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2022 学年奉贤区第二学期高三数学练习卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知集合 ， ，若 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由交集定义可得答案.
【详解】因 ， ， ，则 ，故 .
故答案为：
2. 已知 ， ，且 ， 是虚数单位，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由复数相等概念可得答案.
【详解】因 ，则 .
故答案为：2
3. 在 的展开式中， 的系数为___.（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于 2，得出式子中的
系数的表示式，得到结果．
【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C r（2x）5﹣r＝ r25﹣rx5﹣r
5 5
当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项， ∁
∴它的系数是C 322＝40
5
故答案为40．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.
4. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 、 ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正
方形，则该圆柱的侧面积为_____．
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【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出圆柱的底面圆半径 和高 ，再计算圆柱的侧面积即可．
【详解】如图所示，
设圆柱的底面圆半径为 ，由截面为正方形可知圆柱的高 ，
所以该圆柱的轴截面面积为 ，
解得 ，
该圆柱的侧面积为
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查圆柱的结构特征，考查圆柱侧面积的求法，属于基础题.
5. 2017年5月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩
.（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的 ，
则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布对称性知 ，计算得到答案.
【详解】根据正态分布对称性知： .
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故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布性质的应用.
6. 已知两个正数 ， 的几何平均值为1，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由几何平均值的定义得到 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意得 ，即 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，
故答案为：2
7. 某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，
它能活到25岁的概率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出.
【详解】设事件A表示某动物活到20岁，则 ；
事件B表示该动物活到25岁，则 ，
.
所以
故答案为： .
8. 已知随机变量 的分布为 ，且 ，若 ，则实数 _______．
【答案】
【解析】
【分析】由期望性质可得答案.
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【详解】因 ，则 .
又 ，则 .
故选： .
9. 设圆 与双曲线 的一条渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.
【详解】设双曲线渐近线方程为： ，
，则圆心坐标为 ，半径为1.
因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即 .
则双曲线的一条渐近线方程为 ，另一条渐近线方程为 .
故答案为：
10. 内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 _________
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理可得 ，根据条件结合三角形的面积公式可得
从而可得答案.
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【详解】由余弦定理可得 ，所以
的面积为
所以 即 ，由
所以
故答案为：
11. 在集合 中任取一个偶数 和一个奇数 构成一个以原点为起点的向量 ，从所有得到
的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得满足题意的向量有4个，满足题意的平行四边形有6个，依次计算6个平行四边形的面
积即可得答案.
【详解】由题可得满足题意的向量有 ，又若两向量 不共线，且 ，
则以两向量为邻边的平行四边形面积为：
.
则以 为邻边的平行四边形面积为 ；
以 为邻边的平行四边形面积为 ；
以 为邻边的平行四边形面积为 ；
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以 为邻边的平行四边形面积为 ；
以 为邻边的平行四边形面积为 ；
以 为邻边的平行四边形面积为 ；
综上可知面积不超过4的平行四边形的个数是3.
故答案为：3
12. 已知 为 上的奇函数，且当 时， ，则
的驻点为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由导数得出 在 上单调递增，且 ，再结合奇偶性得出 的驻点.
【详解】 ，令 ，
则 ，
当 时， ；当 时， .
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，即 .
则 ，即函数 在 上单调递增，
且 ，
再由函数 为 上的奇函数，可得 的驻点为 .
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故答案为： .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. “ ”是“直线 与 垂直”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：两直线垂直，所以 ，所以是充分不必要条件.
考点：充要条件.
14. 下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从周期来看，A、B选项排除；从单调性来看，C选项正确．
【详解】对于A选项，由于 的周期为 ，故A选项不正确；
对于Ｂ选项，由于 的周期为 ，故B选项不正确；
对于C选项，由于 的最小正周期为 ，在区间 上，
单调递增，故C选项正确；；
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对于D选项，由于 的最小正周期为 ，在区间 上，
单调递减，故D选项不正确．
故选：C．
15. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温
度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类
型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
16. 设 是一个无穷数列 的前 项和,若一个数列满足对任意的正整数 ,不等式 恒成立,
则称数列 为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数 均有 ,则 为和谐数列;
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②若等差数列 是和谐数列,则 一定存在最小值;
③若 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先得出 的等价条件 ,然后再进行判断,对于③可以取一个公比为负数的等比数
列说明其存在性即可.
【详解】对于①, ，
若 ,则 ,所以①正确;
对于②,设等差数列 的公差为 ，
则 ,所以 ，
即 为公差为 的等差数列,
若 为和谐数列,即 ,则 ，
所以关于 的二次函数 ,开口向上，
所以在 上一定存在最小值,所以②正确;
对于③,取 ,
则 ,
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,
下面证明 ,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证 ,
即证 ,
即证 ,
当 ,上式左边为负数,显然成立,
当 ,时,即证 ,即证 ，（*）
设 ,
所以 ,即（*）式成立,所以③正确.
故选：D
三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤.
17. 已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）计算 ．
【答案】（1）
（2）-640
【解析】
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【分析】（1）设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；
（2）在（1）的基础上，得到 ，即数列 （ 正整数）为等差数列，利用等差数列
求和公式进行求解.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ， ．
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，
代入，解得 ．
所以 ，
所以 的通项公式为 ；
【小问2详解】
因为 ，
所以数列 （ 正整数）是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
18. 如图，在四棱锥 中， ，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，且四棱锥 的体积为 ，求 与平面
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所成的线面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）根据线面垂直的判定定理证明得 底面 ，再根据四棱锥的体积公式求出
，从而用线面角的定义求解.
【小问1详解】
因为在四棱锥 中， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
【小问2详解】
取 中点 ，连结 ，
因为 ，所以 ，
由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 底面 ，
所以 底面 ，
设 ，求得 ， ，
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因为四棱锥 的体积为 ，
所以
解得 ，
所以 ，
因为 底面 ，
所以 为 与平面 所成的角，
在 中， ，
所以 ．
所以 与平面 所成的线面角为 ．
19. 设 函 数 的 定 义 域 是 R ， 它 的 导 数 是 ． 若 存 在 常 数 ， 使 得
对一切 恒成立，那么称函数 具有性质 ．
（1）求证：函数 不具有性质 ；
（2）判别函数 是否具有性质 ．若具有求出 的取值集合；若不具有请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
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（2） 具有性质 ， 的取值集合
【解析】
【分析】（1）假设 具有性质 ，由定义求解结论成立的条件；
（2）假设 具有性质 ，由定义求解结论成立的条件.
【小问1详解】
假设 具有性质 ， 即 对一切 恒成立
化简 得到 ，显然不存在实数 使得 成立，所以假设错误，
因此函数 不具有性质 .
【小问2详解】
假设 具有性质 ， 即 对一切 恒成立，
即 对一切 恒成立，则 对一切 恒成立，
由 ，所以当 时， 具有性质 ，
所以 具有性质 ， 的取值集合 .
20. 某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段 ， ， ， 和弧 围成的，其中 是以 点为圆心，圆心角为
的扇形的弧，见图1；
假设2：线段 ， ， ， 所在的路行人是可通行的，圆弧 暂时未修路；
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假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1-图3中的相关边、角满足以下条件：
直线 与 的交点是 ， ， ． 米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．
（1）假设休息亭建在弧 的中点，记为 ，沿 和线段 修路，如图2所示．求 的长；
（2）假设休息亭建在弧 上的某个位置，记为 ，作 交 于 ，作 交 于
．沿 、线段 和线段 修路，如图3所示．求修建的总路长 的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．
【答案】（1） 米
（2） 米
（3）答案见解析
【解析】
为
【分析】如图，以 原点， 所在直线 轴，建立平面直角坐标系．
（1）由题目条件可得Q，C坐标，利用两点距离公式可得答案；
（2）设 ，设修建的总路长 为 ，由题可得 表达式，后由
导数知识可得答案；
（3）可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1 修的路相对短，2修的路相对便于居民
出行言之有理即可.
【小问1详解】
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如图，以 原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
因为点 为弧 的中点，所以 ，即
设DC与y轴交于F点， ，
则 ，即 ，
所以 （米）.
所以 的长约为 米；
【小问2详解】
设 ，
则 ， ， ，
设修建的总路长 为 ，
所以
，
，
令 ，则 ， ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递
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增．
所以 （米）.
所以修建的总路长 的最小值约为 米 .
【小问3详解】
（1）涉及到的设计方案总路径是 米，比起方案2显然不是最优（短）路径；
（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于 段附近居民前往）．
(说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1修的路相对短，2修的路相对便于居
民出行)
21. 已知椭圆 : ， ， ．椭圆 内部的一点 ，过点
作直线 交椭圆于 ，作直线 交椭圆于 ． 、 是不同的两点．
（1）若椭圆 的离心率是 ，求 的值；
（2）设 的面积是 ， 的面积是 ，若 ， 时，求 的值；
（3）若点 ， 满足 且 ，则称点 在点 的左上方．求证：当 时，点
在点 的左上方．
【答案】（1） 的值为 或
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
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【分析】（1）分 ， 两种情况结合离心率计算式可得答案；
（2）联立直线 的方程与椭圆方程可得 ，联立直线 的方程与椭圆方程可得 .结合图形可得
，后结合 ，及弦长公式可得 ，即可得答
案；
（3）联立直线与椭圆方程可得 ， ，后结合 在椭圆内部可得 大小，又由题意可得
大小，即可证明结论.
【小问1详解】
因为椭圆 的离心率是 .
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
所以 的值为 或 ；
【小问2详解】
由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率 存在，
，直线 的方程 ，设 ．
则 .
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，直线 的方程 ，设 ．
则 .
由图， ，
注意到 ，则 .
又 ，同理可得
.则
【小问3详解】
由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率 存在，
，直线 的方程 ，设 ．
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则 .
，直线 的方程 ，设 ．
则 .
则
.又 在椭
圆内部，则 ，故 .
又根据题意知 ，所以 .所以当 时，点 在点 的左上方．
【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不
知焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到 关于 的表达式；（3）类似于（2），可得 ，
，后利用作差法即可比较大小.
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