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2023 届普陀区高三二模考试数学试卷
2023.04
一、填空题
1．设全集 ，若集合 ，则 ______．
2．函数 的最小正周期为______．
3．现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为______．
4．设 （i为虚数单位）是关于x的方程 的根，则 ______．
5．函数 的定义域为______．
6．若 且 ，则 ______．
7．现有一个底面半径为 、高为 的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面
积为______ （损耗忽略不计）．
8．设 的三边a，b，c满足 ，且 ，则此三角形最长的边长为______．
9．“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量 y（单位 ）与气温x（单位：℃）之间的关系，
随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：
气温x 18 13 10
用电量y 24 34 38 64
若上表中的数据可用回归方程 来预测，则当气温为 时该小区相应的用电量约为
______ ．
10．设 为双曲线 : 左、右焦点，且 的离心率为 ，若点M在 的右支上，直
线 与 的左支相交于点N，且 ，则 ______．
11．设 且 ，若在平面直角坐标系xOy中，函数 与 的图像于直线l
对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为______．
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12．设x、 ，若向量 ， ， 满足 ， ， ，且向量 与 互相平行，
则 的最小值为______．
二、选择题
13．设A．b为实数，则“ ”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B． C． D．
14．设A．b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若 且 ，则 （2）若 且 ，则
（3）若 且 ，则 （4）若 且 ，则
其中不正确的个数是（ ）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
15．设P为曲线C: 上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集 和
，给出如下结论：
①任意 ， 中总有2个元素；②存在 ，使得 ．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
16．设 ，若在区间 上存在a，b且 ，使得 ，则下列所给的值中
只可能是（ ）
A． B． C．2 D．
三、解答题
17．如图，在直三棱柱 中， ， ， ．
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（1）求证： ；
（2）设 与底面ABC所成角的大小为 ，求三梭雉 的体积．
18．已知 均为不是1的正实数，设函数 的表达式为 ．
（1）设 且 ，求x的取值范围；
（2）设 ， ，记 ， ，现将数列 中剔除 的项后、不改变其原来
顺序所组成的数列记为 ，求 的值．
19．现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三
个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．
（1）求取到的白球数不少于2个的概率；
（2）设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．
20．在xOy平面上．设椭圆 ： ，梯形ABCD的四个项点均在 上，且 ．设
直线AB的方程为
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（1）若AB为 的长轴，梯形ABCD的高为 ，且C在AB上的射影为 的焦点，求m的值；
（2）设 ，直线CD经过点 ，求 的取值范围；
（3）设 ， ，AD与BC的延长线相交于点M，当k变化时， 的面积是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知 ，设函数 的表达式为 （其中 ）
（1）设 ， ，当 时，求x的取值范围；
（2）设 ， ，集合 ，记 ，若 在D上为严格增函数且
对D上的任意两个变量s，t，均有 成立，求c的取值范围；
（3）当 ， ， 时，记 ，其中n为正整数．
求证： ．
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