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上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽
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2022-2023 学年上学期上海八年级初中数学期末典型试卷 3
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•浦东新区期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．a2•a4＝a6 C．（a3）2＝a5 D．（2a）2＝2a2
2．（2021秋•浦东新区期末）多项式x2+A+1是个完全平方式，那么代数式A不可能为（ ）
1
A．2x B．x C．﹣2x D． x4
4
3．（2021秋•静安区期末）计算x÷2x2的结果是（ ）
2 1 𝑥
A． B． C． D．2x
𝑥 2𝑥 2
4．（2021春•松江区期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）关于x轴的对称点的坐标
是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
5．（2021春•浦东新区校级期末）下列说法正确的个数是（ ）
①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；
②等腰三角形的对称轴是底边上的高；
③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021春•浦东新区校级期末）等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部
分的差为9，则腰长为（ ）
A．8 B．26
C．8或26 D．以上结论都不正确
7．（2020秋•静安区期末）如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（ ）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
𝑥+1 𝑥2 𝑥+1
8．（2021春•闵行区期末）用换元法解方程 + =2时，如果设 =y，那么原方
𝑥2 𝑥+1 𝑥2
程可化为（ ）
A．y2+y﹣2＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2﹣2y+1＝0
𝑥+1 6𝑥 𝑥+1
9．（2021春•嘉定区期末）用换元法解分式方程 + =5时，如果设 =y，将原
𝑥 𝑥+1 𝑥
方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
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6
A．y + =5 B．y2+5y+6＝0 C．y2﹣5y+6＝0 D．y2+6y﹣5＝0
𝑦
10．（2021春•崇明区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内不相交的两条线段必平行
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形的任意两边之和大于第三边
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•浦东新区校级期末）一个多边形的每个内角都为144°，那么该正多边形的边
数为 ．
12．（2021春•青浦区期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个
角的夹边称为邻余线，如图，在4×2的方格纸中，A、B在格点上，如果C、D在格点
上，且 AB 是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形 ABCD 的个数有
个．
13．（2021春•静安区校级期末）如图，△ABC的面积为 3𝑐𝑚2，∠B的平分线BP与AP垂
直，垂足为点P，AB：BC＝2：5，那么△APC的面积为 cm2．
14．（2020秋•静安区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，
CD＝ ．
15．（2021春•静安区校级期末）若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为
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50°，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
16．（2021春•静安区校级期末）小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、
n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 ．
17．（2020秋•黄浦区期末）分解因式：x2﹣4x＝ ．
18．（2020秋•普陀区期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝ ．
2𝑥
19．（2020秋•嘉定区期末）要使分式 有意义，则x须满足的条件为 ．
𝑥+1
𝑥+1 2𝑥 𝑥
20．（2021 春•浦东新区校级期末）用换元法解分式方程 − =1时，如果设
𝑥 𝑥+1 𝑥+1
=𝑦，那么原方程可以化为关于y的整式方程是 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•浦东新区期末）如图，已知∠BAC＝70°，D为△ABC的边BC上的一点，且
∠CAD＝∠C，∠ADB＝60°．求∠B的度数．
22．（2021春•崇明区期末）如图，已知四边形ABCD中，AD∥CB，BD平分∠ABC，∠A：∠
DBA＝4：1．
（1）求∠A的度数；
（2）如果△BDC是直角三角形，直接写出∠C的度数．
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23．（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE
并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
（1）说明△ADE≌△BFE的理由；
（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是 ，请说明理由．
24．（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠
DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证
明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE
有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
25．（2021春•静安区校级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐
标为（3，3），点C的坐标为（5，1）．
（1）写出A的坐标 ，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（3）联结AA 、BB ，四边形ABB A 的面积为 ．
1 1 1 1
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26．（2020秋•浦东新区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长是一个单位长度，△ABC
的顶点都是某个小正方形的顶点．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，请画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC沿直线l翻折，请画出翻折后的△A B C ．
2 2 2
27．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．
28．（2021春•静安区期末）已知3﹣2x﹣x2乘以ax+b得到的积中常数项为12，且不含有二
1
次项，求﹣7a2﹣（− b）3的值．
4
𝑎−2 𝑎−1 𝑎−4
29．（2020秋•黄浦区期末）先化简，再求值：（ − ） ÷ ，其中a＝﹣
𝑎2+2𝑎 𝑎2+4𝑎+4 𝑎+2
1．
30．（2020秋•普陀区期末）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共
240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去 元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
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2022-2023 学年上学期上海八年级初中数学期末典型试卷 3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•浦东新区期末）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．a2•a4＝a6 C．（a3）2＝a5 D．（2a）2＝2a2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：A．a2与a不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．a2•a4＝a6，故B符合题意；
C．（a3）2＝a6，故C不符合题意；
D．（2a）2＝4a2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它
们的运算法则是解题的关键．
2．（2021秋•浦东新区期末）多项式x2+A+1是个完全平方式，那么代数式A不可能为（ ）
1
A．2x B．x C．﹣2x D． x4
4
【考点】完全平方式．
【专题】常规题型．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A．x2+2x+1＝（x+1）2，是完全平方公式；
B．原式＝x2+x+1不是完全平方公式；
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，是完全平方公式，
1 1
D.x2+ 𝑥4+1=( 𝑥2+1)2，是完全平方公式；
4 2
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2021秋•静安区期末）计算x÷2x2的结果是（ ）
2 1 𝑥
A． B． C． D．2x
𝑥 2𝑥 2
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【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据整式的除法法则计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（1÷2）（x÷x2）
1 1
= •
2 𝑥
1
= ，
2𝑥
故选：B．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除
后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个
因式是解题的关键．
4．（2021春•松江区期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）关于x轴的对称点的坐标
是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】根据关于 x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答
案．
【解答】解：点P（2，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．（2021春•浦东新区校级期末）下列说法正确的个数是（ ）
①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；
②等腰三角形的对称轴是底边上的高；
③有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】利用等边三角形的判定，等腰三角形的对称轴，三角形全等的判定分别判断后
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即可确定正确的选项．
【解答】解：①若有一个外角为120°，则与之相邻的等腰三角形的内角为60°，因此
这个等腰三角形一定是等边三角形，故结论①正确；
②等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，故结论②错误；
③有两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故结论③错误；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形一定全等，故结论④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定方法、等
边三角形的判定，等腰三角形的对称轴等知识，难度不大．
6．（2021春•浦东新区校级期末）等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部
分的差为9，则腰长为（ ）
A．8 B．26
C．8或26 D．以上结论都不正确
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】本题有两种情况，当底较长的时候和腰比较长的时候两种情况．
【解答】解：设等腰三角形腰长为x，
1 1 1 1
由题意得：x + 𝑥−( 𝑥+17)=9或( 𝑥+17)−(𝑥+ 𝑥)=9，
2 2 2 2
解得x＝26或8，
当x＝26时，26，26，17能构成三角形，
当x＝8时，8，8，17无法构成三角形，
∴x＝26，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系．进行分类讨论是解题的关
键．
7．（2020秋•静安区期末）如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（ ）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
【考点】负整数指数幂；有理数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
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【分析】直接利用负指数幂的性质结合x的取值范围得出答案．
【解答】解：∵x＞1，
∴x﹣1＜x＜x2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及实数比较大小，正确利用x的取值范围分
析是解题关键．
𝑥+1 𝑥2 𝑥+1
8．（2021春•闵行区期末）用换元法解方程 + =2时，如果设 =y，那么原方
𝑥2 𝑥+1 𝑥2
程可化为（ ）
A．y2+y﹣2＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2﹣2y+1＝0
【考点】换元法解分式方程．
【专题】换元法；分式方程及应用；运算能力．
𝑥+1 𝑥2 1
【分析】根据换元法的意义，设 =y，则 = ，可将原方程换元后，再去分母即
𝑥2 𝑥+1 𝑦
可．
𝑥+1 𝑥2 1
【解答】解：设 =y，则 = ，原方程可变为，
𝑥2 𝑥+1 𝑦
1
y + =2，
𝑦
两边都乘以y得，
y2﹣2y+1＝0，
故选：D．
【点评】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键．
𝑥+1 6𝑥 𝑥+1
9．（2021春•嘉定区期末）用换元法解分式方程 + =5时，如果设 =y，将原
𝑥 𝑥+1 𝑥
方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
6
A．y + =5 B．y2+5y+6＝0 C．y2﹣5y+6＝0 D．y2+6y﹣5＝0
𝑦
【考点】换元法解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
𝑥+1 𝑥 1 𝑥+1 6𝑥 6
【分析】设 =y，则 = ，原方程 + =5可变为y + =5，再去分母
𝑥 𝑥+1 𝑦 𝑥 𝑥+1 𝑦
可得答案．
𝑥+1 𝑥 1
【解答】解：设 =y，则 = ，
𝑥 𝑥+1 𝑦
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𝑥+1 6𝑥
因此方程 + =5可变为，
𝑥 𝑥+1
6
y + =5，
𝑦
两边都乘以y得，
y2+6＝5y，
∴y2﹣5y+6＝0．
故选：C．
【点评】本题考查换元法解分式方程，理解换元法解分式方程的格式及要求是解决问题
的关键．
10．（2021春•崇明区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内不相交的两条线段必平行
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形的任意两边之和大于第三边
【考点】三角形的外角性质；点到直线的距离；三角形三边关系；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】根据平行线的定义，点到直线的距离定义，三角形外角的性质，三角形的三边
关系判断即可．
【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线平行，
故A选项不符合题意；
点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长，
故B选项不符合题意；
三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，
故C选项不符合题意；
三角形的任意两边之和大于第三边，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的定义，点到直线的距离定义，三角形的外角的性质，三角
形的三边关系等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
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11．（2021春•浦东新区校级期末）一个多边形的每个内角都为144°，那么该正多边形的边
数为 10 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根
据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是144°，
∴该正多边形的一个外角为36°，
∵多边形的外角之和为360°，
360°
∴边数 = =10，
36°
∴这个正多边形的边数是10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外
角之和为360°，此题难度不大．
12．（2021春•青浦区期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个
角的夹边称为邻余线，如图，在4×2的方格纸中，A、B在格点上，如果C、D在格点
上，且 AB 是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形 ABCD 的个数有 6
个．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】新定义；多边形与平行四边形；几何直观．
【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解．
【解答】解：如图所示：
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故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个．
故答案为：6．
【点评】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键．
13．（2021春•静安区校级期末）如图，△ABC的面积为 3𝑐𝑚2，∠B的平分线BP与AP垂
3
直，垂足为点P，AB：BC＝2：5，那么△APC的面积为 3 cm2．
10
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】如图延长AP交BC于T，根据垂直的定义得到∠BPA＝∠BPT＝90°，根据角
平分线的定义得到∠PBA＝∠PBT，根据全等三角形的性质得到PA＝PT，求得S ＝S
△BPA
△BPT
，S
△ACP
＝S
△CPT
，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图延长AP交BC于T，
∵BP⊥AT，
∴∠BPA＝∠BPT＝90°，
∵BP为∠ABC的角平分线，
∴∠PBA＝∠PBT，
在△BPA与△BPT中，
{∠PBA = ∠PBT
𝐵𝑃=𝐵𝑃 ，
∠𝐵𝑃𝐴=∠𝐵𝑃𝑇
∴△BPA≌△BPT（ASA），
∴PA＝PT，AB＝BT，
∴S
△BPA
＝S
△BPT
，S
△ACP
＝S
△CPT
，S
△ABP
＝S
△TBC
，
1 1
∴S
△𝑃𝐵𝐶
=
2
𝑆
△𝐴𝐵𝐶
=
2
3(𝑐𝑚2)，
∵AB：BC＝2：5，
∴BT：BC＝2：5，
∴S
△ABP
：S
△PBC
＝2：5，
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2 2 1 1
则S
△𝐴𝐵𝑃
=
5
𝑆
△𝑃𝐵𝐶
=
5
×
2
3=
5
3(𝑐𝑚2)．
1 1 3
∴S
△𝐴𝑃𝐶
=𝑆
△𝐴𝐵𝐶
−𝑆
△𝐴𝐵𝑃
−𝑆
△𝑃𝐵𝐶
= 3−
5
3−
2
3=
10
3(𝑐𝑚2)．
3
故答案为： 3．
10
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确地作出辅助线是
解题的关键．
14．（2020秋•静安区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，
CD＝ 3 ．
【考点】角平分线的性质；勾股定理．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到
角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB = 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2= 62+82=10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
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1 1 1
∴S
△ABC
=
2
AC•CD +
2
AB•DE =
2
AC•BC，
1 1 1
即 ×6•CD + ×10•CD = ×6×8，
2 2 2
解得CD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角
形的面积列出方程是解题的关键．
15．（2021春•静安区校级期末）若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为
50°，则等腰三角形的顶角的度数为 50°或130° ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠
EHD＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
②当∠A是锐角时，由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝50°，
∴∠DHE＝130°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（2021春•静安区校级期末）小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、
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n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 40° ．
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】过A点作AP∥m，如图，则n∥AP，根据平行线的性质得到∠PAE＝20°，再
利用等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，所以∠BAP＝40°，然后根据平行线的性质得
到∠ADF的度数．
【解答】解：过A点作AP∥m，如图，
∵m∥n，
∴n∥AP，
∴∠PAE＝∠AEG＝20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣20°＝40°，
∵PA∥m，
∴∠ADF＝∠BAP＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，作PA∥m是解决问题的关键．也考查了平行线
的性质．
17．（2020秋•黄浦区期末）分解因式：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2+ 6
18．（2020 秋•普陀区期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝ 2（x− ）（x−
2
2− 6
） ．
2
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
【解答】解：法1：令2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵Δ＝16+8＝24，
4±2 6 2± 6
∴x = = ，
4 2
2+ 6 2− 6
则原式＝2（x− ）（x− ）；
2 2
法2：原式＝2（x2﹣2x+1）﹣3
3
＝2[（x﹣1）2− ]
2
6 6
＝2（x﹣1 + ）（x﹣1− ）
2 2
2+ 6 2− 6
＝2（x− ）（x− ）．
2 2
2+ 6 2− 6
故答案为：2（x− ）（x− ）．
2 2
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2𝑥
19．（2020秋•嘉定区期末）要使分式 有意义，则x须满足的条件为 x≠﹣1 ．
𝑥+1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1
故答案为：x≠﹣1．
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【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等
于零．
𝑥+1 2𝑥 𝑥
20．（2021 春•浦东新区校级期末）用换元法解分式方程 − =1时，如果设
𝑥 𝑥+1 𝑥+1
=𝑦，那么原方程可以化为关于y的整式方程是 2y2+y＝1 ．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用已知结合换元法将原方程变形，进而得出答案．
1
【解答】解：根据题意得： −2𝑦=1，
𝑦
去分母得：2y2+y＝1．
故答案为：2y2+y＝1．
【点评】此题主要考查了换元法解分式方程，正确理解换元法是解题关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•浦东新区期末）如图，已知∠BAC＝70°，D为△ABC的边BC上的一点，且
∠CAD＝∠C，∠ADB＝60°．求∠B的度数．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由三角形的外角性质及已知条件可求得∠C＝30°，再利用三角形的内角和定理
即可求∠B的度数．
【解答】解：∵∠CAD＝∠C，∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C，
∵∠ADB＝60°，
1
∴∠C = ∠ADB＝30°，
2
∵∠ABC＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝80°．
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故∠B的度数为80°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角
形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
22．（2021春•崇明区期末）如图，已知四边形ABCD中，AD∥CB，BD平分∠ABC，∠A：∠
DBA＝4：1．
（1）求∠A的度数；
（2）如果△BDC是直角三角形，直接写出∠C的度数．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】（1）根据平行线的判定，可得答案；
（2）根据三角形的内角和，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：（1）AD∥CB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠A：∠DBA＝4：1，
∵∠ABC+∠A＝180°，
∴∠A＝120°．
（2）∵AD∥CB，∠A＝120°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°．
由三角形的内角和，得
∠C＝180°﹣∠DBC﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣90°＝60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的判定与性质是解题关键．
23．（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE
并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
（1）说明△ADE≌△BFE的理由；
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（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是 EG⊥DF ，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明
△ADE≌△BFE；
（2）可证∠2＝∠F，从而有DG＝FG，再通过（1）中全等知DE＝EF，由等腰三角形
三线合一即可证出EG⊥DF．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠F，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
{∠1 = ∠𝐹
∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐹，
𝐴𝐸=𝐵𝐸
∴△ADE≌△BFE（AAS），
（2）如图，EG⊥DF，
∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠F，
∴DG＝FG，
由（1）知：△ADE≌△BFE，
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∴DE＝EF，
∴EG⊥DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，
找出全等所需的条件是解题的关键．
24．（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠
DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证
明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE
有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】常规题型．
【分析】（1）延长BD 交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠
ACE，根据∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解题；
（2）延长BD交CE于F，易证∠BAD＝∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD＝
CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即
可解题．
【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
{AE = AD
∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐵，
𝐴𝐶=𝐴𝐵
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∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
{AD = AE
∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐶，
𝐴𝐵=𝐴𝐶
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，
本题中求证△EAC≌△DAB是解题的关键．
25．（2021春•静安区校级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐
标为（3，3），点C的坐标为（5，1）．
（1）写出A的坐标 （1，﹣4） ，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（3）联结AA 、BB ，四边形ABB A 的面积为 28 ．
1 1 1 1
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【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据点A的位置写出点A的坐标即可，再根据A，B，C的坐标写出坐标即
可．
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
1 1 1
（3）利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，A（1，﹣4），△ABC即为所求．
故答案为：（1，﹣4）．
（2）如图，△A B C ；即为所求．
1 1 1
1
（3）四边形ABB A 的面积 = （2+6）×7＝28，
1 1 2
故答案为：28．
【点评】本题考查轴对称变换，梯形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，记住
梯形的面积公式．
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26．（2020秋•浦东新区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长是一个单位长度，△ABC
的顶点都是某个小正方形的顶点．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，请画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC沿直线l翻折，请画出翻折后的△A B C ．
2 2 2
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C 即为所求．
2 2 2
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
27．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：2x3+12x2y+18xy2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】提公因式2x，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
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【解答】解：2x3+12x2y+18xy2
＝2x（x2+6xy+9y2）
＝2x（x+3y）2．
【点评】本题考查因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．
28．（2021春•静安区期末）已知3﹣2x﹣x2乘以ax+b得到的积中常数项为12，且不含有二
1
次项，求﹣7a2﹣（− b）3的值．
4
【考点】多项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据题目中的条件从而可求得a，b的
值，再代入所求的式子运算即可．
【解答】解：（3﹣2x﹣x2）（ax+b）
＝3ax+3b﹣2ax2﹣2bx﹣ax3﹣bx2
＝﹣ax3﹣（2a+b）x2+（3a﹣2b）x+3b，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴3b＝12，2a+b＝0，
解得：b＝4，a＝﹣2，
1
∴﹣7a2﹣（− b）3
4
1
＝﹣7×（﹣2）2﹣（− ×4）3
4
＝﹣7×4﹣（﹣1）3
＝﹣28+1
＝﹣27．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含二次项，则其系数为
0．
𝑎−2 𝑎−1 𝑎−4
29．（2020秋•黄浦区期末）先化简，再求值：（ − ） ÷ ，其中a＝﹣
𝑎2+2𝑎 𝑎2+4𝑎+4 𝑎+2
1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
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𝑎−2 𝑎−1 𝑎−4
【解答】解：原式＝[ − ] ÷
𝑎(𝑎+2) (𝑎+2)2 𝑎+2
𝑎2−4 𝑎2−𝑎 𝑎−4
＝[ − ] ÷
𝑎(𝑎+2)2 𝑎(𝑎+2)2 𝑎+2
𝑎−4 𝑎+2
= •
𝑎(𝑎+2)2 𝑎−4
1
= ，
𝑎2+2𝑎
1
当a＝﹣1时，原式 = =−1．
(−1)2+2×(−1)
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，
再代入求值．
30．（2020秋•普陀区期末）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共
240个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元．
（1）购买甲种礼品一共用去 360 元；（请直接写出答案）
（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）设买甲种礼品花了x元，则买乙种礼品花了（x+180）元，由题意：用900
元购买了甲、乙两种礼品，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设乙种礼品的单价为a元，则甲种礼品的单价为2a元，由题意：用900元购买了
甲、乙两种礼品共240个，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设买甲种礼品花了x元，则买乙种礼品花了（x+180）元，
根据题意，得：x+x+180＝900，
解得：x＝360，
即买甲种礼品一共用去360元，
故答案为：360；
（2）设乙种礼品的单价为a元，则甲种礼品的单价为2a元，
360 900−360
根据题意，得： + =240
2𝑎 𝑎
解得：a＝3，
经检验：a＝3是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙种礼品的单价为3元．
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【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
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考点卡片
1．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示
的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，
利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对
值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
2．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不
变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同
系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数
会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字
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母和字母的指数不变．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 23与 25，（a2b2）3 与
（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算
性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在
运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变
形为同底数幂．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方
的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据
乘方的意义，计算出最后的结果．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积
相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，
在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式
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B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完
全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末
项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，
再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的
符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
7．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式
里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③
对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是
一个多项式．
8．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项
式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的
相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低
的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为
正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇
偶．
4、提公因式法基本步骤：
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（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公
因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，
求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
9．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
10．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（ 2）2＝（x + 2）（x− 2）
11．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
12．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注
意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺
少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选
择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式
都有意义，且除数不能为0．
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13．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣
3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
14．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将
问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得
容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母
来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
15．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，
要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率
＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能
力．
16．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它
只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
17．平行线的性质
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1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角
相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁
内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角
相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
18．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，
只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角
形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏
的定时炸弹，容易忽略．
19．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且
每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在
转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关
系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐
角．
20．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
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三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中
去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角
形的外角．
21．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若
已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边
对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应
邻边．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三
角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅
助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段
相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角
平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
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24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从
中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等
腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形
中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边
的垂直平分线是对称轴．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a = 𝑐2−𝑏2，b = 𝑐2−𝑎2及c = 𝑎2+𝑏2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形
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中的每一条直角边．
27．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为
（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法
之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也
是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外
角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝
360°．
28．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对
称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，
就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
29．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
30．作图-轴对称变换
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几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊
的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，
得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
31．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应
点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
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