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2023 届宝山区高三二模数学试卷
2023.04
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题悔题5分）
1. 已知集合 ， ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】利用交集定义直接求解．
【详解】因为集合 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
2. 不等式 的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式 化为 ，即可得答案.
【详解】由题意得不等式 即 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为：
3. 若幂函数的图象经过点 ，则该函数的解析式为_____________
【答案】
【解析】
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【分析】结合幂函数定义，给出解析式，代入点坐标即可计算出结果.
【详解】设幂函数解析式为： ，
根据题意此函数经过点 代入解析式中得
即 解得： ，
所以所求函数的解析式为 .
4. 已知复数 （其中 为虚数单位），则实数 _________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数相等的条件即可求解.
【详解】由题意可知， ，解得 ,
所以实数 .
故答案为： .
5. 已知数列 的递推公式为 ，则该数列的通项公式 _________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知凑配出等比数列，从而求得通项公式 ．
【详解】由 得 ，又 ，
是
所以 等比数列，公比为2，所以 ，
，
故答案为： ．
6. 在 的展开式中常数项为________(用数字作答).
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【答案】
【解析】
【分析】
写出 的展开式的通项，即可求得常数项.
【详解】 的展开式的通项为：
，
当 ，
解得 ，
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握
的展开通项公式 .
7. 从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第
二次摸球时摸到蓝球”为B，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.
【详解】由题意可得： ，
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所以 .
故答案为： .
8. 若数列 为等差数列，且 ， ，则该数列的前 项和为 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，求得首项和公差，即可求得答案.
【详解】由题意数列 为等差数列，且 ， ，
设数列公差为d，则 ，解得 ，
故 ，
故答案为：
9. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
【详解】利用正弦定理有： ，
又由 ，则 ，
则 ，
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即 ，
又由 ，则 ，
即 ，由 ，
解得 .
故答案为： .
【点睛】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式化简条件，及灵活运用正弦定理，是解决三角形问题的基
本思路.
10. 如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出 ， 的数据）和频率分布直方图，
则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系
列式求解.
【详解】由茎叶图可知： ， 的频数分别为5，2；
由频率分布直方图可得：每组的频率依次为 ，
设样本容量为 ，
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则 ，解得 ，
故 .
故答案为： .
11. 已知函数 （ 且 ），若关于 的不等式 的解集为
，其中 ，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合指数函数性质判断出 ， ，且 的解集为 ，
根据一元二次不等式和相应方程的关系可得 ，结合b的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知若 ，即 ，
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∵ 的解集为 ，
∴ ， ，且 的解集为 ，
∴ 与 是 两的根，
故 ，∴ ，
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又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
故答案为：
12. 已知非零平面向量 不共线，且满足 ，记 ，当 的夹角取得最大值时，
的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量 ，进而通过运算求得
的值.
【详解】由非零平面向量 不共线，且满足 ，建立如图所示的平面直角坐标系：
则 ，则 ，由 ，则 ，
则直线 的斜率分别为 ，
由两直线的夹角公式可得：
，
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当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，则 ，
所以 ，故填：4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用
基本不等式时，注意等号成立的条件.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），
每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．
13. 若 ： ， ： ，则 是 的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可得： ： ，
显然 可以推出 ，但 不能推出 ，
所以 是 的必要非充分条件.
故选：B.
14. 已知定义在 上的偶函数 ，若正实数a、b满足 ，则 的
最小值为（ ）
A. B. 9 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的对称性可得 ，由题意分析可得 ，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数 为偶函数，则 ，
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即 ，可得 ，
整理得 ，故 ，解得 ，
∴ .
若正实数a、b满足 ，即 ，可得 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
15. 将正整数 分解为两个正整数 、 的积，即 ，当 、 两数差的绝对值最小时，我们称
其为最优分解．如 ，其中4×5即为20的最优分解，当 、 是 的最优分解
时，定义 ，则数列 的前2023项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最优分解定义得到 为奇数和 为偶数时， 的通项公式，进而求出数列 前
2023项和.
【详解】当 时，由于 ，此时 ，
当 时，由于 ，此时 ，
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所以数列 的前2023项的和为
.
故选：B
16. 在空间直角坐标系 中,已知定点 , 和动点 .若 的面
积为 ,以 为顶点的锥体的体积为 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知 ,设直线 的单位方向向量为 ,根据空间
向量公式求出 到直线 的距离,得到 的面积为 ,根据椎体体积公式得到以 为顶点的锥
体的体积为 ,利用分离常数法和基本不等式求解即可得到最大值.
【详解】由已知 ,
设直线 的单位方向向量为 ,则 ,
所以 到直线 的距离 ,
所以 ,
,
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则
,
令 ,则 ,
所以 ,
当且仅当 即 时等号成立,
所以 ,
即 的最大值为 .
故选:C.
三、解答题（本大题共有 5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应
的题号）内写出必要的步骤．
17. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调区间；
（2）若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）最小正周期 ；单调递增区间为 ；单调递减区间为
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.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调
区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数 的取值范围．
【小问1详解】
，
则函数 的最小正周期 ；
令 ，解得 ，
可得函数 的单调递增区间为 ·
令 ，解得 ，
可得因数 的单调递减区间为 ；
【小问2详解】
由（1）可知， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ， ， 由 增大到1，
当 ， ， 由1减小到 ，
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若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为
18. 四棱锥 的底面是边长为2的菱形， ，对角线AC与BD相交于点O， 底
面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）证明： 平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可；
（2）根据中位线及线面平行的判定定理证明线面平行，再由点面距离的向量法公式求解.
【小问1详解】
由题意， 两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正
半轴建立空间直角坐标系，如图，
菱形 中， ，所以 ,
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在 中 ，
因为 底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为 ，
所以 ，
则点A、B、D、P的坐标分别是 ，
E是PB的中点，则 ，于是 ， .
设 的夹角为θ，则有 ，
故 ，
∴异面直线DE与PA所成角的大小是 .
【小问2详解】
连接 ，
分别是 的中点，
，
平面PAD， 平面PAD，
平面PAD.
因为 ， ,
设平面PAD的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
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所以 ，又 ，
则点E到平面PAD的距离 .
19. 下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量 （件）与相应的生产成本 （万
元）的四组对照数据．
4 6 8 10
2
12 28 84
0
（1）试建立 与 的线性回归方程；
（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分
析，每件产品的销售价格 （万元）是一个与产量 相关的随机变量，分布为
假设产品月利润=月销售量×销售价格 成本．（其中月销售量=生产量）
根据（1）进行计算，当产量 为何值时．月利润的期望值最大？最大值为多少？
【答案】（1）
（2） 时，月利润的期望值最大，最大值为 .
【解析】
【分析】（1）由线性回归方程计算公式可得答案；
（2）由题可得月利润的期望值表达式 ，后由 单调性可得答案.
【小问1详解】
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设 与 的回归方程为 ，则 ，
又 ， ，
， .
则 . ，则回
归方程为： .
【小问2详解】
设月利润的期望值为 ，则由题可得：
，则 在 上单调递增，
则当 时， 最大， .
即 件时，月利润的期望值最大，最大值为 万元
20. 已知抛物线 ： ．
（1）求抛物线 的焦点F的坐标和准线 的方程；
（2）过焦点F且斜率为 的直线与抛物线 交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；
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（3）已知点 ，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线 交于两个不同的点M、N（均不与
点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线 .
（2）20 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线；
（2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算；
（3）设直线MN，联立方程，根据题意可得 ，结合韦达定理分析运算.
【小问1详解】
在
∵抛物线 ： ，则 ，且焦点 轴正半轴，
故抛物线 的焦点 ，准线 .
【小问2详解】
由（1）可得： ，可得直线 ，
设 ，
联立方程 ，消去y得 ，
可得 ，
故 .
【小问3详解】
存在，理由如下：
设直线 ，
联立方程 ，消去x得 ，
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则 ，
可得 ，
若以线段MN为直径的圆恒过点P，则 ，
可得
，
可得 或 ，
若 ，则 ，可得直线 ，
过定点 ，与点 重合，不合题意；
若 ，则 ，此时 ，
可得直线 ，过定点 ；
综上所述：直线 过定点 .
【点睛】方法定睛：存在性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
21. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程 中，当 取给定的实数时，表示一条
直 线 ； 当 在 实 数 范 围 内 变 化 时 ， 表 示 过 点 的 直 线 族 （ 不 含 轴 ） ． 记 直 线 族
（其中 ）为 ，直线族 （其中 ）为 ．
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（1）分别判断点 ， 是否在 的某条直线上，并说明理由；
（2）对于给定的正实数 ，点 不在 的任意一条直线上，求 的取值范围（用 表示）；
（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲
线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求 的包络和 的包络．
【答案】（1）点 在 的某条直线上，点 不在 的某条直线上；
（2） ；
（3） 的包络方程为 ， 的包络方程为 .
【解析】
【分析】(1)分别把点 的坐标代入直线族 的方程，然后判断方程是否有实数解即可.
(2)由点 不在 的任意一条直线上，得到关于 的方程 在 时无实数解，
再用导数法求 的最小值，令 的最小值大于零即可求出 的取值范围.
(3)先求直线族中 的取值范围，从而猜测包络线的方程，再用包络线的切线方程进行验证，从而确定所求
的方程为包络线方程.
【小问1详解】
把点 代入直线族 的方程
得： ，
因为 ，所以方程 有实数根，
所以点 在 的某条直线上.
把点 代入直线族 的方程
得： ，
因为 ，所以方程 无实数根，
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所以点 不在 的某条直线上.
【小问2详解】
因为点 不在 的任意一条直线上，
所以方程 在 上无实数解，
即方程 在 上无实数解.
令 ，则 ，
因为 为正实数，所以当 时，解得 ；当 时，解得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 .
【小问3详解】
由(2)的结论猜测 的包络是曲线 .
，解 ，得 .
在曲线 上任取一点 ，
则过该点的切线方程是 即 .
而对任意的 ， 的确为曲线 的切线.
故 的包络是曲线 .
将 整理为关于 的方程
，
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若该方程无解，则 ，
整理得 .
猜测 的包络是抛物线 .
，解 ，得 .
在抛物线 上任取一点 ，
则过该点的切线方程是 ，
而对任意的 ， 确为抛物线 的切线.
故 的包络是抛物线 .
【点睛】难点点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，
这种题目的特点，就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念，难度较大.
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