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2023-2024 学年宝山区第一学期期末考试九年级数学试卷
试卷满分150分.考试时间100分钟.
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有只
有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上
1. 下列各组中的四条线段成比例的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段 、 、 、 ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)
与另两条线段的比相等，如 (即 )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
根据比例线段的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A．由于 ，则 不成比例，所以A选项不符合题意；
B．由于 ，则 成比例，所以B选项符合题意；
C．由于 ，则 不成比例，所以C选项不符合题意；
D．由于 ，则 不成比例，所以D选项不符合题意．
故选：B．
2. 若线段 ，点P是线段 的黄金分割点，且 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义即可解答．
【详解】解：∵点P是线段 的黄金分割点，且 ，∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的 倍，熟练掌握上
述知识点是解答本题的关键．
3. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长
的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从 3层直达7层，“飞梯”的截面如图， 的长为50米， 与
的夹角为 ，则高 是（）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形和锐角三角函数，可以表示出 的值．
【详解】解：∵ ，
米，
故选：A．
4. 在四边形 中，如果 ，那么 四边形 是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
【答案】D【解析】
【分析】本题考查了向量计算，四边形形状的判定，正确进行向量化简是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
对边平行，但不相等，
故四边形 是梯形；
∵ ，
∴ ，
故对角线 ，
故四边形 是等腰梯形，
故选：D．
5. 二次函数 的图象所示，则一次函数 的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的图象得出 ， ，从而即可判断一次函数 的图象经过一、二、四象
限，得到答案，本题考查了二次函数与一次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象得出 ，
，采用数形结合的方法是解此题的关键．
【详解】解： 抛物线开口向下，，
抛物线对称轴在 轴右边，
，
，
一次函数 的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
6. 如图，在正方形网格中， 、 、 、 、 、 都是格点，从 、 、 、 四个格点中选取三个
构成一个与 相似的三角形，某同学得到两个三角形： ； ．关于这两个三角形，
下列判断正确的是（ ）
A. 只有 是 B. 只有 是 C. 和 都是 D. 和 都不是
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定 ， ，
然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定
【详解】如图，连接 ， ， ， ， ，在 中， ， ， ，
由网格可知： ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 与 相似， 与 相似，
故选： ．
二、填空题：（本大题共 12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位
置上
7. 已知线段 ， ，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可．
【详解】∵线段c是a和b的比例中项，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
8. 比例尺为 的地图上，A、B两地的距离为 ，那么A、B两地的实际距离为______ ．【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算．
设 、 两地间的实际距离是 ，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可．
【详解】解：设 、 两地间的实际距离是 ，根据题意得：
，
解得 ，
．
故答案为：2．
9. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10. 二次函数 图像上部分点的坐标 对应值如表所示，那么该函数图像的对称
轴是直线______．
…
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函
数图像的对称轴．
【详解】解：由表格中的数据可得， 和 关于对称轴对称，
∴该函数图像的对称轴是直线 ，即 ，故答案为： ．
11. 直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键．
根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
12. 在 中， ，点G为重心，连接 并延长，交 于点F，如果 ，那么
的长是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了重心，关键是掌握重心的性质．因为 是重心，连接 并延长，交 于点 ，可
得 是 边的中线， ，即 ，在 中， ，可得 ．
【详解】解： 点 为重心，连接 并延长，交 于点 ，
是 边的中线，
，
，点 是重心，
，
，
故答案为：1．
13. 如图，斜坡 ，坡顶B离地面的高度 为 ，如果坡比 ，那么这个斜坡的长度
______m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键．
根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得 的长，再由勾股定理，进行求解即可．
【详解】 坡顶B离地面的高度 为 ，坡比 ，
，
由勾股定理得
．
故答案为： ．
14. 在 中，若 ， ， ，则 _________．
【答案】 ##
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直
角三角形”，判定 是直角三角形，再根据直角三角形中余弦的定义“角的邻边比斜边”，计算
即可．
【详解】解：∵在 中，若 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 是斜边， 所对的角是直角，即 是直角，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、求角的余弦值，掌握勾股定理的逆定理的运用和余弦的定义是解
题的关键．
15. 如果二次函数 的图像上有两点那么 和 那么 ______ ．（填
“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法．
【详解】解：二次函数 的对称轴为直线 ， ，
∴距离对称轴越远的点，函数值越小，
∵ ，∴ ．
故答案为： ．
16. 如图，已知正方形 的边 在 的边 上，顶点 分别在边 上，如果
， 的面积为12，那么 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相
似三角形的性质列方程．
根据正方形的性质得出 ，则 ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，
结合正方形的性质列方程求解即可．
【详解】解：作 于 ，交 于 ，如图所示：
∵ 的面积 ，
∴ ，
设正方形 的边长为 ．
由正方形 得， ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故正方 的边长为 ，
故答案为： ．
17. 平面直角坐标系中，在 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与 轴的交点的距离之和最小的点，
称为这条抛物线与 轴的“亲密点”，那么抛物线 与x轴的“亲密点”的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，求得抛物线的顶点
坐标和与 轴的交点，然后根据题意求得顶点关于 轴的对称点，进一步求得过对称点和与 轴的交点的
直线解析式，即可求得“亲密点”的坐标．【详解】解： ，
抛物线开口向上，顶点 为 ，
顶点关于 轴的对称点 为 ，
当 时， ，
抛物线与 轴的交点 为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 得， ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则
抛物线 与 轴的“亲密点”的坐标是 ，
故答案为： ．18. 已知 和 是矩形 的两条对角线，将 沿直线 翻折后，点D落在点E处，三角
形 与矩形的重叠部分是三角形 ，连接 ，如果 ， ，那么 的正切值是
______．
【答案】 或
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．分两
种情况讨论，根据矩形的性质得出 ， ，则
，根据折叠的性质得出 ，
，设 ，则 ，根据
直角三角形的性质及三角形外角性质推出 ，则 ，或
，根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图， 交 于点O， ， ，
∵四边形 是矩形，
.∴ ， ，
，根据折叠的性质得， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，
，
，
即∠BDE的正切值是 ；
如图， 交 于点O， ， ，同理得 ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
即 的正切值是 ；
综上， 的正切值是 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分)
19. 如图，在 中， ， ， ，点D是 边上一点，且 ．（1）求 的长；
（2）求 的余切值．
【答案】（1）6 （2）2
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，熟知三角函数的定义并构造出合适的直角三角形是解题的关键．
（1）根据 的正弦值，求出 的长，再利用勾股定理求出 即可解决问题．
（2）过点 作 的垂线，在所构造的直角三角形中，求出 的邻边和对边即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵在 中， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
过点 作 的垂线，垂足为 ，由 得， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
得 ，
在 中，
∴ 的余切值为2．
20. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点D， 交 于点E．
（1）求 的长；
（2）连结 交 于点F，设 ， ，用 、 的线性组合表示向量 _____，
____．
【答案】（1） ；
（2） ， ．
【解析】【分析】本题考查等腰三角形 的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量．
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到 ，设 ，根据 得到
，分别代入即可解答；
（2）根据平面向量三角形减法法则得出 ，根据 可求得 与 的关系，即可求
解．
【小问1详解】
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 即 ，
解得 ，
∴ ．
【小问2详解】∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ，
21. 在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图像经过点 和 ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果点 在该函数图像上，求 的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二
次函数的解析式；
（1）把 两点坐标代入二次函数 得关于 的二元一次方程组，解方程组求出 即可；
（2）先令 ，从而求出 ，再把 代入二次函数 得 点坐标，可知轴，最后根据 的面积，列出算式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由图像经过点 ，可知 ，
再由图像经过点 ，可得 ，解得 ，
所以，该二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
把 代入 ，得 ，
由 、 可知 轴，
于是 ， 边上的高为3，
∴ ．
22. 综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪 为矩形，
，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点 与塔顶G在一条
直线上，铅垂线 交 于点 M，经测量，点 D 距地面 ，到塔 的距离 ，
，求塔 的高度（结果精确到 ）．【答案】塔 的高度约为21m．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似．
证明 ，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
【详解】解：∵ ，
∵四边形 是矩形，
解得 ，
答：塔 的高度约为21米．
23. 如图，在正方形 中，点 分别在边 上，且 ， 分别交 于
点 ．（1）求证： ；
（2） ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅
助线是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到
，即可得到结论；
（2）如图，过 作 于 ，得到 ，根据相似三角形的判定和性质
即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
如图，过 作 于 ，
故 ，
则 是等腰直角三角形，
由（1）知， ，即 ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，将抛物线 平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物
线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线 交于点N，且 ．
（1）求平移后抛物线的表达式；
（2）如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）抛物线 上的点A平移后的对应点是点B， ，垂足为点C，如果 是等腰三
角形，求点A的坐标．
【答案】（1） ；
（2）是正方形，理由见解析；
（3） 、 、 、 ．
【解析】
【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为： ，得到点M、N的坐标，进而求解；
（2）由题意得到 ， ， ， ，证明四边形 是平行四边形，由，得到四边形 是矩形，由 ，即可得出结论；
（3）当 时，列出等式即可求解；当 或 时，同理可解．
【小问1详解】
解：由题意得，平移后的抛物线表达式为： ，
则点M的坐标为： ，
当 时， ，即点 ，
则 ，
解得： （舍去）或 ，
则平移后 的抛物线表达式为： ；
【小问2详解】
解：四边形 是正方形，
根据题意可得 ， ， ， ，
记 与 交于点G，则 ，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，∴四边形 是正方形；
【小问3详解】
解：设 ， ， ，
可得 ， ， ，
① ， ，即 ，
解得 ， （舍去0），
；
② ， ，
解得 ， ，
或 ；
③ ， ，
解得 ，
；
综上，点A的坐标是 、 、 、 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，
分类求解是解题的关键．
25. 如图，已知 中， ， 是边 上一点，且 ，过点 作 ，并
截取 ，射线 与 的延长线交于点 ．（1）求证： ；
（2）设 ， ，求 与 的函数关系式；
（3）如果 是直角三角形，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）先证明 ，得出 ，进而证明 ，根据相似三角形
的性质，即可得证；
（2）过点 作 ，交 于点 ，证明 ，得出 ， ，
根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式；
（3）由 ，分两种情况分别讨论， ， ，在 中，
根据三角函数的定义，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
解：过点 作 ，交 于点
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
由 ， ,则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，∴ ，
∴ .
【小问3详解】
① ，
②如果 ，
由 ， ，可得
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ， .
③如果 ，
由 ， ，可得 ，
设 ， ，在中， ，
∴ ， .
所以，当 是直角三角形时， 的长为 或 .
【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟
练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
