函数 的定义域是 ，
故答案为： ．
10. 已知函数 ，那么 ________．
【答案】2
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了求函数值，将 代入 进行计算即可，准确计算是解此题的关键．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
11. 在实数范围内分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．
时， ，根据求根公式的分解方法和特点即可求解．
【详解】解： 时， ，
，
故答案 ： ．
为
12. 如果反比例函数 （ 是常数， ）的图像位于第二、四象限，那么 ________．（只需写
一个数值）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据“反比例函数
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学科网（北京）股份有限公司，当 时，函数过一、三象限，当 时，函数过二、四象限”，即可解答．
【详解】解： 反比例函数 （ 是常数， ）的图像位于第二、四象限，
，
，
故答案为： ．
13. 某种商品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为81元，如果每次降价的百分率是一样的，
那么每次降价的百分率是_____
【答案】10%
【解析】
【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后
的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．
【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．
根据题意，得100（1-x）2=81，
即（1-x）2=0.81，
解得x=1.9，x=0.1．
1 2
因为x=1.9不合题意，故舍去，
所以x=0.1．
即每次降价的百分率为0.1，即10%．
故答案为10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外
还要注意解的取舍．
的
14. 已知 、 是两个定点，那么经过这两个定点 圆的圆心轨迹是________．
【答案】线段 的垂直平分线
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” ．利用圆
的性质可以得到圆上所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到 、 两点的距离相等，从而得出
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学科网（北京）股份有限公司结论．
【详解】解： 圆上 所的有点到圆心的距离相等，
无论圆心在哪里，所有圆心到 、 两点的距离相等，
到 、 两点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上，
故答案为：线段 的垂直平分线．
15. 如图，为了测量塔 的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得
， ．如果 ，那么塔高 ________（结果用含字母 的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握直角
三角形中 所对的直角边为斜边的一半成为解题的关键．
先根据三角形的外角的性质可得 ，进而得到 ，由等腰三角形的判定可得
，最后根据直角三角形中 所对的直角边为斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为 ．
16. 如图，在四边形ABCD中， ， ，垂足为点E．如果 ， ，
那么 ________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点 作
，再利用已知条件得到 平分 ，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到
本题答案．
【详解】解：过点 作 ，
，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17. 小明求代数式 的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设
为 轴上的一个动点，选取点 和 ，根据两点的距离公式得 ，
，通过构造，将求代数式的最小值转化为求 的最小值，由此小明求出
的最小值等于________．
【答案】5
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点
M到点 的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出 的长即可，正确转化代数式为两点之间
距离问题是解题关键．
【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点 的距离之和的最小值，可作B点关于x轴
的对称点 ，连接 ，此时 的长即为所求代数式的最小值，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 的最小值等于5 ，
故答案为：5．
18. 如图，在 中， ， ， ，点D在边BC上，且 ．
现将 绕着点D旋转得到 ，点 、 、 分别与点A、B、C对应，连接 ．如果点
在线段AD的延长线上，那么 ________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，旋转性质．根据题意先画出旋转后的简图，先利用勾股定理求出 的长，
再求出 ，再利用勾股定理求出 ，继而得到 ，再利用旋转性质及勾股定理即可得到
本题答案．
【详解】解：根据题意画出如下图：
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵现将 绕着点D旋转得到 ，
∴ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出
答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
20. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
21. 现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度 （米）与摊铺时
间 （小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度 （米）与摊铺时间 （小时）的函数解
析式是 ．结合图象提供的信息，回答下列问题：
（1）甲队摊铺的路面总长是________米；
（2）在图中画出乙队摊铺路面的长度 （米）与摊铺时间 （小时）的函数关系的图象；
（3）当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是________米；
（4）甲队的平均工作效率是每小时________米．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）50 （4）
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解
此题的关键．
（1）由函数图象即可得出答案；
（2）根据乙队摊铺路面 的长度 （米）与摊铺时间 （小时）的函数解析式是 画出
图象即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）由图可得，当 时，甲队的工作效率发生变化，将 代入 进行计算即可
得出答案；
（4）由图可得：甲队摊铺的路面总长是 米，所花费的时间为 小时，由此进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是 米，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画出乙队摊铺路面的长度 （米）与摊铺时间 （小时）的函数关系的图象如图所示：
【小问3详解】
解：由图可得，当 时，甲队的工作效率发生变化，
此时乙队摊铺路面的长度是 （米），
故答案为： ；
【小问4详解】
解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是 米，所花费的时间为 小时，
故甲队的平均工作效率是每小时 （米），
故答案为： ．
22. 如图，在 中， ，直线 ，垂足为点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如果点 在直线 上，且点 到 两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点
（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点 ）；
（2）在第（1）题的条件下，连接接 和 ，如果 ，请判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） 为直角三角形．理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质．
（1）根据角平分线的性质，尺规作 的平分线，与直线 交于点 ；
（2）过点 作 于 ，根据角平分线性质得出 ，根据三角形面积公式求出
，结合 ，可得 ，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，点 即为所求，
【小问2详解】
为直角三角形，
理由如下：过点 作 于 ．
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形．
四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分）
23. 已知：如图，在 中，点A在边 的垂直平分线上，直线l经过点A， 、 分别垂直于直
线l，垂足分别为点D、E，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ．
（2）取边 的中点F，连接 ，求证： 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ，结合已知条件可证 ；
（2）设l交 于点Q，连接 ，过 作 于 ， 于 ，根据（1）结论可得
， 推 出 ， 可 得 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 推 出 ， 证
，可得 ，得到 ，即得．
【小问1详解】
∵ ， ，
∴ ， 与 为直角三角形，
∵点A在边 垂直平分线上，
∴ ，
在也 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
即 ；
【小问2详解】
设l交 于点Q，连接 ，过 作 于 ，作 于 ，
∴
由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ 为 中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ 平分 ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂
直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问
题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图像经过点 ，点 与点 关于
轴对称，且点 在反比例函数 的图像上．
（1）求 的值和反比例函数的解析式；
（2）设 是直线 上的一动点．当线段 最短时，求 的面积．
【答案】（1）1；
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的性质以及直线与坐标轴的交点问题，熟练掌握反比例函数的
性质是解题的关键，
（1）将将 代入 得到 的值， 与点 关于 轴对称，可得 ，再将点 代入即
可得到反比例函数的解析式；
（2）设 ，当 时，线段 最短，根据勾股定理可得点 的坐标，即可得到 、
的值， 的面积即可求解．
【小问1详解】
解：将 代入 得 ，
∴ ，
∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
将 代入 得 ，
∴ ．
【小问2详解】
解：设 ，
当 时，线段 最短，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知 ， ，
∴ ，
，
，
由勾定理得 ，
∴ ，
整理得：
解之得： （舍）， ．
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
25. 【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角
形的某两条边必有倍半关系．
如图1，已知在 中，BD是 的角平分线， 是 的中线， ，垂足为点F．
（1）根据图1，写出 中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角
叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：
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学科网（北京）股份有限公司（2）在如图1中，“线垂”三角形 是否可以是直角三角形？如果可以，求 的度数；如果不
可以，请说明理由；
（3）已知线段 ，是否存在一点P，使得以 为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存
在，请在图2中用直尺和圆规做出 为“分角”的“线垂”等腰三角形 （不写作法，仅保留
作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有
关的真命题；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线性质及画法，角平分线性质，中线定义
（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到 ，即 为等腰三角形，再根据中线定义即
可得到本题答案；
（2）根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案；
（3）画出线段 的垂直平分线找出点 ，根据垂直平分线性质写出真命题即可．
【详解】（1）解： ，证明如下：
∵BD是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵AE是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：可以，证明如下：
当 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵BD是 的角平分线，
∴ ，
∴ ；
（3）解：存在，
∵根据题意描述，点 在线段 的垂直平分线上，作图如下：
真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
