上海奉贤区致远高级中学2022-2023学年高一下学期期中教学评估数学试题答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_下学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) 致远高中 2022 学年第二学期期中教学评估 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1–6题每题 4分，第 7–12题每 题 5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 2023是第 象限的角． 解：20233605223，223是第三象限角，所以2023是第三象限角  2．（教科书第78页例2）函数y 3sin(2x )的振幅、频率和初始相位分别 4 是_____1/π_______________.    3. 在边长为2的正方形ABCD中， ACCBDB ______. 【答案】2       【详解】 ACCBDB  ABBD  AD 2. 4. 已知半径为 2 的扇形的圆心角为 90， 则扇形的面积为 . 【答案】π 【详解】因为半径为 2 的扇形的圆心角为 90， π 1 所以弧长l r  2π，面积s  r2  2 2 故答案为：π 5．在ABC中，若sinA:sinB:sinC＝3:4:6，则cosC= 13 【答案】 24 【分析】根据正弦定理可知a:b:c3:4:6，设a3k,b4k,c6k，利用余弦定理即可求 出. 1 5 6．.已知角是第二象限角，且tan ，则sin___________.【答案】 2 5   7. (书86页)求函数 f(x)tan( x )的定义域为________________. 6 3   x x6k1,kZ    5 8. 若 f x 是以 为周期的奇函数，且 f   1，则 f    ______. 2  3  6  【答案】1 【解析】 第 1 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】由奇函数的性质以及周期性求解即可.  5 5    【详解】 f    f   f    f   1  6   6   2 3  3 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用以及周期性的应用，属于基础题. 3𝜋 𝑐𝑜𝑠(2𝜋−𝛼)+2𝑐𝑜𝑠( −𝛼) 2 9. 若tan（π﹣α）＝﹣2，则 = ﹣1 ． 𝜋 𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)−𝑠𝑖𝑛(− −𝛼) 2 【分析】由已知利用诱导公式可得tanα的值，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关 系式化简所求即可得解． 【解答】解：因为tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2， 所以tanα＝2， 3𝜋 𝑐𝑜𝑠(2𝜋−𝛼)+2𝑐𝑜𝑠( 2 −𝛼) 𝑐𝑜𝑠𝛼−2𝑠𝑖𝑛𝛼 1−2𝑡𝑎𝑛𝛼 1−2×2 所以 = = = =−1． 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼+1 2+1 𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)−𝑠𝑖𝑛(− −𝛼) 2 故答案为：﹣1． 10.已知公式cos34cos33cos，R，借助这个公式，我们可以求函数   3 f(x)4x3 3x2x0, 的值域，则该函数的值域是______.  2     【答案】 3,2 【解析】 【分析】   根据题意，可令xcos，  ，  ，结合cos34cos33cos，再进行整体代换 6 2 即可求解    3 【详解】令xcos，  ，  ，则x0, ， 6 2 2   f(x)4x3 3x2 f cos4cos33cos2cos32，  ，  ，   6 2 则3  ， 3 ，cos31,0，cos323,2 ，则函数值域为 3,2   2 2  故答案为： 3,2 第 2 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 )    11. 如图所示为函数 f x2sinx  0,  的部分图象，其中 AB 5，  2  则此函数的解析式为_________________. 【答案】  5 y 2sin( x ) 3 6 【解析】 【分析】设A(x ,2),B(x ,2)，其中x x ，根据 AB 5，求得x x 3，得到T 6， 1 2 1 2 2 1  得到函数 f x2sin( x)，结合 f 02sin1，即可求解. 3 【详解】由函数 f x2sinx 的部分图象，设A(x ,2),B(x ,2)，其中x x ， 1 2 1 2 因为 AB 5，可得 (x x )2 42 5，解得x x 3， 2 1 2 1 1 2   即 T 3，所以T 6，可得  ，所以 f x2sin( x)， 2 T 3 3 1 又由 f 02sin1，可得sin ， 2  5 因为 ，所以 . 2 6 故答案为：  5 y 2sin( x ) 3 6 12.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是________.  C  ①．若 ab2c ，则 3 第 3 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) ②．若a2+b2＞c2，则△ABC是锐角三角形 𝐴 𝑏+𝑐 ③．若cos2 = ，则△ABC是直角三角形 2 2𝑐 a b  ④．若cosB cosA，则 ABC 为等腰三角形 1 1 1 ⑤. 若锐角△ABC中，则sinAsinBtanC  cosA cosB cotC恒成立 2 3 4 【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 2 ab 【解答】解：对于①，若ab2c，则   c2，  2  2 ab a2 b2 c2 a2 b2    2   3  a2 b2 2ab 6ab2ab 1 ， cosC      2ab 2ab 8ab 8ab 2  y cosx在 0, 递减，所以C  ，故①正确； 3 对于②，△ABC中，∵a2+b2＞c2，∴角C为锐角，但锐角三角形需判定三个顶角均为 锐角，所以△ABC不一定是锐角三角形，故②错误； 𝐴 1+𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏+𝑐 对于③，若𝑐𝑜𝑠2 = = ，即ccosA＝b，化简可得c2＝a2+b2，所以△ABC是 2 2 2𝑐 直角三角形，故D正确； a b   AB  对于④，由正弦定理及cosB cosA，得 sin2Asin2B 所以AB或 2 ， ABC 则 为等腰三角形或直角三角形，故④错误.． 对于⑤.角A,B,C分别取89,89,2,代入不成立. 故选：③．① ． 二、选择题（本大题共 4题，满分 20分，每小题 5分）每题有且只有一个正确 选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．命题“x=π”是“sinx=0”的（ ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 第 4 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=π，然后结合充分必要条件的判 定得答案． 【详解】解：由x=π，得sinx=0； 反之，由sinx=0，得x=kπ，k∈Z． ∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件． 故选A． 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题． 14. 已知点Ptan,cos 在第三象限，则角的终边位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象 限 【答案】B  π 15．由函数ysin2x的图象经过图象变换得到函数ysinx 的图象，则这个变换过程  4 为（ ） π A．向左平移 个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变） 8 π B．向左平移 个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变） 4 1 π C．把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），向左平移 个单位长度 2 4 1 π D．把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），向左平移 个单位长度 2 8 【答案】A 【分析】根据图象的伸缩与平移变换可以有2种变换方法，写出变换过程即可判断选项.  π 【详解】ysin2x的图象经过图象变换得到函数ysinx 的图象,  4 可先平移后伸缩： π π π 将函数图象向左平移 个单位长度得ysin2(x )sin(2x )，再将所有点的横坐标扩大 8 8 4  π 为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到ysinx 的图象；  4 先伸缩后平移： 1 把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到ysin2 xsinx，再将图象 2 第 5 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) π  π 左移 个单位，得到ysinx 的图象. 4  4 故选：A  1 16. 设函数 f xsinx，xa,b ，值域为  1,  ，则以下结论错误的是（ ）  2 2π π A. ba的最小值为 B. a不可能等于2kπ ，kZ 3 6 4π π C. ba的最大值为 D. b不可能等于2kπ ，kZ 3 6 【15题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】作出正弦函数y = sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、 C、D各 项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项. 【详解】解：作出正弦函数y = sinx的图象，加以观察得：   对于A，当a  ，b 时，函数在 a,b 上单调递增，此时函数的最小值为 2 6    1 sin    1，函数的最大值sin    ，  2  6  2  1 2π 此时函数的值域为  1,  ，ba达到最小值 ，故A正确；  2 3  1 3 对于B，如果a 2k kZ，由于sina 没有达到最小值-1，则b2k+ 6 2 2 1 才能出现函数的最小值-1.而此时函数的最大值为1，而不是 ，与题设矛盾，因此 2  a 2k kZ，故B正确； 6 7  对于C，当a  ，b 时，函数在 a,b 上先单调递增，再单调递减，此时函数的最 6 6 第 6 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 )    7 1 小值为sin    1，函数的最大值sin     ，  2  6  2  1 4π 此时函数的值域为  1,  ，ba达到最大值 ，故C正确；  2 3 7   1 π 对于D，当a ，b 时，此时函数的值域为  1,  ，所以b可能等于2kπ ， 6 6  2 6 kZ，故D不正确； 故选：D. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分）解答下列各题必须在答题纸的相应 写出必要的步骤． 17. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 1 13  17．已知cos  ,cos()  ,且0<<< , 7 14 2 (Ⅰ)求tan2的值. （Ⅱ）求 cos. 1  1 2 4 3 ．解：（Ⅰ）由cos ,0 ，得sin 1cos2 1   ----2分 7 2 7 7 sin 4 3 7 ∴tan   4 3，---2分 cos 7 1 2tan 24 3 8 3 于是 tan2   ----2分 1tan2  2 47 1 4 3   （Ⅱ）由 0<<< ，得0 2 2 13 13 2 3 3 又∵cos ，∴sin 1cos2  1   ---3分 14 14 14 由得： coscos coscossinsin   1 13 4 3 3 3 1      -----4分 7 14 7 14 2 18. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）  2     如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE  AD，AB a，AC b. 3 第 7 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 )      （1）用a,b表示AF ，AD，AE ； （2）求证：B，E，F三点共线. 1 1  1 1 1 【答案】（1） b； a b； a b； 2 2 2 3 3 （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量加法法则、数乘向量直接计算作答. （2）由（1）的信息，结合向量减法法则，再借助共线向量求解作答. 【小问1详解】      1 1 在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AB a，AC b，则AF  AC  b， 2 2  1   1  1  2 2 1  1 1 1 AD (AB AC) a b，AE  AD ( a b) a b， 2 2 2 3 3 2 2 3 3 uuur r r  1 1 1  1 1 所以，AF  b，AD a b，AE  a b. 2 2 2 3 3 【小问2详解】    1 1  2  1     1  由（1）知，BE  AEAB a ba  a b，BF  AF  AB  a b ， 3 3 3 3 2  2 于是有BE  BF ， 3 所以B，E，F三点共线. 19．（本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分） 已知函数 f xcos2x2 3sinxcosxsin2x，xR． （1）求函数 f x的单调增区间； 第 8 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）求方程 f x0在(0，π]内的所有解． π π 5 11 【答案】（1）[ kπ, kπ],kZ；（2）x 或x 3 6 12 12   【详解】 f xcos2x2 3sinxcosxsin2x  3sin2xcos2x2sin2x   6 -----5分      （1）由 2k2x  2k,kZ ，解得： kx k,kZ . 2 6 2 3 6     ∴函数 f x的单调增区间为   k, k ,kZ -----5分  3 6      k （2）由 f x0得2sin2x 0，解得：2x k，即x  ,kZ  6 6 12 2 5 11 ∵x0,，∴x 或x ． ------6分 12 12 【点睛】本题考查了三角函数求值的运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是 基础题． 20.（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）． （2021秋•嘉定区期末）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，a＝5，b＝ 6． 4 （1）若cosB ，求A和△ABC外接圆半径R的值； 5 15 7 （2）若三角形的面积S  ，求c边的长.  4 【考点】两角和与差的三角函数 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算 【分析】（1）直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果． （2）利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出c的值． 4  【解答】解：（1）若cosB ，则B( ,)， 5 2 3 故sinB 1cos2B  ， 5 由于a＝5，b＝6， a b 1 由正弦定理得：  ，解得sinA ， sinA sinB 2 由于a＜b，   所以A(0, )，故A ． 2 6 第 9 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) a 5 所以外接圆的半径2R  10，故R＝5． sinA 1 2 15 7 2S 7 3 （2）由于S  ，所以sinC  ABC  ，故cosC  ． ABC 4 ab 4 4 3 3 当cosC  时，c2 52 62 256 16，解得c＝4； 4 4 3 3 当cosC  时，c2 52 62 256( )106，解得c 106 ． 4 4 所以c＝4或 106． 21．（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分,第3小题6分,）． 21.在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足∠BAD＝90°），且∠ABC＝120°，路灯C锥 形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝24米，设灯柱高AB ＝h米，∠ACB＝（30°≤≤45°）． （1）当＝30°时，求四边形ABCD的面积； （2）求灯柱的高h（用表示）； （3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式， 并求出S的最小值．    【答案】（1）192 3 m2；（2）h16sin2(  )；（3）S 16sin(2 )8 3 6 4 3   (  )，最小值为8(1 3). 6 4 【解析】 第 10 页 共 11 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽 有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】 （1）由题设△ABC为等腰三角形，△ACD为等边三角形，且S S S ，结合 ABCD △ABC △ACD 已知即可求面积.  （2）由题意，可得D ，在△ACD、△ABC中应用正弦定理求AC，h即可. 2 （3）由（2）及正弦定理求BC，再利用正余弦倍角公式、辅助角公式写出S关于的函数 表达式并求最小值即可. 【详解】 （1）由题意，△ABC为等腰三角形，△ACD为等边三角形， 1 1 3 ∴S S S  244 3 242 192 3 m2. ABCD ABC ACD 2 2 2    （2）由题意，BAC  ，则CAD ，故D ， 3 6 2 AD AC  在△ACD中，由正弦定理知：   ，即AC 16 3cos， sin sin( ) 3 2 h AC    在△ABC中，由正弦定理知：sin 2，即h16sin2(  ). sin 6 4 3 AC BC  （3）由（2）知： 2  ，则BC 16 3cos28sin2， sin sin( ) 3 3 ∴S 16 3cos28sin216sin216 3cos28sin2   2 5 8 3cos28sin28 316sin(2 )8 3，而2 [ , ]， 3 3 3 6 ∴S最小值为8(1 3). 第 11 页 共 11 页