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2022-2023 学年上海市普陀区曹杨二中附属学校八年级（下）期
末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一次函数𝑦 =−3𝑥−2的截距是( )
A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
2. 下列方程中，有实数根的是( )
𝑥 1
A. 𝑥4+1=0 B. 𝑥−2+1=0 C. 𝑥 +2=−𝑥 D. =
𝑥2−1 𝑥2−1
3. 将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确
的是( )
A. 摸到白球比摸到黑球的可能性大 B. 摸到白球和黑球的可能性相等
C. 摸到红球是确定事件 D. 摸到黑球或白球是确定事件
4. 下列四个命题中，假命题是( )
A. 有两个内角相等的梯形是等腰梯形 B. 等腰梯形一定有两个内角相等
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形的两条对角线相等
5. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，𝐴𝐷 =2，
𝐵𝐷 =3，能判断𝐷𝐸//𝐵𝐶的是( )
𝐷𝐸 2
A. =
𝐵𝐶 3
𝐷𝐸 2
B. =
𝐵𝐶 5
𝐴𝐸 2
C. =
𝐴𝐶 3
𝐴𝐸 2
D. =
𝐴𝐶 5
6. 已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，点𝑂是对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点．下列四种说法：①向量𝐴𝑂与向
量𝑂𝐶是相等的向量；②向量𝑂𝐴与向量𝑂𝐶是互为相反的向量；③向量𝐴𝐵与向量𝐶𝐷是相等的
向量；④向量𝐵𝑂与向量𝐵𝐷是平行向量．其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
第II 卷（非选择题）
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二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 已知一次函数𝑓(𝑥) =3𝑥 +2，那么𝑓(−17) = ______ ．
8. 已知点𝑃是线段𝐴𝐵上的黄金分割点，𝐴𝑃 >𝐵𝑃，𝐴𝐵 =6，那么𝐴𝑃 = ______ ．
9. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 =90°，𝐴𝐶 =4，𝐵𝐶 =3，那么它的重心𝐺到𝐶点的距离是______．
10. 二项方程2𝑥3+16=0在实数范围内的解是______．
11. 已知菱形的边长为2𝑐𝑚，一个内角为60°，那么该菱形的面积为______𝑐𝑚2．
12. 方程(𝑥 +3) 𝑥−1=0的解是______ ．
13. 已知一个梯形的中位线长为5𝑐𝑚，其中一条底边的长为6𝑐𝑚，那么该梯形的另一条底边
的长是______𝑐𝑚．
14. 如果一个多边形的各个外角都是40°，那么这个多边形的内角和是______度．
15. 如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线的长分别为12和15，𝑃是对角
线𝐴𝐶上任一点(点𝑃不与点𝐴、𝐶重合)且𝑃𝐸//𝐵𝐶交𝐴𝐵于𝐸，
𝑃𝐹//𝐶𝐷交𝐴𝐷于𝐹，那么阴影部分的面积是______ ．
16. 已知：如图，𝐸𝐹//𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸，𝐴𝐵 =9，𝐶𝐷 =6，那么𝐸𝐹 =
______ ．
17. 如图，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，使点𝐶与点𝐷重合于正方形内点𝑃
处，折痕分别为𝐴𝐹、𝐵𝐸，如果正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是2，那么
△𝐸𝑃𝐹的面积是______．
18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐵𝐶边上的一点，且𝐴𝐷 =𝐴𝐵 =4，𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵，过点𝐷作
𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐷，𝐷𝐸交𝐴𝐶于点𝐸，如果𝐷𝐸 =2，那么△𝐴𝐵𝐶的面积为______．
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三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
𝑥+1 2 1
19. 解方程： − =
𝑥−1 𝑥2−1 𝑥+1
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题10.0分)
{𝑥−𝑦 =2
解方程组： 𝑥2−2𝑥𝑦−3𝑦2=0 ．
21. (本小题10.0分)
如图，已知向量𝑎、𝑏，用直尺与圆规先作向量𝑎+𝑏，再作向量𝑎−𝑏.(不写画法，保留画图痕
迹，并在答案中注明所求作的向量．)
22. (本小题10.0分)
已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑂，且𝐶𝐴 =𝐶𝐵，延长𝐵𝐶至点𝐸，使
𝐶𝐸 =𝐵𝐶，联结𝐷𝐸．
(1)当𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷时，求证：𝐵𝐸 =2𝐶𝐷；
(2)当∠𝐴𝐶𝐵 =90°时，求证：四边形𝐴𝐶𝐸𝐷是正方形．
23. (本小题12.0分)
已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐵，𝐵𝐶上，𝐵𝐴⋅𝐵𝐷 =𝐵𝐶⋅𝐵𝐸．
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(1)求证：△𝐵𝐷𝐸∽△𝐵𝐶𝐴；
(2)如果𝐴𝐸 =𝐴𝐶，求证：𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵．
24. (本小题12.0分)
4
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中(如图)，已知一次函数𝑦 =− 𝑥 +𝑏的图象与𝑥轴、𝑦轴分别相交于点
3
𝐴、𝐵，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
(1)直接写出点𝐴与点𝐵的坐标______ (用含𝑏的代数式表示)；
(2)求𝑏的值；
4
(3)如果一次函数𝑦 =− 𝑥 +𝑏的图象经过第二、三、四象限，点𝐶的坐标为(2,𝑚)，其中
3
𝑚 >0，试用含𝑚的代数式表示△𝐴𝐵𝐶的面积．
25. (本小题14.0分)
如图，点𝑃是边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线上一个动点(𝑃与𝐴不重合)，以𝑃为圆心，𝑃𝐵长为
半径画圆弧，交线段𝐵𝐶于点𝐸，联结𝐷𝐸，与𝐴𝐶交于点𝐹.设𝐴𝑃的长为𝑥，△𝑃𝐷𝐸的面积为𝑦
(1)判断△𝑃𝐷𝐸的形状，并说明理由；
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(2)求𝑦与𝑥之间的函数关系式，并写出定义域；
(3)当四边形𝑃𝐵𝐸𝐷是梯形时，求出𝑃𝐹的值
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：当𝑥 =0时，𝑦 =−3𝑥−2=−2，
∴一次函数𝑦 =−3𝑥−2的截距是−2．
故选：𝐵．
代入𝑥 =0求出与之对应的𝑦值，该值即是一次函数𝑦 =−3𝑥−2的截距．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记截距的定义是解题的关键．
2.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、𝑥4≥0，𝑥4+1>0，方程𝑥4+1=0没有实数解；
B、变形得 𝑥−2=−1，根据算术平方根非负可知原方程没有实数解；
C、两边平方得𝑥 +2=𝑥2，解得𝑥 1=−1，𝑥 2=2，经检验，原方程的解为𝑥 =−1；
D、去分母得𝑥 =1，经检验原方程没有实数解，
故选：𝐶．
利用偶次方的非负性可对𝐴进行判断；通过解无理方程可对𝐵、𝐶进行判断；通过解分式方程可对𝐷
进行判断．
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注
意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号
)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
3.【答案】𝐵
【解析】
【分析】
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法和确定
性事件的概念．
根据随机事件发生的可能性(概率)的计算方法及确定性事件的概念逐一判断即可得．
【解答】
解：𝐴.由白球的数量比黑球多知摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项正确，不符合题意；
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B.摸到白球比摸到黑球的可能性大，此选项错误，符合题意；
C.摸到红球是不可能事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意；
D.摸到黑球或白球是必然事件，属于确定性事件，此选项正确，不符合题意．
故选B．
4.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、有两个内角相等的梯形是等腰梯形，这个命题为假命题；
B、等腰梯形一定有两个内角相等，这个命题为真命题；
C、两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这个命题为真命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，这个命题为真命题．
故选：𝐴．
利用直角梯形可对𝐴进行判断；根据等腰梯形的性质对𝐵、𝐷进行判断；根据等腰梯形的判定方法
对𝐶进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要
说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即
可．
5.【答案】𝐷
【解析】解：只有选项D正确，
𝐴𝐸 2
理由是：∵ 𝐴𝐷 =2，𝐵𝐷 =3， = ，
𝐴𝐶 5
𝐴𝐷 𝐴𝐸 2
∴ = = ，
𝐴𝐵 𝐴𝐶 5
∵ ∠𝐴 =∠𝐴，
∴△ 𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐵，
∴ 𝐷𝐸//𝐵𝐶，
根据选项A、𝐵、𝐶的条件都不能推出𝐷𝐸//𝐵𝐶．
故选：𝐷．
先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，根据相似推出∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐵，根据
平行线的判定得出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推
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理是解此题的关键．
6.【答案】𝐶
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴ 𝐴𝐵 =𝐶𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝑂𝐴 =𝑂𝐶，𝑂𝐵 =𝑂𝐷，
∴ ①向量𝐴𝑂与向量𝑂𝐶是相等的向量，错误．
②向量𝑂𝐴与向量𝑂𝐶是互为相反的向量，正确．
③向量𝐴𝐵与向量𝐶𝐷是相等的向量，正确．
④向量𝐵𝑂与向量𝐵𝐷是平行向量，正确．
故选：𝐶．
利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
本题考查平面向量，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】−49
【解析】解：当𝑥 =−17时，𝑓(−17) =3×(−17)+2=−49．
故答案为：−49．
代入𝑥 =−17，即可求出𝑓(−17)的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
𝑦 =𝑘𝑥 +𝑏是解题的关键．
8.【答案】3 5−3
【解析】解：∵点𝑃是线段𝐴𝐵上的黄金分割点，𝐴𝑃 >𝐵𝑃，𝐴𝐵 =6，
5−1 5−1
∴ 𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 = ×6=3 5−3，
2 2
故答案为：3 5−3．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
5
9.【答案】
3
【解析】
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【解答】
解：如图，延长𝐶𝐺交𝐴𝐵于点𝐷，
∵ 𝐺点为△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴ 𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的中线，𝐶𝐺 =2𝐷𝐺，
1
∴ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵，
2
2 1
∴ 𝐶𝐺 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵，
3 3
∵ 𝐴𝐶 =4，𝐵𝐶 =3，∠𝐴𝐶𝐵 =90°，
∴ 𝐴𝐵 = 32+42=5，
1 5
∴ 𝐶𝐺 = ×5= ，
3 3
5
即三角形的重心𝐺到𝐶点的距离是 ．
3
5
故答案为： ．
3
【分析】
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直
角三角形斜边上的中线性质．
1
延长𝐶𝐺交𝐴𝐵于𝐷，如图，根据三角形重心的性质得到𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的中线，𝐶𝐺 =2𝐷𝐺，则𝐶𝐺 =
3
𝐴𝐵，然后利用勾股定理计算出𝐴𝐵即可．
10.【答案】𝑥 =−2
【解析】解：∵ 2𝑥3+16=0，
∴ 2𝑥3=−16，
∴𝑥3=−8，
则𝑥 =3 −8=−2，
故答案为：𝑥 =−2．
先移项，再将三次项系数化为1，最后根据立方根的定义求解可得．
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．
11.【答案】2 3
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【解析】解：连接𝐴𝐶，过点𝐴作𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶于点𝑀，
∵菱形的边长为2𝑐𝑚，
∴ 𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =2𝑐𝑚，
∵有一个内角是60°，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶 =60°，
∴△ 𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ 𝐴𝑀 =𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛60° = 3，
∴此菱形的面积为：2× 3=2 3(𝑐𝑚2).
故答案为：2 3
连接𝐴𝐶，过点𝐴作𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶于点𝑀，根据菱形的面积公式即可求出答案．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
12.【答案】𝑥 =1
【解析】解：(𝑥 +3) 𝑥−1=0，
𝑥 +3=0或 𝑥−1=0，
解得：𝑥 =−3或1，
经检验：𝑥 =−3不是原方程的解，𝑥 =1是原方程的解．
故答案为：𝑥 =1．
根据方程得出𝑥 +3=0或 𝑥−1=0，求出两方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能根据题意得出𝑥 +3=0或 𝑥−1=0是解此题的关键，注意：解无理方
程一定要进行检验．
13.【答案】4
【解析】解：设梯形的另一条底边为𝑥𝑐𝑚，
由题意得：6+𝑥 =2×5，
解得𝑥 =4．
即梯形的另一条底边的长为4𝑐𝑚．
故答案为：4．
根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可．
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本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟记梯形的中位线定理并灵活的应用．
14.【答案】1260
【解析】解：设多边形的边数为𝑛，
∵多边形的每个外角都等于40°，
∴ 𝑛 =360÷40=9，
∴这个多边形的内角和=(9−2)×180° =1260°．
故答案为：1260．
由一个多边形的每个外角都等于40°，根据𝑛边形的外角和为360°计算出多边形的边数𝑛，然后根
据𝑛边形的内角和定理计算即可．
本题考查了𝑛边形的内角和定理：𝑛边形的内角和=(𝑛−2)⋅180°；也考查了𝑛边形的外角和为360°．
15.【答案】45
【解析】解：设𝐴𝑃与𝐸𝐹相交于𝑂点．
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，
∴ 𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷．
∵ 𝑃𝐸//𝐵𝐶，𝑃𝐹//𝐶𝐷，
∴ 𝑃𝐸//𝐴𝐹，𝑃𝐹//𝐴𝐸．
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝑃是平行四边形．
∴阴影部分的面积等于△𝐴𝐵𝐶的面积．
∵△ 𝐴𝐵𝐶的面积等于菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积的一半，
1
∴菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积= 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷 =90，
2
∴图中阴影部分的面积为90÷2=45．
故答案为：45．
根据题意可得阴影部分的面积等于△𝐴𝐵𝐶的面积，因为△𝐴𝐵𝐶的面积是菱形面积的一半，根据已
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知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱
形面积的一半是解题的关键．
18
16.【答案】
5
【解析】解：∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∴△ 𝐶𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵，
𝐸𝐹 𝐶𝐹
∴ = ，
𝐴𝐵 𝐶𝐵
∵ 𝐸𝐹//𝐶𝐷，
∴△ 𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐷𝐶，
𝐸𝐹 𝐵𝐹
∴ = ，
𝐶𝐷 𝐵𝐶
𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝐹
∴ + = + =1，
𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐵 𝐵𝐶
𝐸𝐹 𝐸𝐹
∴ + =1，
9 6
18
解得：𝐸𝐹 = ，
5
18
故答案为： ．
5
𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹
证明△𝐶𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵， = ，同理可得 = ，得到 + =1，把已知数据代入计算即可．
𝐴𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】7 3−12
【解析】解：过𝑃作𝑃𝐻 ⊥ 𝐷𝐶于𝐻，交𝐴𝐵于𝐺，如图，
则𝑃𝐺 ⊥ 𝐴𝐵，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，
∴ 𝐴𝐷 =𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐷𝐶 =2；∠𝐷 =∠𝐶 =90°，
又∵将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，使点𝐶与点𝐷重合于形内点𝑃处，
∴ 𝑃𝐴 =𝑃𝐵 =2，∠𝐹𝑃𝐴 =∠𝐸𝑃𝐵 =90°，
∴△ 𝑃𝐴𝐵为等边三角形，
3
∴ ∠𝐴𝑃𝐵 =60°，𝑃𝐺 = 𝐴𝐵 = 3，
2
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∴ ∠𝐸𝑃𝐹 =120°，𝑃𝐻 =𝐻𝐺−𝑃𝐺 =2− 3，
∴ ∠𝐻𝐸𝑃 =30°，
∴ 𝐻𝐸 = 3𝑃𝐻 = 3(2− 3)=2 3−3，
∴ 𝐸𝐹 =2𝐻𝐸 =4 3−6，
1 1
∴△ 𝐸𝑃𝐹的面积= 𝐹𝐸⋅𝑃𝐻 = (2− 3)(4 3−6)
2 2
=7 3−12．
故答案为7 3−12．
过𝑃作𝑃𝐻 ⊥ 𝐷𝐶于𝐻，交𝐴𝐵于𝐺，由正方形的性质得到𝐴𝐷 =𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝐷𝐶 =2；∠𝐷 =∠𝐶 =90°；
再根据折叠的性质有𝑃𝐴 =𝑃𝐵 =2，∠𝐹𝑃𝐴 =∠𝐸𝑃𝐵 =90°，可判断△𝑃𝐴𝐵为等边三角形，利用等
3
边三角形的性质得到∠𝐴𝑃𝐵 =60°，𝑃𝐺 = 𝐴𝐵 = 3，于是∠𝐸𝑃𝐹 =120°，𝑃𝐻 =𝐻𝐺−𝑃𝐺 =2−
2
3，得∠𝐻𝐸𝑃 =30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出𝐻𝐸，得到𝐸𝐹，最后利用三角形的
面积公式计算即可．
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了正方
形和等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
18.【答案】16
【解析】解：∵ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷，𝐴𝐷 ⊥ 𝐷𝐸，
∴ ∠𝐵𝐴𝐷 =∠𝐴𝐷𝐸 =90°，
∴ 𝐷𝐸//𝐴𝐵，
∴ ∠𝐶𝐸𝐷 =∠𝐶𝐴𝐵，
∵ ∠𝐶 =∠𝐶，
∴△ 𝐶𝐸𝐷∽△𝐶𝐴𝐵，
∵ 𝐷𝐸 =2，𝐴𝐵 =4，即𝐷𝐸：𝐴𝐵 =1：2，
∴𝑆
△𝐷𝐸𝐶
：𝑆 △𝐴𝐶𝐵=1：4，
∴𝑆
四边形𝐴𝐵𝐷𝐸
：𝑆 △𝐴𝐶𝐵=3：4，
1 1
∵𝑆 四边形𝐴𝐵𝐷𝐸 =𝑆 △𝐴𝐵𝐷+𝑆 △𝐴𝐷𝐸=
2
×4×4+
2
×2×4=8+4=12，
∴𝑆 △𝐴𝐶𝐵=16，
故答案为16．
由题意得到三角形𝐷𝐸𝐶与三角形𝐴𝐵𝐶相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面
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积之比，进而求出四边形𝐴𝐵𝐷𝐸与三角形𝐴𝐵𝐶面积之比，求出四边形𝐴𝐵𝐷𝐸面积，即可确定出三角
形𝐴𝐵𝐶面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质
是解本题的关键．
19.【答案】解：去分母得：(𝑥 +1)2−2=𝑥−1，
解得：𝑥 =0或𝑥 =−1，
经检验𝑥 =0是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方
程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
{𝑥−𝑦 =2 ①
20.【答案】解： 𝑥2−2𝑥𝑦−3𝑦2=0 ②
由①得𝑦 =𝑥−2③
把③代入②，得𝑥2−2𝑥(𝑥−2)−3(𝑥−2)2=0，
即𝑥2−4𝑥 +3=0
解这个方程，得𝑥 1=3，𝑥 2=1
{𝑥 =3 {𝑥 =1
1 2
代入③中，得 或 ．
𝑦 =1 𝑦 =−1
1 2
{𝑥 =3 {𝑥 =1
1 2
∴原方程组的解为 或 ．
𝑦 =1 𝑦 =−1
1 2
【解析】用代入法即可解答，把①化为𝑦 =𝑥−2，代入②得化简𝑥2−4𝑥 +3=0即可解答．
本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再
解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
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21.【答案】解：如图，𝐴𝐵=𝑎+𝑏，𝐶𝐷=𝑎−𝑏．
【解析】利用三角形法则求解即可．
本题考查作图−复杂作图，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
22.【答案】证明：(1)∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴ 𝐵𝑂 =𝐷𝑂，
∵ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷，
∴ 𝐵𝐶 =𝐶𝐷，
∵ 𝐵𝐶 =𝐶𝐸，
∴ 𝐵𝐶 =𝐶𝐸 =𝐶𝐷，
即𝐵𝐸 =2𝐶𝐷；
(2)
∵ ∠𝐴𝐶𝐵 =90°，
∴ ∠𝐴𝐶𝐸 =180°−∠𝐴𝐶𝐵 =90°，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
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∴ 𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷 =𝐵𝐶，
∵ 𝐵𝐶 =𝐶𝐸，
∴ 𝐴𝐷 =𝐶𝐸，
∴四边形𝐴𝐶𝐸𝐷是平行四边形，
∵ 𝐴𝐶 =𝐵𝐶 =𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐸 =90°，
∴四边形𝐴𝐶𝐸𝐷是正方形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出𝐵𝑂 =𝐷𝑂，根据线段垂直平分线性质得出𝐵𝐶 =𝐶𝐷，求出
𝐵𝐶 =𝐶𝐸 =𝐶𝐷即可；
(2)根据邻补角互补求出∠𝐴𝐶𝐸 =90°，求出四边形𝐴𝐶𝐸𝐷是平行四边形，再根据正方形的判定推出
即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，能灵活
运用知识点进行推出是解此题的关键，注意：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边
形是正方形．
23.【答案】(1)证明：∵ 𝐵𝐴⋅𝐵𝐷 =𝐵𝐶⋅𝐵𝐸．
𝐵𝐷 𝐵𝐸
∴ = ，
𝐵𝐶 𝐵𝐴
∵ ∠𝐵 =∠𝐵，
∴△ 𝐵𝐷𝐸∽△𝐵𝐶𝐴．
(2)证明：∵ 𝐵𝐴⋅𝐵𝐷 =𝐵𝐶⋅𝐵𝐸．
𝐵𝐷 𝐵𝐶
∴ = ，
𝐵𝐸 𝐵𝐴
∵ ∠𝐵 =∠𝐵，
∴△ 𝐵𝐴𝐸∽△𝐵𝐶𝐷，
∴ ∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐵𝐶𝐷，
∵ 𝐴𝐸 =𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐸𝐶 =∠𝐴𝐶𝐸，
∵ ∠𝐴𝐸𝐶 =∠𝐵 +∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐴𝐶𝐸 =∠𝐴𝐶𝐷 +∠𝐵𝐶𝐷，
∴ ∠𝐵 =∠𝐴𝐶𝐷，
∵ ∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐵𝐴𝐶，
∴△ 𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，
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𝐴𝐷 𝐴𝐶
∴ = ，
𝐴𝐶 𝐴𝐵
∴ 𝐴𝐶2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵．
【解析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常
考题型．
(1)根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；
(2)只要证明△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，即可解决问题；
3𝑏
24.【答案】𝐴( ,0)，𝐵(0,𝑏)
4
4
【解析】解：(1)∵一次函数𝑦 =− 𝑥 +𝑏的图象与𝑥轴、𝑦轴分别相交于点𝐴、𝐵，
3
4 3
∴当𝑦 =0时，− 𝑥 +𝑏 =0，解得：𝑥 = 𝑏，
3 4
3𝑏
∴ 𝐴( ,0)，
4
当𝑥 =0时，𝑦 =𝑏，
∴ 𝐵(0,𝑏)，
3𝑏
故答案为：𝐴( ,0)，𝐵(0,𝑏)
4
3𝑏
(2)∵ 𝐴( ,0)，𝐵(0,𝑏)，
4
3𝑏
∴ 𝑂𝐴 =| |，𝑂𝐵 =|𝑏|，
4
1 1 3𝑏 3
∴𝑆 △𝑂𝐴𝐵= ⋅𝑂𝐴 ⋅𝑂𝐵 = ⋅| |⋅|𝑏| = 𝑏2=6，
2 2 4 8
∴𝑏2=16，
∴ 𝑏 =4或𝑏 =−4；
4
(3)∵一次函数𝑦 =− 𝑥 +𝑏的图象经过第二、三、四象限，
3
∴ 𝑏 =−4，
∴ 𝐴(−3,0)，𝐵(0,−4)，
设直线𝐴𝐶的解析式为𝑦 =𝑘𝑥 +𝑡，
∵ 𝐴(−3,0)，𝐶(2,𝑚)，
{ 𝑚
𝑘 =
{−3𝑘 +𝑡 =0 5
∴ 2𝑘 +𝑡 =𝑚 ，解得： 3 ，
𝑡 = 𝑚
5
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𝑚 3
∴直线𝐴𝐶的解析式为𝑦 = 𝑥 + 𝑚，
5 5
3
设直线𝐴𝐶与𝑦轴交于点𝐷，则𝐷(0, 𝑚)，
5
3
∴ 𝐵𝐷 = 𝑚 +4，
5
∵𝑆 △𝐴𝐵𝐶=𝑆 △𝐴𝐵𝐷+𝑆
△𝐷𝐵𝐶
，
1 3 3
∴𝑆 △𝐴𝐵𝐶= ×( 𝑚 +4)×(2+3)= 𝑚 +10．
2 5 2
(1)分别令𝑥 =0，𝑦 =0求出点𝐵和点𝐴的坐标；
(2)由点𝐵与点𝐴的坐标得到𝑂𝐵、𝑂𝐴的长度，再结合△𝐴𝑂𝐵的面积为6求出𝑏的值；
(3)由直线经过第二、三、四象限得到𝑏的值，进而得到点𝐴与点𝐵的具体坐标，再用含有𝑚的式子
表示△𝐴𝐵𝐶的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是熟知一次函数图象上点
的坐标特征表示出点𝐴与点𝐵的坐标．
25.【答案】解：(1)△𝑃𝐷𝐸为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴ 𝐴𝐷 =𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝑃 =∠𝐷𝐴𝑃 =45°，
{𝐴𝐵 =𝐴𝐷
在△𝐴𝐵𝑃和△𝐴𝐷𝑃中， ∠𝐵𝐴𝑃 =∠𝐷𝐴𝑃 ，
𝐴𝑃 =𝐴𝑃
∴△ 𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐷𝑃(𝑆𝐴𝑆)，
∴ 𝐵𝑃 =𝐷𝑃，
由题意可得：𝑃𝐵 =𝑃𝐸，
∴ 𝑃𝐸 =𝑃𝐷，
过点𝑃作𝐺𝐻 ⊥ 𝐴𝐷，与𝐵𝐶、𝐴𝐷分别交于点𝐺、𝐻，如图所示：
∵ 𝑃𝐵 =𝑃𝐸，
∴ 𝐵𝐺 =𝐺𝐸，
∵在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐵𝐴𝐷 =90°，
∴四边形𝐴𝐵𝐺𝐻是矩形，
∴ 𝐴𝐻 =𝐵𝐺，𝐴𝐵 =𝐺𝐻，
∴ 𝐴𝐵 =𝐺𝐻 =𝐴𝐷
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∵在𝑅𝑡 △𝐴𝑃𝐻中，∠𝑃𝐴𝐻 =45°，
∴ ∠𝐴𝑃𝐻 =90°−∠𝑃𝐴𝐻 =45°，
∴ 𝐴𝐻 =𝑃𝐻，
..𝐴𝐻 =𝑃𝐻 =𝐵𝐺 =𝐺𝐸，
∵ 𝑃𝐺 =𝐺𝐻−𝑃𝐻，𝐷𝐻 =𝐴𝐷−𝐴𝐻，
∴ 𝑃𝐺 =𝐷𝐻，
{𝐷𝐻 =𝑃𝐺
在△𝐷𝑃𝐻和△𝑃𝐸𝐺中， ∠𝐷𝐻𝑃 =∠𝑃𝐺𝐸 ，
𝑃𝐻 =𝐺𝐸
∴△ 𝐷𝑃𝐻≌△𝑃𝐸𝐺(𝑆𝐴𝑆)，
∴ ∠𝐻𝐷𝑃 =∠𝐺𝑃𝐸，
∴ ∠𝐷𝑃𝐸 =180°−∠𝐻𝑃𝐷−∠𝐺𝑃𝐸 =180°−(∠𝐻𝑃𝐷 +∠𝐻𝐷𝑃) =90°，
∴△ 𝑃𝐷𝐸为等腰直角三角形；
(2)∵在𝑅𝑡 △𝐴𝑃𝐻中，𝐴𝑃 =𝑥，
2
∴ 𝐴𝐻 =𝑃𝐻 = 𝑥，
2
2
∴ 𝐷𝐻 =2− 𝑥，
2
2 2
∴在𝑅𝑡 △𝐷𝑃𝐻中，𝑃𝐷2=𝐷𝐻2+𝑃𝐻2=( 𝑥)2+(2− 𝑥)2=𝑥2−2 2𝑥 +4，
2 2
∵△ 𝑃𝐷𝐸为等腰直角三角形，
1 1 1
∴𝑆 △𝑃𝐷𝐸= 𝑃𝐷 ×𝑃𝐸 = 𝑃𝐷2= 𝑥2 − 2𝑥 +2(0<𝑥 ≤ 2 )；
2 2 2
(3)在等腰直角三角形△𝑃𝐷𝐸中，𝑃𝐷 =𝑃𝐸，∠𝐷𝑃𝐸 =90°，
∴ ∠𝑃𝐸𝐷 =∠𝑃𝐷𝐸 =45°，
当四边形𝑃𝐵𝐸𝐷是梯形时，只有可能是四边形𝑃𝐵//𝐷𝐸，
∴ ∠𝑃𝐵𝐸 =∠𝐹𝐸𝐶，∠𝐵𝑃𝐸 =∠𝑃𝐸𝐷 =45°，
∵ 𝑃𝐵 =𝑃𝐸，
1
∴ ∠𝑃𝐵𝐸 =∠𝑃𝐸𝐵 = (180°−∠𝐵𝑃𝐸) =67.5°，
2
∴ ∠𝐹𝐸𝐶 =∠𝑃𝐵𝐸 =67.5°，
∴ ∠𝐸𝐹𝐶 =180°−∠𝐹𝐸𝐶−∠𝐴𝐶𝐵 =67.5°，
∴ ∠𝐸𝐹𝐶 =∠𝐹𝐸𝐶，
∴ 𝐶𝐸 =𝐶𝐹，
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∵ ∠𝑃𝐹𝐷 =∠𝐸𝐹𝐶 =67.5°，
∴ ∠𝐷𝑃𝐹 =180°−∠𝑃𝐷𝐹−∠𝑃𝐹𝐷 =67.5°，
∴ ∠𝐶𝐷𝑃 =180°−∠𝐷𝑃𝐹−∠𝑃𝐶𝐷 =67.5°，
∴ ∠𝐶𝐷𝑃 =∠𝐷𝑃𝐹，
∴ 𝐶𝑃 =𝐶𝐷，
∴ 𝐴𝑃 =𝑥 =𝐴𝐶−𝐶𝑃 =𝐴𝐶−𝐶𝐷 =2 2−2，
∴ 𝐶𝐹 =𝐶𝐸 =𝐵𝐶−𝐵𝐸 =𝐵𝐶−2𝐵𝐺 =2− 2𝑥 =2 2−2，
∴ 𝑃𝐹 =𝐴𝐶−𝐴𝑃−𝐶𝐹 =4−2 2．
【解析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三
角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和
等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
(1)证明△𝐴𝐵𝑃≌△𝐴𝐷𝑃，得出𝐵𝑃 =𝐷𝑃，由题意可得：𝑃𝐵 =𝑃𝐸，得出𝑃𝐸 =𝑃𝐷，过点𝑃作𝐺𝐻 ⊥ 𝐴𝐷，
与𝐵𝐶、𝐴𝐷分别交于点𝐺、𝐻，证出𝐵𝐺 =𝐺𝐸，证明△𝐷𝑃𝐻≌△𝑃𝐸𝐺，得出∠𝐻𝐷𝑃 =∠𝐺𝑃𝐸证出
∠𝐷𝑃𝐸 =180°−∠𝐻𝑃𝐷−∠𝐺𝑃𝐸 =90°，即可得出结论；
2 2
(2)由等腰直角三角形的性质得出𝐴𝐻 =𝑃𝐻 = 𝑥，得出𝐷𝐻 =2− 𝑥，在𝑅𝑡 △𝐷𝑃𝐻中，由勾股
2 2
2 2
定理得出𝑃𝐷2=𝐷𝐻2+𝑃𝐻2=( 𝑥)2+(2− 𝑥)2=𝑥2−2 2𝑥 +4，由等腰直角三角形的性质得出
2 2
1 1 1
𝑆 △𝑃𝐷𝐸= 𝑃𝐷 ×𝑃𝐸 = 𝑃𝐷2= 𝑥2 − 2𝑥 +2(0<𝑥 ≤ 2 )；
2 2 2
(3)由等腰直角三角形的性质得出∠𝑃𝐸𝐷 =∠𝑃𝐷𝐸 =45°，当四边形𝑃𝐵𝐸𝐷是梯形时，只有可能
𝑃𝐵//𝐷𝐸，由平行线的性质得出∠𝑃𝐵𝐸 =∠𝐹𝐸𝐶，∠𝐵𝑃𝐸 =∠𝑃𝐸𝐷 =45°，由等腰三角形的性质得出
1
∠𝑃𝐵𝐸 =∠𝑃𝐸𝐵 = (180°−∠𝐵𝑃𝐸) =67.5°，得出∠𝐹𝐸𝐶 =∠𝑃𝐵𝐸 =67.5°，证出∠𝐸𝐹𝐶 =∠𝐹𝐸𝐶，
2
得出𝐶𝐸 =𝐶𝐹，证出∠𝐶𝐷𝑃 =∠𝐷𝑃𝐹，得出𝐶𝑃 =𝐶𝐷，得出𝐴𝑃 =𝑥 =𝐴𝐶−𝐶𝑃 =𝐴𝐶−𝐶𝐷 =2 2
−2，求出𝐶𝐹 =𝐶𝐸 =𝐵𝐶−𝐵𝐸 =𝐵𝐶−2𝐵𝐺 =2− 2𝑥 =2 2−2，即可得出结果．
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