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上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽
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2022-2023 学年上学期上海八年级初中数学期末典型试卷 2
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
2．（2021秋•静安区期末）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．（2021秋•普陀区期末）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝
EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（ ）
3
A．1 B． C．2 D．3
2
4．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，
点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（ ）
个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的
垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
6．（2021秋•普陀区期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
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A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69
7．（2021秋•宝山区期末）下列运算结果正确的是（ ）
A．a•a2＝a2 B．（﹣2a）2＝2a2
C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a5﹣a5＝a0
2𝑎𝑏 2 2𝑎𝑏
8．（2021秋•宝山区期末）已知分式 的值为 ，如果把分式 中的a、b同时扩大为
𝑎+𝑏 5 𝑎+𝑏
原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）
2 4 6 4
A． B． C． D．
5 5 5 25
9．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ）
𝐴
A．若A、B表示两个不同的整式，则 一定是分式
𝐵
𝑥𝑦
B．如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变
𝑥+𝑦
C．单项式23ab是5次单项式
5
D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n =
4
10．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）
𝑥6 𝑥2+𝑦2
A． =x3 B． =x+y
𝑥2 𝑥+𝑦
𝑥+𝑚 𝑥 15𝑏−5𝑎 5
C． = D． =−
𝑦+𝑚 𝑦 2𝑎−6𝑏 2
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•普陀区期末）新型冠状病毒颗粒呈球形或者椭圆形，传染性非常强，传播速
度非常快，它的直径约为125纳米（0.000000125米）左右，将0.000000125用科学记数
法表示为 ．
𝑥 𝑘
12．（2021秋•宝山区期末）如果关于x的方程 +2 = 无解，那么k＝ ．
𝑥−2 𝑥−2
13．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝ ．
14．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，
那么整数k的值为 ．
15．（2022春•普陀区校级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝24°，线段AB
的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，联结BE，则∠CBE＝ 度．
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16．（2022春•杨浦区校级期末）如图，G是直线HA上的点，若HA∥BF，FH＝FG，∠HFG
＝46°，则∠HFB＝ 度．
17．（2022 春•徐汇区校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则 DE 的长
是 ．
18．（2022春•徐汇区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即
图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大
小的三角形？应该带第 块．
19．（2022 春•奉贤区校级期末）一个多边形的内角和等于 540 度，那么它的边数
是 ．
20．（2022 春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为 5，1﹣a，9，则 a 的取值范围
为 ．
三．解答题（共10小题）
1 1
21．（2022春•上海期末）在△ABC中，AB＝AC，∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，BD与
2 2
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CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
1 1
若∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
3 3
1 1
若∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
𝑛 𝑛
22．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知：AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，试说明BD平分
∠ABC的理由．
23．（2022春•普陀区校级期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD为△ABC的高，
点E在边AC上，BE与AD交于点F，且DF＝DC．说明BE⊥AC的理由．
解：∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90° （ ）．
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝ °，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°．
∴BD＝AD （ ）．
在△BDF与△ADC中，
{BD = AD
∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶，
𝐷𝐹=𝐷𝐶
∴△BDF≌△ADC（ ）（完成以下说理过程）．
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24．（2022春•上海期末）在直角坐标系中有P（﹣2，2）和Q（5，8）两点，M是x轴上
的任意一点，则PM+QM长度的最小值是？
25．（2022春•上海期末）在等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，延长BC到E，使CE =
1
BC，连结D、E．
2
（1）BD与DE有怎样的关系？请说明你的理由．
（2）把BD改成什么条件，还能得到（1）中的结论？
26．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
27．（2021秋•普陀区期末）计算：（a﹣b）2﹣（2a﹣b）（2a+b）．
28．（2022春•杨浦区校级期末）甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队
单独做可以提前2天完工，乙队单独做要延期5天完成，现在两个工程队先合作4天，
余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？
1 𝑥
29．（2021秋•普陀区期末）解方程：1 + = ．
1−𝑥2 𝑥+1
2𝑥𝑦 2(𝑥−𝑦) 𝑥2−𝑦2
30．（2021秋•普陀区期末）计算：（ ）﹣1− ÷ ．
𝑥+𝑦 𝑥2 𝑥𝑦
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2022-2023 学年上学期上海八年级初中数学期末典型试卷 2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算．
【解答】解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：C．
【点评】①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）
求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
2．（2021秋•静安区期末）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180＝3×360，
解得：n＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键．
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3．（2021 秋•普陀区期末）如图，已知点B、D、C、F 在同一条直线上，AB∥EF，AB＝
EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（ ）
3
A．1 B． C．2 D．3
2
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，证得△ABC≌△EFD，得到BC
1 3
＝FD，进而得到BD＝FC，即可得出BD = （BF﹣DC） = ．
2 2
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠F，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠EDF，
在△ABC和△EFD中，
{∠ACB = ∠EDF
∠𝐵=∠𝐹 ，
𝐴𝐵=𝐸𝐹
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴BC＝FD，
∴BC﹣DC＝FD﹣DC，
∴BD＝FC，
1 1 3
∴BD = （BF﹣DC） = （6﹣3） = ．
2 2 2
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得ABC≌△EFD是解决问题的关
键．
4．（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，
点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（ ）
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个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝54°，
∵BC＝BD，
∴∠CDB＝∠DCB＝72°，
∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，
∴CE＝BE，AE＝CE，
∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础
题型．
5．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的
垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；应用意识．
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝
NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠
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C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝70°，
∴∠B+∠C＝180°﹣70°＝110°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，
＝110°﹣70°
＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能
得到求∠EAN的关系式是关键．
6．（2021秋•普陀区期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（ ）
A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整体思想；整式；运算能力．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则计算2（5﹣a）（6+a）＝100，得：a2+a＝﹣20，
最后整体代入可得结论．
【解答】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，
∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，
∴a2+a＝﹣20，
∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19．
故选：B．
【点评】本题考查多项式乘多项式和整体思想的运用，掌握多项式乘多项式的运算法则
（用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加）是解题关
键．
7．（2021秋•宝山区期末）下列运算结果正确的是（ ）
A．a•a2＝a2 B．（﹣2a）2＝2a2
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C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a5﹣a5＝a0
【考点】幂的乘方与积的乘方；零指数幂；整式的加减；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a•a2＝a3，不合题意；
B．（﹣2a）2＝4a2，不合题意；
C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a，符合题意；
D．a5﹣a5＝0，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2𝑎𝑏 2 2𝑎𝑏
8．（2021秋•宝山区期末）已知分式 的值为 ，如果把分式 中的a、b同时扩大为
𝑎+𝑏 5 𝑎+𝑏
原来的3倍，那么新得到的分式的值为（ ）
2 4 6 4
A． B． C． D．
5 5 5 25
【考点】分式的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：因为a、b同时扩大为原来的3倍后变为3a，3b，
2⋅3𝑎⋅3𝑏 18𝑎𝑏 6𝑎𝑏
所以 = = ，
3𝑎+3𝑏 3𝑎+3𝑏 𝑎+𝑏
2𝑎𝑏 2
∵分式 的值为 ，
𝑎+𝑏 5
6𝑎𝑏 2𝑎𝑏 2 6
∴ =3• =3 × = ，
𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 5 5
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关
键．
9．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（ ）
𝐴
A．若A、B表示两个不同的整式，则 一定是分式
𝐵
𝑥𝑦
B．如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变
𝑥+𝑦
C．单项式23ab是5次单项式
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5
D．若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n =
4
【考点】分式的基本性质；整式；单项式；同底数幂的除法．
【专题】整式；分式；运算能力．
【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出
答案．
𝐴
【解答】解：A、若A、B表示两个不同的整式，则 不一定是分式，故A不符合题意．
𝐵
𝑥𝑦
B、如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B
𝑥+𝑦
不符合题意．
C、单项式23ab是2次单项式，故C不符合题意．
5
D、若3m＝5，3n＝4，则3m﹣n = ，故D符合题意．
4
故选：D．
【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本
题属于基础题型．
10．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（ ）
𝑥6 𝑥2+𝑦2
A． =x3 B． =x+y
𝑥2 𝑥+𝑦
𝑥+𝑚 𝑥 15𝑏−5𝑎 5
C． = D． =−
𝑦+𝑚 𝑦 2𝑎−6𝑏 2
【考点】约分．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．
𝑥6
【解答】解：A. =x4，故此选项不符合题意；
𝑥2
𝑥2+𝑦2
B. 的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；
𝑥+𝑦
𝑥+𝑚
C. 的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；
𝑦+𝑚
15𝑏−5𝑎 −5(𝑎−3𝑏) 5
D. = =− ，正确，故此选项符合题意；
2𝑎−6𝑏 2(𝑎−3𝑏) 2
故选：D．
【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
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二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•普陀区期末）新型冠状病毒颗粒呈球形或者椭圆形，传染性非常强，传播速
度非常快，它的直径约为125纳米（0.000000125米）左右，将0.000000125用科学记数
法表示为 1.25×10﹣7 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故答案为：1.25×10﹣7．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
𝑥 𝑘
12．（2021秋•宝山区期末）如果关于x的方程 +2 = 无解，那么k＝ 2 ．
𝑥−2 𝑥−2
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方
程计算即可求出k的值．
【解答】解：去分母得：x+2x﹣4＝k，
由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：k＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
13．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝ （a﹣b）（x+y） ．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】计算题；因式分解；整式；运算能力；应用意识．
【分析】先分组，再提取公因式，再提取公因式．
【解答】解：ax﹣by+ay﹣bx
＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）
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＝x（a﹣b）+y（a﹣b）
＝（a﹣b）（x+y）．
故答案为：（a﹣b）（x+y）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，
先分组，再分解因式，提取公因式的熟练应用是解题关键．
14．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，
那么整数k的值为 ±2 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．
【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，
∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，
∴整数k的值为：±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的
关键．
15．（2022春•普陀区校级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝24°，线段AB
的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，联结BE，则∠CBE＝ 54 度．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，可求得∠ABC的度数，又由线段
AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，可求得AE＝BE，即可求得∠ABE的度数，
继而求得答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
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∴∠ABE＝∠A＝24°，
∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝24°，
1
∴∠ABC＝∠ACB = （180°﹣∠A）＝78°，
2
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝78°﹣24°＝54°．
故答案为：54．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性
质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．（2022春•杨浦区校级期末）如图，G是直线HA上的点，若HA∥BF，FH＝FG，∠HFG
＝46°，则∠HFB＝ 113 度．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠H，再根据平行线的性质即
可求出∠HFB．
【解答】解：∵FH＝FG，∠HFG＝46°，
1
∴∠H＝∠FGH = （180°﹣∠HFG）＝67°，
2
∵HA∥BF，
∴∠HFB＝180°﹣∠H＝113°．
故答案为：113．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质．掌握各
定理是解题的关键．
17．（2022春•徐汇区校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是
5 ．
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【考点】全等三角形的性质．
【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，
∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解
题的关键．
18．（2022春•徐汇区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即
图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大
小的三角形？应该带第 2 块．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以
不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判
定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．（2022 春•奉贤区校级期末）一个多边形的内角和等于 540 度，那么它的边数是
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5 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】方程思想；多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，考查方程思想，掌握多边形的内角和公式：
（n﹣2）•180°是解题的关键．
20．（2022春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ﹣
13＜a＜﹣3 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得9﹣
5＜1﹣a＜9+5，再解不等式即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：9﹣5＜1﹣a＜9+5，
解得﹣13＜a＜﹣3，
故答案为：﹣13＜a＜﹣3．
【点评】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是
根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
三．解答题（共10小题）
1 1
21．（2022春•上海期末）在△ABC中，AB＝AC，∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，BD与
2 2
CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？
1 1
若∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
3 3
1 1
若∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
𝑛 𝑛
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【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的内角和得到∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC），∠BOC＝180°﹣
（∠1+∠2），代入已知条件即可得到结论．
1 1
【解答】解：∵AB＝AC，∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°− （∠ABC+∠ACB）＝180°− （180°﹣∠A），
2 2
1
即∠BOC＝90° + ∠A；
2
1 1
∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，
3 3
1 1
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°− （∠ABC+∠ACB）＝180°− （180°﹣∠A），
3 3
即∠BOC＝120°+∠A；
1 1
∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，
𝑛 𝑛
1 1
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°− （∠ABC+∠ACB）＝180°− （180°﹣∠A），
𝑛 𝑛
𝑛−1 1
即∠BOC = 180° + ∠A．
𝑛 𝑛
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握
三角形的内角和是解题的关键．
22．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知：AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，试说明BD平分
∠ABC的理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由等腰三角形的判定与性质证出DA＝DC，证明△BAD≌△BCD（SSS），由全
等三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD，则可得出结论．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
又∵BD＝BD，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌
△BCD是解题的关键．
23．（2022春•普陀区校级期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD为△ABC的高，
点E在边AC上，BE与AD交于点F，且DF＝DC．说明BE⊥AC的理由．
解：∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90° （ 三角形高的定义 ）．
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝ 180 °，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°．
∴BD＝AD （ 等角对等边 ）．
在△BDF与△ADC中，
{BD = AD
∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶，
𝐷𝐹=𝐷𝐶
∴△BDF≌△ADC（ SAS ）（完成以下说理过程）．
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【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】利用SAS证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质求出∠C+∠FBD＝90°，
进而得到∠BEC＝90°，据此即可得解．
【解答】解：∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90° （三角形高的定义），
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝180°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴BD＝AD （等角对等边），
在△BDF与△ADC中，
{BD = AD
∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶 ，
𝐷𝐹=𝐷𝐶
∴△BDF≌△ADC（SAS），
∴∠BFD＝∠C，
∵∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠FBD＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC．
故答案为：三角形高的定义；180；等角对等边；SAS．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
题的关键．
24．（2022春•上海期末）在直角坐标系中有P（﹣2，2）和Q（5，8）两点，M是x轴上
的任意一点，则PM+QM长度的最小值是？
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】点P关于x轴的对称点为P′（﹣2，﹣2），线段P′M的长就是PM+QM长度
的最小值，根据坐标系中两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：如图，
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∵点P（﹣2，2）关于x轴的对称点为P′（﹣2，﹣2），
∴线段P′Q的长就是PM+QM长度的最小值，
∵Q（5，8），
∴P′Q = (5+2)2+(8+2)2= 149，
则PM+QM长度的最小值是 149．
【点评】本题考查了最短线路问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质
定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
25．（2022春•上海期末）在等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，延长BC到E，使CE =
1
BC，连结D、E．
2
（1）BD与DE有怎样的关系？请说明你的理由．
（2）把BD改成什么条件，还能得到（1）中的结论？
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
1 1 1 1
【分析】（1）由等边三角形的性质CD = AC = BC，∠CBD = ∠ABC = ∠ACB，
2 2 2 2
1
由CE = BC，得CE＝CD，则有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性质∠ACD＝∠E+∠
2
1
CDE，即有∠E = ∠ACD，从而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE；
2
（2）根据等边三角形的性质，等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，据此进
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行求解即可．
【解答】解：（1）BD＝DE，理由如下：
∵等边△ABC，BD⊥AC，
1 1 1 1
∴CD = AC = BC，∠CBD = ∠ABC = ∠ACB，
2 2 2 2
1
∵CE = BC，
2
∴CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACD是△CDE的外角，
∴∠ACD＝∠E+∠CDE，
1
∴∠E = ∠ACD，
2
∴∠E＝∠CBD，
∴BD＝DE；
（2）∵等边△ABC，
∴等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，
∴可把BD改为：BD是边BC的中线或BD是∠ABC的平分线．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是对等边三角形的“三线合一”
的掌握．
26．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
27．（2021秋•普陀区期末）计算：（a﹣b）2﹣（2a﹣b）（2a+b）．
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
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【分析】根据完全平方公式和平方差公式化简即可．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣（4a2﹣b2）
＝a2﹣2ab+b2﹣4a2+b2
＝﹣3a2﹣2ab+2b2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关
键．
28．（2022春•杨浦区校级期末）甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队
单独做可以提前2天完工，乙队单独做要延期5天完成，现在两个工程队先合作4天，
余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】设这项工程规定的时间是x天，则甲队单独做需要（x﹣2）天完工，乙队单独
做要（x+5）天完成，由题意：两个工程队先合作4天，余下的由乙队继续去做正好如期
完工，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设这项工程规定的时间是x天，则甲队单独做需要（x﹣2）天完工，乙队
单独做要（x+5）天完成，
4 𝑥
由题意得： + =1，
𝑥−2 𝑥+5
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程规定的时间是30天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
1 𝑥
29．（2021秋•普陀区期末）解方程：1 + = ．
1−𝑥2 𝑥+1
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
1 𝑥
【解答】解：1 + = ，
1−𝑥2 𝑥+1
1﹣x2+1＝x（1﹣x），
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解得：x＝2，
检验：当x＝2时，1﹣x2≠0，
∴x＝2是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
2𝑥𝑦 2(𝑥−𝑦) 𝑥2−𝑦2
30．（2021秋•普陀区期末）计算：（ ）﹣1− ÷ ．
𝑥+𝑦 𝑥2 𝑥𝑦
【考点】分式的混合运算；负整数指数幂．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据负整数指数幂、分式的除法和减法可以解答本题．
2𝑥𝑦 2(𝑥−𝑦) 𝑥2−𝑦2
【解答】解：（ ）﹣1− ÷
𝑥+𝑦 𝑥2 𝑥𝑦
𝑥+𝑦 2(𝑥−𝑦) 𝑥𝑦
= − ⋅
2𝑥𝑦 𝑥2 (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
𝑥+𝑦 2𝑦
= −
2𝑥𝑦 𝑥(𝑥+𝑦)
(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑦)−2𝑦⋅2𝑦
=
2𝑥𝑦(𝑥+𝑦)
𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2−4𝑦2
=
2𝑥𝑦(𝑥+𝑦)
(𝑥+3𝑦)(𝑥−𝑦)
=
2𝑥𝑦(𝑥+𝑦)
𝑥2+2𝑥𝑦−3𝑦2
= ．
2𝑥2𝑦+2𝑥𝑦2
【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、熟练掌握运算法则是解答本题的关
键．
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考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n ＜10 第一位非零数字前所有0的个数（含
小数点前的0）
2．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系
数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或
“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项
式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其
中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳
出一般性的结论．
3．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项
式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子
中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次
数．
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在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是
1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、
合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类
项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号
外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
5．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 23与 25，（a2b2）3 与
（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算
性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在
运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变
形为同底数幂．
6．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方
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的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据
乘方的意义，计算出最后的结果．
7．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是
什么，指数是什么．
8．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积
相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，
在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
9．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，
其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算
符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②
对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两
项看做一项后，也可以用完全平方公式．
10．平方差公式
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（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以
多项式法则简便．
11．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组
后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
12．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，
1 2 1 2
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把常数项c分解成两个因数c ，c 的积c •c ，并使a c +a c 正好是一
1 2 1 2 1 2 2 1
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 1 2 2
13．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式
的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两
个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指
改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
14．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出
分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
15．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，
然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运
算律进行灵活运算．
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【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面
的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约
分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特
点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
16．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
17．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣
3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
18．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数的值，这个值叫方程的
解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范
围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
19．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如
下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分
式方程的解．
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②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分
式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
20．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，
要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率
＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能
力．
21．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵
坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距
离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，
是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去
解决问题．
22．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
1
则∠AOC＝∠BOC = ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实
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践．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角
相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁
内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角
相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，
只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角
形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏
的定时炸弹，容易忽略．
25．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且
每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在
转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关
系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐
角．
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26．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三
角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指
边的对角．
27．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三
角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅
助线构造三角形．
28．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要
认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联
系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解
决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短
法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已
知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
29．线段垂直平分线的性质
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（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平
分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，
到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外
心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
30．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从
中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
31．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对
等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作
未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
32．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等
腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形
中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
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等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边
的垂直平分线是对称轴．
33．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的
相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角
形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
34．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为
（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法
之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也
是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外
角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝
360°．
35．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以
通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L
的交点就是所要找的点．
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2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解
决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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